"Применение производной в решении практических задач на наибольшее и наименьшее значение"
Скачать 92.28 Kb.
|
Урок по теме: "Применение производной в решении практических задач на наибольшее и наименьшее значение". 10-й классЦель урока: Усвоение умений самостоятельно в комплексе применять знания, умения и навыки, осуществлять их перенос в новые условия. Задачи урока: Учебно-познавательная:
Развивающая:
Воспитательная:
Тип урока: урок комплексного применения знаний. Оборудование: карточки с заданиями. Ход урока I .Организационный момент. Мотивационная беседа: (2 мин.) Каждый человек время от времени оказывается в ситуации, когда надо отыскать наилучший способ решения какой-либо задачи, и математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений. Важным условием повышения эффективности производства и улучшения качества продукции является широкое внедрение математических методов в технику. Среди задач математики большую роль отводят задачам на экстремумы, т.е. задачам на отыскание наибольшего и наименьшего значения, наилучшего, наиболее выгодного, наиболее экономного. С такими задачами приходиться иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы получилось как можно больше продукции, конструкторы хотят так спланировать прибор на космическом корабле, чтобы масса прибора была наименьшей, экономисты стараются спланировать прикрепление заводов к источникам сырья так, чтобы транспортные расходы оказывались минимальными. Можно сказать, что задачи на отыскание наименьшего и наибольшего значения, имеют большое практическое применение. Сегодня на уроке мы и займемся решением таких задач. II. Актуализация знаний и умений, полученных учащимися на предыдущих уроках. (10мин) 1)Выполняется взаимопроверка по теме “Применение производной” (за каждый правильный ответ выставляется 1 балл) Каждый ученик отвечает и для проверки передает свой ответ соседу по парте. Вопросы записаны на переносной доске, дается только ответ:
Затем класс садится по группам (всего 4 группы). Группы выполняют задания на отыскание минимума и максимума функции.(Задание записано на доске.) 1 задание: Для функции f(х)=х2+432/х  найти минимум на промежутке (0;+∞);2 задание: Для функции f(х)=х  найти максимум на промежутке (0;60). 2)В это время два “ сильных” ученика решают задачи на доске: 1-й ученик: Дан бак без крышки в виде прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат и объем равен 108 см3. При каких размерах бака на его изготовление пойдет наименьшее количество материала? Решение: Обозначим сторону основания через х см, тогда высота параллелепипеда будет108/х2. Пусть S(х) площадь поверхности, тогда S(х) =х2+4*108/х2*х=х2+432/х; S/(х)=2х-432/х2; S/(х)=0; 2х-432/х2=0; 2х3=432; х3=216; х=6; По условию задачи х  (0; )Найдем знак производной на промежутке (0;6) и на промежутке (6;+∞). Производная меняет знак с - на +. Отсюда х=6 точка минимума, следовательно, S(6)=108 см2 наименьшее значение. Значит, сторона основания равна 6 см, высота 12см. 2-й ученик: В окружность радиуса 30 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Найти его размеры. Решение: Обозначим одну сторону прямоугольника через х см, тогда вторая будет , S(х) площадь прямоугольника, тогда S(х)=х;S/(х)= - S/(х)=0; Приведем дробь к общему знаменателю, получим  3600-2х2=0; х=30  ; Берем только положительное значение по условию задачи. По смыслу задачи х (0;60);Найдем знак производной на промежутке (0;30 ) и на промежутке (30;60). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда х=30 точка максимума. Следовательно, одна сторона прямоугольника30, вторая 30. III. Проверка. Предоставляется слово “сильным” ученикам. Учащиеся класса проверяют свои решения.(5мин). IV . Закрепление. Работа в группах. Выдаются задачи (на карточках) по выбору для каждой группы. (10 мин) 1 группа. На отметку «3» Для функции f(х)=х2*(6-х) найти наименьшее значение на отрезке[0;6] Решение: f(х)=х2*(6-х)=6х2+х3; f/(х)=12х-3х2; f/(х)=0; 12х-3х2=0; х1=0; х2=4; f(0)=0; f(6)=0; f(4)=32-max На отметку «4» Из проволоки длиной 20см надо сделать прямоугольник наибольшей площади. Найти его размеры. Решение: Обозначим одну сторону прямоугольника через х см, тогда вторая будет (10-х)см, площадь S(х)=(10-х)*х=10х-х2; S/(х)=10-2х; S/(х)=0; х=5; По условию задачи х (0;10)Найдем знак производной на промежутке (0;5) и на промежутке (5;10 ). Производная меняет знак с “+” на “-”. Отсюда: х=5 точка максимума, S(5)=25см2 –наибольшее значение. Следовательно, одна сторона прямоугольника 5см, вторая 10-х=10-5=5см; На отметку «5» Участок, площадью 2400м2, надо разбить на два участка прямоугольной формы так, чтобы длина изгороди была наименьшей. Найти размеры участков. Решение: Обозначим одну сторону участка через х м, тогда вторая будет 2400/х м, длина изгороди Р(х)=3х+4800/х; Р/(х)= 3-4800/х2; Р/(х)=0;3х2=4800;х2=1600; х=40. Берем только положительное значение по условию задачи. По условию задачи х (0; )Найдем знак производной на промежутке (0;40) и на промежутке (40; +∞). Производная меняет знак с - на +. Отсюда х=40 точка минимума, следовательно, Р(40)=240м наименьшее значение, значит, одна сторона 40м, вторая 2400/х=60м. 2 группа. На отметку “3” Для функции f(х)=х2+(16-х)2 найти наименьшее значение на отрезке[8;16] Решение: f/(х)=2х-2(16-х)х=4х-32; f/(х)=0; 4х-32=0; х=8; f(0)=256; f(16)=256; f(8)=128-min; На отметку «4» Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра в 1 м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая. Решение: Обозначим одну сторону прямоугольного участка через х м, тогда вторая будет (1-2х)м, площадь S(х)= (1-2х)х =1х -2х2; S/(х)= 1-4х; S/(х)=0; 1-4х; х =1/4; По условию задачи х (0;1/2)Найдем знак производной на промежутке (0;1/4) и на промежутке (1/4;1/2). Производная меняет знак с + на -. Отсюда х =1/4 точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = ¼ м, вторая 1-2х= 1/2м ; На отметку «5» Из прямоугольного листа картона со сторонами 80см и 50см нужно сделать коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края. Какой высоты должна быть коробка, чтобы ее объем был наибольшим? Решение: Обозначим высоту коробки (это сторона вырезанного квадрата) через х м, тогда одна сторона основания будет (80-2х)см, вторая (50-2х)см, объем V(х)= х(80-2х)(50-2х)=4х3-260х2+4000х; V/(х)=12х2-520х+4000; V /(х)=0; 12х2-520х+4000=0; х1=10; х2=100/3 По условию задачи х (0; 25); х1 (0; 25), х2 (0;25)Найдем знак производной на промежутке (0; 10) и на промежутке (10; 25). Производная меняет знак с + на -. Отсюда х = 10 точка максимума. Следовательно, высота коробки = 10см. 3 группа. На отметку “3” Для функции f(х)=х*(60-х) найти наибольшее значение на отрезке [0;60] Решение: f(х)=х*(60-х)=60х-х2; f/(х)=60-2х; f/(х)=0; 60-2х=0; х=30; f(0)=0; f(60)=0; f(30)=900-max На отметку «4» Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 20 м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая. Решение: Обозначим одну сторону прямоугольника через х м, тогда вторая будет (20 -2х) м, площадь S(х)= (20-2х)х=20х -2х2; S /(х)= 20 -4х; S/(х)=0; 20 -4х =0; х = 20/4=5; По условию задачи х (0; 10)Найдем знак производной на промежутке (0; 5) и на промежутке (5; 10). Производная меняет знак с + на -. Отсюда х = 5точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = 5м, вторая 20 -2х= 10м; На отметку «5» Чтобы уменьшить трение жидкости о стены и дно канала, нужно смачиваемую ею площадь сделать возможно малой. Требуется найти размеры открытого прямоугольного канала с площадью сечения 4,5м2, при которых смачиваемая площадь будет наименьшей. Решение: Обозначим глубину канавы через х м, тогда ширина будет 4,5/х м, Р(х)=2х+4,5/х; Р/(х)=2-4,5/х2; Р/(х)=0; 2х2=4,5; х=1,5. Берем только положительное значение по условию задачи. По условию задачи х (0; )Найдем знак производной на промежутке (0;1,5) и на промежутке (1,5; +∞). Производная меняет знак с - на +. Отсюда х=1,5 точка минимума, следовательно, Р(1,5)=6м наименьшее значение, значит, одна сторона канавы 1,5м, вторая  =3м.4 группа. На отметку “3” Для функции f(х)=х2 (18-х) найти наибольшее значение на отрезке[0;18] Решение: f(х)=х2 (18-х)=18х2-х3; f/(х)= (18х2-х3)/; f/(х)=0; 36х-3х2=0; х1=0; х2=12 f(0)=0; f(18)=0; f(12)=864-max На отметку «4» Участок прямоугольной формы одной стороной прилегает к зданию. При заданных размерах периметра 200м, надо огородить участок так, чтобы площадь была наибольшая. Решение: Обозначим одну сторону прямоугольного участка через х м, тогда вторая будет (200 -2х) м, площадь S(х)= (200-2х)х=200х -2х2; S/(х)= 200 -4х; S/(х)=0; 200 - 4х =0; х = 200/4=50; По условию задачи х (0; 100)Найдем знак производной на промежутке (0; 50) и на промежутке (50; 100). Производная меняет знак с “+”на “-”.Отсюда х = 50 точка максимума. Следовательно, одна сторона участка = 50м, вторая 200 -2х= 100м; На отметку «5» Требуется изготовить открытую коробку в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, с наименьшим объемом, если на ее изготовление можно потратить 300см2. Решение: Обозначим одну сторону основания через х см, тогда высота будет (300- х2 )/4х см, объем V(х)=х2(300- х2 )/4х =(300х- х3)/4; V/(х)= (300-х2 )/4; V /(х)=0; 300-3х2=0; х2 =100; х=10. Берем только положительное значение по условию задачи. По условию задачи х (0; )Найдем знак производной на промежутке (0;10) и на промежутке (10; ). Производная меняет знак с “-” на “+”. Отсюда х=10 точка минимума, следовательно, V(10)=500см3 - наименьшее значение, значит, сторона основания 10см, высота (300-102 )/4= 50смV. Представители групп рассказывают решение выбранных задач.(7мин) VI. Домашнее задание: Решение задачи на балл выше. Кто выполнял задачу на «5», освобождаются от домашней работы.(2 мин) VII. Подведение итогов урока. С учетом баллов в разминке и работе в группах выставляются отметки за урок. ( 4 мин). В заключении учитель просит учащихся оценить, насколько он был успешен. Раздаются карточки, в которых предлагается поставить галочку около выбранного утверждения. Мне все понравилось____________ Мне ничего не понравилось______ Мне ничего не понятно__________ Мне было интересно____________ Мне было скучно_______________ Мне было легко________________ Мне было трудно_______________ Я научился многому____________ Я не узнал ничего нового_________ |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Применение производной при решении задач предмет математика Класс 11 Учитель Давыдова Е. В Систематизировать знания учащихся по теме «Производная функции» и выяснить степень освоения её учащимися | | Тема: Применение производной к исследованию функции в решении задач... Манькова Ирина Геннадьевна, учитель математики маоу тунгусовская сош. Естественнонаучное направление |
 | Урок по теме «Применение производной для решения практических задач» Развивающая- развивать стремление и умение получать знания самостоятельно или с небольшими подсказками | | Министерство Образования Чувашской Республики Ядринская национальная гимназия В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с величиной, зависящей от другой величины, и надо найти такое значение второй... |
| Решение задач по теме «Уравнение касательной к графику функции» Решение задач по теме «Применение производной к исследованию функций и построению графиков» | | Урока по теме: «Применение производной» ... |
| Тема: Обобщение и систематизация знаний по теме «Атмосфера» Развивать самостоятельную познавательную активность уч-ся; умение быстро и логически мыслить, умение применять полученные знания... | | Тема: Обобщение и систематизация знаний по теме «Атмосфера» Развивать самостоятельную познавательную активность уч-ся; умение быстро и логически мыслить, умение применять полученные знания... |
| Учитель задает вопросы командам по очереди (1 вопрос 1 балл) Развивать самостоятельную познавательную активность уч-ся; умение быстро и логически мыслить, умение применять полученные знания... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели урока: сформировать навыки построения графика функции, определять наибольшее и наименьшее значение функции, область значений... |
| Применение информационных технологий в решении профессиональных задач (электив) По дисциплине Применение информационных технологий в решении профессиональных задач (электив) | | Тема: Сортировка массива Цель: на примере решения задач познакомить учащихся со способами сортировки массивов, показать их применение при решении прикладных... |
| Творческий отчет 2 006 Автор-составитель В. А. Хлуденцова, учитель... «необходимо вести преподавание русской грамматики так, чтобы учащиеся находили практическое применение получаемых сведений» (Ф. Ф.... | | Уроки по теме: «Применение производной» Учебные: Повторить теоретические сведения по теме, необходимые для решения рассматриваемых задач |
| Решение олимпиадных задач на процентное содержание или концентрацию Цель урока: показать учащимся применение «правила креста» при решении химических задач на смеси, растворы, сплавы | | Урока «Производная и её применение» Форма урока Сегодня весь урок мы посвятим одному математическому понятию – производной, увидим, что с её помощью решаются не только алгебраические... |
