Скачать 126.13 Kb.
|
Департамент образования города Москвы Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы «Московский городской педагогический университет» Институт математики и информатики Кафедра алгебры, геометрии и методики их преподавания УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫТЕОРИЯ ЧИСЕЛ 050100 ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ Квалификация (степень) выпускника - БАКАЛАВР Профиль подготовки «МАТЕМАТИКА» Форма обучения ОЧНАЯ, 3 курс, 5 семестр Москва 2013 Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО, утвержденным приказом Минобрнауки России от 22 декабря 2009 г. № 788с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению «Педагогическое образование» и профилю подготовки «Математика» Составитель: доктор физико-математических, профессор кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания ИМИ ГОУ ВПО МГПУ Ведерников Виктор Александрович Программа утверждена на заседании кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания от 17 января 2013 г., протокол № ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
2. Задачи дисциплины:
1. Пояснительная записка Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, а так же множество рациональных чисел. Изучение теории чисел имеет важное значение при подготовке учителей математики. Изучение дисциплины начинается с определения отношения делимости в кольце целых чисел, и рассмотрения его основных свойств и приложений. Все разделы этой темы излагаются в той или иной мере в школьном курсе математики, поэтому заслуживают полного и глубокого изучения. Затем изучается теорема о делении с остатком и построенный на ее базе алгоритм Евклида, который позволяет находить НОД и НОК двух и более чисел. Вводится понятие простого числа, изучаются основные свойства простых чисел и доказывается основная теорема арифметики. Рассматриваются основные числовые функции и их применение в теории чисел. Дается определение конечной цепной дроби, правила нахождения и свойства подходящих дробей. Рассматриваются позиционные и непозиционные системы счисления. Далее на базе ранее введенных понятий излагается теория сравнений в кольце целых чисел. Поскольку результаты этой темы имеют разнообразные и многочисленные приложения, то для будущих учителей математики изучение ее разделов необходимо. Строится кольцо классов вычетов по модулю m. Вводятся понятия полной и приведенной системы вычетов. Определяется мультипликативная группа классов вычетов взаимно простых с модулем. Вводится функция Эйлера. Доказываются теоремы Эйлера и Ферма. Выводятся алгоритмы решения сравнений первой степени с одной неизвестной. Даются понятия первообразного корня и индексов по простому модулю и их приложения. Определяются квадратичные вычеты и символ Лежандра, который применяется при решении сравнений второй степени. Рассматривается решение системы сравнений. Далее вводится понятие бесконечной цепной дроби. Так как разложения действительных чисел в цепные дроби характеризуют природу действительных чисел лучше, чем, например, разложения в систематические дроби, то надо этому разделу уделить достаточно внимания. В школьном курсе математики много места уделяется решению уравнений. Поэтому определение арифметической природы чисел, т. е. выяснение принадлежности их к алгебраическим или трансцендентным числам имеет важное значение при подготовке учителя математики. Строится поле алгебраических чисел. Рассматриваются рациональные приближения алгебраических чисел. Множество всех алгебраических чисел счетно. Вводится понятие трансцендентного числа Лиувилля. Приводится информация о том, что числа е, , е трансцендентны. При изучении этого курса предусматривается проведение двух контрольных работ.
Содержание учебной дисциплины «Теория чисел» очень тесно связана с содержанием других учебных дисциплин. Такие разделы алгебры, как основы теории множеств, теория бинарных отношений, группы, кольца, поля непосредственно применяются при изучении этой дисциплины. Многие понятия теории чисел применяются в дальнейшем при изучении дисциплины «Числовые системы». При доказательстве критериев трансцендентности и иррациональности применяются многие понятия математического анализа.
В текущей аттестации предусматривается контроль практических умений по решению задач в соответствии с содержанием программы. В итоговой аттестации предусматривается контроль знаний теоретических разделов содержания дисциплины и контроль практических навыков.
Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. НОД и НОК двух и более чисел. Алгоритм Евклида. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение натурального числа и его единственность. Отношение сравнимости по модулю в кольце целых чисел. Полная и приведенная системы вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма. Линейные сравнения с одной переменной. Представление натуральных чисел в g-ичной системе счисления. Приложения теории сравнений к выводу признаков делимости. 3. ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО СТАНДАРТА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫТеория чиселДелимость и простые числа. Основная теорема арифметики. Основное свойство простого числа. Неравенства Чебышева для (х). Теория сравнений. Кольцо и поле классов вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма. Сравнения и системы сравнений с неизвестной величиной. Сравнения первой степени. Сравнения по простому модулю. Сравнения по степени простого числа. Редукция сравнения по составному модулю к сравнению по степени простого числа и к сравнению по простому модулю. Показатели чисел и классов по данному модулю. Число классов с заданным показателем. Теорема о существовании первообразного корня по простому модулю. Индексы чисел и классов по данному модулю. Двучленные сравнения по простому модулю. Квадратичные вычеты и невычеты. Символ Лежандра. Арифметические приложения теории сравнений. Цепные дроби. Существование и единственность значения цепной дроби. Представление действительных чисел цепными дробями. Теорема Лежандра о квадратичной иррациональности. Приближения действительных чисел подходящими дробями. Теорема Дирихле и ее применение к представлению простого числа р1(mod 4) в виде суммы двух квадратов. Алгебраические и трансцендентные числа. Теорема Лиувилля и ее применение к построению трансцендентных чисел и к доказательству иррациональности. 1. Структура учебной дисциплины «Теория чисел»
II Содержание дисциплины Тема 1. Теория делимости в кольце целых чисел. Отношение делимости в кольце целых чисел и его свойства. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель и его свойства. Алгоритм Евклида. Линейное представление наибольшего общего делителя. Наименьшее общее кратное. Простые числа и их свойства. Бесконечность множества простых чисел. Решето Эратосфена. Основная теорема арифметики. Каноническое представление натурального числа. Числовые функции. Число и сумма натуральных делителей натурального числа. Функция Е(х) или [x] и её применение в теории чисел. Разложение n! на простые множители. Мультипликативные функции. Закон распределения простых чисел в натуральном ряду. Распределение простых чисел в числовых прогрессиях. Конечные цепные дроби. Теорема о существовании и единственности представления рационального числа цепной дробью. Подходящие цепные дроби. Свойства подходящих цепных дробей. Погрешность замены рационального числа подходящей дробью. Целые систематические числа. Позиционная и непозиционная система исчисления. Теорема о существовании и единственности представления натурального числа в виде систематической записи по основанию q>1. Операции над числами в g–ичной системе счисления. Тема 2. Теория сравнений с арифметическими приложениями, представления действительных чисел. Сравнения в кольце целых чисел, их простейшие свойства. Полная система вычетов и ее свойства. Кольцо классов вычетов по модулю m. Приведенная система вычетов и ее свойства. Обратимые элементы кольца классов вычетов, мультипликативная группа классов вычетов, взаимно простых с модулем. Поле классов вычетов по простому модулю.. Мультипликативность функции Эйлера. Вычисление функции Эйлера. Теорема Гаусса. Теорема Эйлера и Ферма. Сравнения n-ой степени с одним неизвестным. Число классов решений, равносильность сравнений. Сравнения первой степени с одним неизвестным. Целочисленные решения уравнений 1-ой степени с 2-мя неизвестными. Способы решений сравнений 1-ой степени. Сравнения высших степеней по простому модулю. Теорема Вильсона. Порядки классов вычетов. Первообразные корни по простому модулю. Индексы, их свойства. Применение индексов. Арифметические приложения теории сравнений. Конечные систематические дроби. Бесконечные систематические дроби. Существование и единственность представления рационального числа систематической дробью. Периодические систематические дроби. Общий признак делимости Паскаля. Квадратичные вычеты и невычеты. Символ Лежандра. Бесконечные цепные дроби. Представление действительных чисел цепными дробями. Теорема Лежандра о квадратичной иррациональности. Приближения действительных чисел подходящими дробями. Теорема Дирихле и ее применение к представлению простого числа p 1(mod 4) в виде суммы двух квадратов. Приближение действительных чисел бесконечной последовательностью рациональных чисел. Отыскание наилучших приближений с помощью цепных дробей. Множество всех наилучших приближений к заданному действительному числу. Алгебраические и трансцендентные числа. Теорема Лиувилля и ее применение к построению трансцендентных чисел. Современное состояние вопроса о трансцендентных числах. Теоремы Эрмита, Линдемана,, Гельфонда (обзор). III Учебно-методическое обеспечение дисциплины
IV Требования к уровню усвоения программы
Обязательный минимум знаний:
Обязательный минимум умений и навыков:
Предполагается проведение двух контрольных работ. Формой итогового контроля является экзамен.
Государственный аттестационный экзамен. Вопросы к экзамену по теории чисел для студентов 4 курса (7 семестр)
|
Учебно-методический комплекс учебной дисциплины элементарная математика... Программа составлена в соответствии с требованиями фгос впо, утвержденным приказом Минобрнауки России от 22 декабря 2009 г. №788с... | Учебно-методический комплекс учебной дисциплины математическая логика... Программа составлена в соответствии с требованиями фгос впо, утвержденным приказом Минобрнауки России от 22 декабря 2009 г. №788с... | ||
Учебно-методический комплекс учебной дисциплины архитектура компьютера... Программа составлена в соответствии с требованиями фгос впо по направлению подготовки 050100 «Педагогическое образование» и профилю... | Учебно-методический комплекс учебной дисциплины история информатики... Программа составлена в соответствии с требованиями фгос впо по направлению подготовки 050100 «Педагогическое образование» и профилю... | ||
Учебно-методический комплекс учебной дисциплины теория и методика... Программа предназначена дать теоретическую и практическую подготовки учителей в области методики обучения информатике | Учебно-методический комплекс учебной дисциплины программное обеспечение... Автор: старший преподаватель кафедры информатики и прикладной математики ими гоу впо мгпу тамошина Наталья Дмитриевна | ||
Учебно-методический комплекс учебной дисциплины Химия 050100 Педагогическое... Программа составлена в соответствии с требованиями фгос впо по направлению подготовки бакалавра | Учебно-методический комплекс дисциплины рабочая программа дисциплины... Содержание: умк по дисциплине «Общая психология» для студентов направления подготовки 44. 03. 01 – «Педагогическое образование»,... | ||
Учебно-методический комплекс дисциплины «культура речи» Ооп 050100 Педагогическое образование (изобразительное искусство) (квалификация (степень) «бакалавр») | Основная образовательная программа высшего профессионального образования... Документы, регламентирующие содержание и организацию образовательного процесса при реализации ооп | ||
Рабочая программа Учебной дисциплины Маркетинг и менеджмент Направление... Программа составлена в соответствии с требованиями фгос впо по направлению подготовки 050100 Педагогическое образование (квалификация... | Рабочая программа Учебной дисциплины Прикладная экономика Направление... Программа составлена в соответствии с требованиями фгос впо по направлению подготовки 050100 Педагогическое образование (квалификация... | ||
Учебно-методический комплекс дисциплины «физика» Маллабоев У. М. Физика. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 050100. 62 Педагогическое образование,... | Учебно-методический комплекс дисциплины специальность 050100. 62... Учебно-методический комплекс дисциплины (умкд) Курс по выбору «История и культура Англии и сша» для студентов очной формы обучения... | ||
Учебно-методический комплекс дисциплины Данный учебно-методический комплекс (умк) разработан для студентов 1-3 курсов очной формы обучения по направлению подготовки 050100.... | Учебно-методический комплекс учебной дисциплины иностранный язык... Программа составлена в соответствии с требованиями фгос впо по направлению и профилю подготовки 050100. 62 «Педагогическое образование»... |