Лабораторная работа «Кривые второго порядка»
Скачать 79.47 Kb.
|
| Лабораторная работа «Кривые второго порядка» Пусть кривая второго порядка задана уравнением Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Выясним, какие кривые соответствуют этому уравнению. Возможны следующие случаи:
Канонические уравнения фигур эллиптического типа:  - эллипс, - точка, - пустое множество точек (мнимый эллипс).
Канонические уравнения фигур гиперболического типа:  - гиперболы, - пара пересекающихся прямых.
Канонические уравнения фигур параболического типа: у2 = 2рх (х2 = 2ру) (р  0) – парабола;у2 = а2 (х2 = а2) (а 0) – пара параллельных прямых;у2 = 0 (х2 = 0) – пара совпадающих прямых; у2 = -а2 (х2 = -а2) (а 0) – пустое множество точек.Применив преобразование поворота осей координат с использованием формул x = x΄cosα – y΄sinα y = x΄sinα + y΄cosα, следует при надлежащем выборе α освободиться в уравнении от члена с произведением координат. Дальнейшие преобразования рассмотрим для каждого типа кривых.
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (1) Дополним до полного квадрата члены, содержащие х2 и х, а также y2 и y. После этого уравнение можно будет записать в виде A(x – x0)2 + C(y – y0)2 = F1 (2) Если F1 > 0, то уравнение (2) приводится к виду  , где  ,  , это уравнение определяет эллипс.Если F1 > 0, то уравнению (2) соответствует пустое множество. Если F1 = 0, то уравнение (2) принимает вид A(x – x0)2 + C(y – y0)2 = 0 и определяет точку М(х0, у0). При А = С эллипс превращается в окружность: (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2, где  .
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (1) Как и в первом случае, уравнение (1) можно привести к виду (2). Если F1 > 0, то уравнение (2) можно записать в виде .Действительная ось этой гиперболы параллельна оси Оу. Если F1 = 0, то уравнение (2) принимает вид A(x – x0)2 + C(y – y0)2 = 0 Ему соответствует пара пересекающихся прямых. Докажем. Введем обозначения: A = m2, C = -n2 и запишем уравнение в виде: m2(x – x0)2 - n2(y – y0)2 = 0 или (m(x – x0) - n(y – y0))(m(x – x0) + n(y – y0)) = 0. Это уравнение равносильно следующим двум: m(x – x0) - n(y – y0) = 0, m(x – x0) + n(y – y0) = 0, каждое из которых определяет прямую, проходящую через точку М(х0, у0).
Ax2 + Dx + Ey + F = 0. Можно считать, что A > 0. Дополнив члены, содержащие x2 и х, до полного квадрата, получим A(x – x0)2 + Ey = F1. Если E ≠ 0, то уравнение можно записать в виде y – y0 = a(x – x0)2. Этому уравнению соответствует парабола с осью симметрии, параллельной оси Оу. Если Е = 0 и F1 > 0, то уравнение A(x – x0)2 = =F1 равносильно уравнениям  , ,которые определяют пару параллельных прямых. Если Е = 0 и F1 < 0, то получим также уравнение A(x – x0)2 = F1, которому соответствует пустое множество. Если Е = 0 и F1 = 0, то A(x – x0)2 = 0. Оно определяет пару совпадающих прямых x – x0 = 0. Если предположить, что С ≠ 0, А = 0, то уравнение (1) будет иметь вид: Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Аналогично предыдущему можно показать, что при D 0 это уравнение определяет параболу с осью симметрии, параллельной оси Ох, и может быть приведено к виду x – x0 = а(y – y0)2. Если D = 0, то уравнение определяет пару параллельных прямых или пустое множество. При переходе основной системы координат хОу к новой х΄О1у΄ направление осей координат остается прежним, за новое начало координат принимается точка О1(a; b). Связь между старыми и новыми координатами некоторой точки плоскости определяется следующими формулами: x = x΄ + a, y = y΄ + b; x΄ = x – a, y΄ = y – b. Пример: х2 – 2ху + у2 – 10х – 6у + 25 = 0. 1) Определим тип кривой: А =1, В/2 = -1, С = 1, АС – (В/2)2 = 0 – кривая параболического типа. 2) Приведем уравнение кривой к каноническому уравнению. Освободимся от слагаемого содержащего ху. Преобразуем уравнение с помощью формул поворота осей координат: (x΄cosα – y΄sinα)2 – 2(x΄cosα – y΄sinα)(x΄sinα + y΄cosα) + (x΄sinα + y΄cosα)2 – 10(x΄cosα – y΄sinα) – 6(x΄sinα + +y΄cosα) + 25 = 0, раскроим скобки и сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными (cos2α – 2cosαsinα + sin2α)x΄2 + (sin2α + 2sinαcosα + +cos2α)y΄2 + 2(-cos2α + sin2α – - cosαsinα +cosαsinα)x΄y΄ – (10cosα + 6sinα)x΄ + (10sinα -6cosα)y΄ + 25 = 0. Множитель при слагаемом содержащем  приравняем к нулю:sin2α - cos2α = 0, sin2α = cos2α, tg2α = 1, tgα1 = 1, tgα2 = -1. Возьмем tgα1 = 1; α =  .sinα =  ; cosα = .Подставим найденные значения sinα и cosα :  y΄2 -  x΄ +  y΄ + 25 = 0,2 y΄2 - 8  x΄ + 2 y΄ + 25 = 0.Выделим полный квадрат: 2(y΄2 + y΄) - 8x΄ + 25 = 0,2(y΄ +  )2 = 8x΄ + 24.Получим уравнение (y΄ + )2 =4( x΄ -  ).Перейдем к новой системе координат. За новое начало координат возьмем точку О΄  , новые координаты выразим через старые : y΄ + = y΄΄; y΄ = y΄΄ - .х΄ - = х΄΄; х΄ = х΄΄ + .y΄΄2 = 4 х΄΄ - уравнение параболы в новой системе координат.3) Определим параметры параболы:  ;  - уравнение директрисы; F(;0) – фокус.4) Построим параболу. В прямоугольной системе координат  выполним поворот осей координат на угол α = . Получим систему координат  и построим в ней точку О΄. Осуществим параллельный перенос осей координат  и  в новый центр О΄, получили систему координат  , строим в ней параболу y΄΄2 = 4 х΄΄, директрису , фокус F(;0). Набор заданий Определить тип кривой, привести уравнение к каноническому, найти параметры и построить кривую 1. 9х2+9у2+42х-54у-95=0 2. 3х2+3у2+6х-4у-2=0 3. 4х2+3у2-8х+12у-32=0 4. 2х2+у-8х+5=0 5. 4х2-у+8х+7=0 6. 5у2-10у-х+6=0 7. х2-4х-у+5=0 8. 5х2+у2-20х+2у-4=0 9. 108х2+72у2-108х-48у-397=0 10. 196х2+49у2+56х-98у-143=0 11. 9х2+10у2-54х+60у+81=0 12. 4х2+16у2+4х+64у+1=0 13. 144х2+16у2-72х-128у+121=0 14. у2-6х-2у-2=0 15. 3х2-2у2 -6х-8у-17=0 16. 25х2-9у2 +50х+18у+241=0 17. 4х2-2у2 -4х-12у-25=0 18. х2-6у2 +2х+72у-209=0 19. 5х2-2у2 +40х+4у+28=0 20. 49х2-196у2 +56у+780=0 21. 11х2-4у2 +44х=0 22. 9х2-8у2 -6х-16у+65=0 23. 4х2+8х+у=0 24. 4х2-4х-32у-63=0 25. 4у2+32у+х+60=0 26. 81х2+64у2-162х+128у-5039=0 27. 256х2+64у2-512х+16у+1=0 28. 4х2+4у2-32х+4у-35=0 29. 2x2-3y2+8x-6y+3=0 30. -16x2+25y2-32x+100y-316=0 31. 4х2+у2-8х+4у=0 32. 2х2+3у2+12х-6у+21=0 33. 4х2-у2+8х-2у+3=0 34. 9х2+16у2+36х-64у-44=0 35. 5х2+3у2+-10х+12у+17=0 |
> 0 – эллиптический тип. Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Лабораторная работа № Лабораторная работа №1. Изучение основных возможностей программного продукта Яндекс. Сервер. Установка окружения, установка и настройка... |  | Биология 7 класс Отдел Настоящие Грибы. Лабораторная работа №1 «Строение плесневого гриба мукора». Лабораторная работа №2 «Строение дрожжей» |
| Реферат На тему: “поверхности второго Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями... | | Лабораторная работа «Устройство микроскопа, приёмы пользования им.... Строение растительной клетки. Лабораторная работа «Устройство микроскопа, приёмы пользования им. Клеточное строение растений» |
| Разработка метода и адаптивных алгоритмов компрессии с гарантированной... Работа выполнена на кафедре «Математического обеспечения и применения эвм» Технологического института Южного федерального университета... | | Перечень электронных образовательных ресурсов, разработанных учителем... Увеличительные приборы. Строение светового микроскопа и правила работы с ним. Лабораторная работа «Приготовление препарата клеток... |
| Основы работы с кривыми в inkscape Потренируемся создавать кривые инструментом "перо", добавлять в них узлы и объединять узлы, научимся делать узлы гладкими, а также... | | Лабораторная работа Введение в табличный процессор ms excel’2007... Изменять число рабочих листов можно через опцию Office (в левом верхнем углу экрана), кнопку Параметры Excel, опцию Основные, опцию... |
| Лабораторная работа №1 По теме ««Изучение Internet в целях использовании... Лабораторная работа предназначена для: обоснования потребности, необходимости и удобства использования среды Internet для поиска... | | Лабораторная работа №4 по дисциплине: «Информационно-поисковые системы» Работа заключается в сравнительном изучении заданных глобальных ипс сети Интернет вербального типа |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Задачи. Учить различать замкнутые и незамкнутые кривые линии. Учить изображать замкнутые и незамкнутые кривые линии. Продолжать работу... | | Отчет о лабораторной работе методы и средства анализа данных по теме:... «Лабораторная работа с системой анализа данных Weka. Сравнение методов классификации» |
| Отчет о лабораторной работе методы и средства анализа данных по теме:... «Лабораторная работа с системой анализа данных Weka. Сравнение методов классификации» | | Работа №6 Изучение Тема: лабораторная работа №6 «Изучение треков заряженных частиц по готовым фотографиям» |
| Лабораторная работа. Работа в сети Интернет Панели инструментов. Всегда должны быть отмечены опции Строка меню и Адресная Строка | | Практикум по курсу Информатика (раздел Работа с пакетами прикладных... Лабораторная работа №6. Обобщение данных. Создание таблицы подстановки. Подведение итогов 28 |
