Скачать 102.1 Kb.
|
Пермский Государственный Технический Университет Кафедра МКМК КУРСОВАЯ РАБОТА Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием. Анализ НДС вблизи отверстия. Исполнитель: студент группы ПКМ-96 Шардаков А.П. Проверил: Ташкинов А.А. 1999 г. Оглавление
Используемая литература................................................................................12 Приложение 1. (Расчетная схема на MathCad 7.0 )......................................13 Приложение 2. (График распределения напряжений)..................................14 1. Общетеоретическая часть Р Х2 Х1 р1 р2 ассмотрим бесконечную пластинку с некоторым отверстием в центре. Центр отверстия примем за начало координат, а оси х1, х2 направим по главным направлениям упругости. На пластинку действуют некоторые распределенные нагрузки p1, p2 вдоль соответствующих осей. Общая система уравнение теории упругости выглядит следующим образом: (1) Уравнения равновесия применительно к рассматриваемой задаче, т.е. когда напряжения зависят только от двух координат, запишутся так: (2) В нашей задаче искомыми являются шесть функций компонент тензора напряжений . Но в уравнения равновесия (2) не входит , тем самым этой функции определяется особая роль. Для простоты последующих математических выкладок примем следующие предположения. Пусть для f1(x1,x2) и f2(x1,x2) существует потенциал, т.е. такая функция U(x1,x2) для которой выполняются условия: (3) Так как силы f1 и f2 задаются при постановки задачи, то потенциал U так же известная функция. Подставляя (3) в (2) получим: (4) Введем также еще две функции F(x1,x2) и (x1,x2), которые называются функциями напряжений и вводятся следующим образом: Нетрудно видеть, что при подстановки всех этих формул в систему (4) все три уравнения будут равны нулю. Теперь если мы найдем функции F(x1,x2) и (x1,x2), то будут найдены и функции компонент тензора напряжений, кроме компоненты . Для упрощения дальнейших выкладок сделаем следующие преобразования. Так как тензор модулей упругости Сijmn представляет собой матрицу 6х6 из которых 21 компонента независимая, то для тензора напряжений и тензора деформаций вводится матрица столбец: Тогда уравнения Коши запишутся следующим образом: а через напряжения компоненты деформации определяются по закону Гука: (5) где aij - компоненты матрицы независимых постоянных тензора упругих податливостей Dijmn. Обозначим как неизвестную функцию D(x1,x2), тогда из закона Гука следует, что: а выражение для будет равно: Теперь введем приведенные коэффициенты деформации, для которых имеет место выражение: , где i,j=1..6 (6) Подставим выражение для в обобщенный закон Гука, тогда с учетом приведенных коэффициентов деформаций эти выражения примут вид: Подставляя эти выражения в уравнения Коши получим следующую систему: (7) Уравнения системы (7) включают в себя и уравнения Коши и закон Гука. В этой системе величины - константы, величины и D зависят от двух координат x1 и x2, а перемещения ui - функции трех координат. Система (7) является системой в частных производных относительно ui и решается последовательным интегрированием уравнений. Интегрирование следует проводить в следующем порядке - сначала необходимо проинтегрировать 3, 4 и 5 уравнения. После интегрирования 3-го уравнения получим: (8) Подставляя u3 в 4-ое уравнение и интегрируя его получим: (9) Аналогично с 5-ым уравнением: (10) Подставляя полученные перемещения в неиспользованные соотношения уравнений Коши, и приравнивая к 0 сомножители при степенях x3, получим: (11) (12) (13) Исходя из того, что: функция D будет иметь вид: (14) Тогда с учетом системы (7) получим: (15) Исключая V1, U1, W1 ( путем дифференцирования, сложения и вычитания) получим: (16) (17) Подставляя в уравнения (16) и (17) выведенные нами выражения для напряжений через функции F(x1,x2) и (x1,x2) и группируя получим: (18) где L4, L3, L2 - дифференциальные операторы в частных производных 4-го, 3-го и 2-го порядков: Уравнения (18) представляют собой систему 2-х дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнения - линейные, неоднородные, с постоянными коэффициентами. Общее решение системы (18) для функций напряжения можно представить в виде: F0 и 0 - общее решение соответствующей однородной системы: (19) F* и * - частные решения неоднородной системы уравнений (18). Частные решения зависят от правых частей уравнений и если эти правые части несложны, то и частные решения обычно описать нетрудно. Чтобы получить общее решение однородной системы (19) исключим из нее 0: (20) В силу симметрии L их можно менять местами: (21) Таким образом, мы получили линейное дифференциальное уравнение 6-го порядка для функции F. Аналогично находим уравнение для : (22) Оказалось, что F0 и 0 должны удовлетворять одинаковым условиям. Оператор 6-го порядка можно разложить на 6-ть линейных операторов 1-ого порядка Dk и уравнение (21) представить в виде: (23) Из теории диф. уравнений и условия что функция F0 зависит только от x1 и x2 для Dk имеем: (24) где - это корни алгебраического (характеристического) уравнения шестой степени, соответствующего дифференциальному уравнению (21). Интегрирование линейного уравнения 6-го порядка можно свести к последовательному интегрированию шести уравнений первого порядка. В результате получим следующие общие выражения: Если среди корней характеристического уравнения есть кратные, задача упрощается, однако решение системы (19) может быть найдено в любом случае исходя из следующих рассуждений. Любые 6 вещественных чисел можно принять в качестве значений независимых компонент тензора напряжений в данной точке упругого анизотропного тела. Удельная потенциальная энергия деформации есть величина положительная при любых вещественных и не равных нулю значениях компонент тензора напряжений в данной точке. Исходя из этих предположений можно доказать теорему, согласно которой алгебраическое характеристическое уравнение системы (21), не имеет вещественных корней. Поэтому можно утверждать, что числа в общем решении системы (19), а также в условиях связи всегда комплексные или чисто мнимые. Наряду с комплексными параметрами вводят и систему комплексных переменных: Введение комплексных переменных позволяет использовать при аналитическом решении рассматриваемой задачи об упругом равновесии анизотропного тела математический аппарат и методы функций комплексных переменных. Эти методы, применительно к данной задаче являются очень эффективными и позволяют получить аналитическое решение многих плоских задач теории упругости анизотропного тела. 2. Прикладная часть 2.1 Физическая постановка задачи. Р р -р а 2а 2 1 ассмотрим бесконечную пластинку из ортотропного материала с эллиптическим отверстием в центре. Направление главных осей эллипса совпадает с главными осями упругости материала, усилия приложены на бесконечности вдоль главных осей. Введем следующие обозначения 2a, 2b - главные оси эллипса, с=a/b, р - усилие на единицу площади. В нашем случае отношение полуосей эллипса с=1/2. Вдоль оси 1 на бесконечности приложено растягивающее усилии р, а вдоль оси 2 - сжимающее -р. Наша задача найти напряжения на краю отверстия и построить их эпюру. 2.2 Упругие свойства материала. Пластинка сделана из стеклопластика C-II-32-50 со следующими характеристиками: Е1=13,0 ГПа; Е2=19,8 ГПа; Е3=7,8 ГПа; G12=4,05 ГПа; G13=6,4 ГПа; G23=3,2 ГПа; 13=0.25; 32=0.14; 12=0.176; 23=0.06. 2.3 Математическая постановка задачи. Уравнения равновесия применительно к нашей задаче, когда напряжения зависят только от двух координат и fi=0, запишутся так: Граничные условия будут иметь следующий вид: или в развернутом виде применительно к нашей задаче: где n - нормаль к контуру отверстия. 2.4 Аналитическое решение. Решая данную задачу по методу изложенному в первой части с учетом того, что материал у нас ортотропный выясняем что характеристическое уравнение для определения коэффициентов распадается на уравнения 4 и 2 степени: Отсюда немедленно вытекают следующие соотношения: Как мы увидим в дальнейшем этих соотношений достаточно и искать непосредственно не требуется. Для решения нашей задачи воспользуемся формулами полученными в работе [1]. Нам надо будет провести только некоторые обобщения и объединение этих формул. Определим для начала необходимые нам константы аij: в ведем теперь следующие обозначения: Беря уравнение контура в параметрическом виде, т.е. полагая: введем еще обозначения для функций, зависящих от параметра : Нас будет интересовать только напряжение у края отверстия - где, как показывает ряд решенных задач, оно получается наибольшим. Опуская промежуточные выкладки приведем две формулы (при растяжении вдоль большой и малой оси эллипса): для нашей задачи в силу принципа суперпозиции (а его можно применить, так как мы рассматриваем линейную связь между напряжениями и деформациями, а также считаем их малыми) получим следующую общую формулу: 2.5 Иллюстрация распределения напряжений. Для построения эпюры напряжений на краю отверстия воспользуемся возможностями математического пакета MathCad 7.0. Используя найденную нами формулу рассчитаем напряжения в зависимости от угла и отложим их на графики от контура отверстия на продолжении лучей, проведенных из центра через данные точки контура. Положительные напряжения изображены стрелками направленными от центра к периферии, отрицательные - стрелками направленными к центру. При расчетах полагалось р=1. Результаты расчета и график распределения напряжений приведены соответственно в приложениях 1 и 2. Проведем небольшой анализ полученных результатов. Как мы видим максимальное напряжение наблюдается в точках , оно равно -6р. То есть наблюдаем концентрацию в 6 раз по сравнению с пластинкой без отверстия. Используемая литература:
Гостехиздат М. 1950 г. 2. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. Изд. "Наука" М. 1977 г. 3. под ред. Любина Д. Справочник по композиционным материалам.. Машиностроение М. 1988 г. П риложение 2. (График распределения напряжений) |
Пермский Государственный Технический Университет Кафедра государственного... План | B e r e z n I k I e n t e r p r I s e s тексты и задания на английском... Пермский государственный технический университет Березниковский филиал Кафедра общенаучных дисциплин | ||
Курсовая работа Компьютерная графика Савин И. И. 16. 12. 2008 Работа... Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) | Курсовая работа по дисциплине «Организация эвм» Тема: «Устройства ввода настоящего и будущего» Московский Государственный Институт Электроники и Математики (Технический Университет) | ||
Пермский государственный технический университет «информационная компетентность в профессиональной деятельности преподавателя вуза» | Контрольная работа № по дисциплине «Русский язык и культура речи» Московский государственный технический университет «мами кафедра «Русский язык» | ||
Российской Федерации Московский государственный институт электроники... В данной курсовой работе была разработана структурная схема лвс школы заказчика. Произведено логическое и физическое проектирование... | Министерства образования и науки РФ гоу впо «Пермский государственный... Анализ жанра irc | ||
Курсовая работа по дисциплине «информатика» «мати» Российский государственный технологический университет имени К. Э. Циолковского | Реферат по дисциплине «Введение в специальность» ... | ||
Поэтика михаила шишкина: система мотивов и повествовательные стратегии Работа выполнена на кафедре новейшей русской литературы фгбоу впо «Пермский государственный педагогический университет» | Учебно-методический комплекс дисциплины социология федеральное агентство... «Дальневосточный государственный технический университет (двпи им. В. В. Куйбышева)» в г. Петропавловске-Камчатском | ||
Учебно-методический комплекс дисциплины культурология федеральное... «Дальневосточный государственный технический университет (двпи им. В. В. Куйбышева)» в г. Петропавловске-Камчатском | Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра... От четкости или не четкости налоговой системы непосредственно зависит планирование и прогнозирование в организации, зависят взаиморасчеты... | ||
Литературная критика газеты «Пермские губернские ведомости» (1890-1917 годы ) ... | Пермский Государственный Технический Университет реферат: «проектирование... Мы изучили, каким образом можно описать задачу робототехнического манипулирования при помощи однородных преобразований; теперь нужно... |