Обобщенная теорема Фалеса

Скачать 109.82 Kb.

Название	Обобщенная теорема Фалеса
Дата публикации	09.04.2015
Размер	109.82 Kb.
Тип	Реферат

100-bal.ru > Математика > Реферат

Содержание:

Введение;
Обобщенная теорема Фалеса;

Формулировка;
Доказательство;

Теорема о пропорциональных отрезках;
Теорема Чевы;

Формулировка;
Доказательство;

Теорема Менелая;

Формулировка;
Доказательство;

Задачи и их решения;
Заключение;
Список использованных источников и литературы.

Введение.

Все незначительное нужно,

Чтобы значительному быть…

И. Северянин
Данный реферат посвящен применению метода параллельных прямых к доказательству теорем и решению задач. Почему мы обращаемся к этому методу? В этом учебном году на школьной олимпиаде по математике была предложена геометрическая задача, которая нам показалась очень сложной. Именно данная задача и дала импульс к началу работы по изучению и освоению метода параллельных прямых при решении задач на нахождение отношения длин отрезков.

Идея самого метода построена на использовании обобщенной теоремы Фалеса. Теорема Фалеса изучается в восьмом классе, ее обобщение и тема «Подобие фигур» в девятом и только в десятом классе, в ознакомительном плане, изучаются две важные теоремы Чевы и Менелая, с помощью которых относительно легко решается ряд задач на нахождение отношения длин отрезков. Поэтому на ступени основного образования мы можем решать довольно узкий круг задач по данному учебному материалу. Хотя на итоговой аттестации за курс основной школы и на ЕГЭ по математике задачи по данной теме (Теорема Фалеса. Подобие треугольников, коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников) предлагаются во второй части экзаменационной работы и относятся к высокому уровню сложности.

В процессе работы над рефератом стало возможным углубление наших знаний по данной теме. Доказательство теоремы о пропорциональных отрезках в треугольнике (теорема не входит в школьную программу) построено на методе параллельных прямых. В свою очередь, данная теорема позволила предложить еще один способ доказательства теорем Чевы и Менелая. И в итоге мы смогли научиться решать более широкий круг задач на сравнение длин отрезков. В этом и заключается актуальность нашей работы.

Обобщенная теорема Фалеса.

Формулировка:

Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.
Дано:

Прямая а рассечена параллельными прямыми (А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃,…, А_nB_n) на отрезки А₁А₂, А₂А₃, …, A_n_-1A_n, а прямая b- на отрезки В₁В₂, В₂В₃, …, В_n_-1В_n.
Доказать:

Доказательство:

Докажем, например, что

Рассмотрим два случая:

1 случай (рис. б)

Прямые a и b параллельны. Тогда четырехугольники

А₁А₂В₂В₁ и А₂А₃В₃В₂ – параллелограммы. Поэтому

А₁А₂= В₁В₂ и А₂А₃=В₂В₃, откуда следует, что

2 случай (рис. в)

Прямые a и b не параллельны. Через точку А₁ проведем прямую с, параллельную прямой b. Она пересечет прямые А₂В₂ и А₃В₃ в некоторых точках С₂ и С₃. Треугольники А₁А₂С₂ и А₁А₃С₃подобны по двум углам (угол А₁ – общий, углы А₁А₂С₂ и А₁А₃С₃ равны как соответственные при параллельных прямых А₂В₂ и А₃В₃ секущей А₂А₃), поэтому

1+

Или по свойству пропорций

С другой стороны, по доказанному в первом случае имеем А₁С₂= В₁В₂, С₂С₃= В₂В₃. Заменяя в пропорции (1) А₁С₂на В₁В₂ и С₂С₃на В₂В₃, приходим к равенству

что и требовалось доказать.
Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.

На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК:КС=m:n, BM:MC=p:q. Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О(рис. 124б).
Доказать:

Доказательство:
Через точку М проведем прямую MD(рис. 124а), параллельную ВК. Она пересекает сторону АС в точке D, и согласно обобщению теоремы Фалеса

Пусть АК=mx. Тогда в соответствии с условием задачи КС=nx, а так как KD:DC=p:q, то Снова воспользуемся обобщением теоремы Фалеса:

Аналогично доказывается, что .
Теорема Чевы.
Теорема названа в честь итальянского математика Джованни Чевы, который доказал её в 1678 году.

Формулировка:

Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки С₁, А₁ и В₁, то отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Дано:

Треугольник АВС и на его сторонах АВ, ВС и АС отмечены точки С₁, А₁ и В₁.
Доказать:

2.отрезки А А₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке.
Доказательство:
1. Пусть отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке О. Докажем, что выполнено равенство (3). По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике^¹ имеем:

Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части. Приравнивая их, получаем

Разделив обе части на правую часть, приходим к равенству (3).

2. Докажем обратное утверждение. Пусть точки С₁, А₁ и В₁взяты на сторонах АВ, ВС и СА так, что выполнено равенство (3). Докажем, что отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке. Обозначим буквой О точку п

ересечения отрезков А А₁иВВ₁ и проведем прямую СО. Она пересекает сторону АВ в некоторой точке, которую обозначим С₂. Так как отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке, то по доказанному в первом пункте

Итак, имеют место равенства (3) и (4).

Сопоставляя их, приходим к равенству = , которое показывает, что точки C₁ и C₂ делят сторону AB в одном и том же отношении. Следовательно, точки C₁ и C₂ совпадают, и, значит, отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точке O.

Что и требовалось доказать.
Теорема Менелая.

Формулировка:

Если на сторонах АВ и ВС и продолжении стороны АС (либо на продолжениях сторон АВ, ВС и АС) взяты соответственно точки С₁, А₁, В₁, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

Дано:

Треугольник АВС и на его сторонах АВ, ВС и АС отмечены точки С₁, А₁ и В₁.
Доказать:

2. точки А₁,С₁ и В₁ лежат на одной прямой
Доказательство:
1. Пусть точки А₁,С₁ и В₁ лежат на одной прямой. Докажем, что выполнено равенство (5). Проведем AD,BE и CF параллельно прямой В₁А₁ (точка D лежит на прямой ВС). Согласно обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Перемножая левые и правые части этих равенств, получаем

т.е. выполнено равенство (5).
2. Докажем обратное утверждение. Пусть точка В₁ взята на продолжении стороны АС, а точки С₁ и А₁ – на сторонах АВ и ВС, причем так, что выполнено равенство (5). Докажем, что точки А₁,С₁ и В₁ лежат на одной прямой. Пусть прямая А₁С₁пересекает продолжение стороны АС в точке В_2, тогда по доказанному в первом пункте

Сопоставляя (5) и (6), приходим к равенству = , которое показывает, что точки В₁ и В₂ делят сторону АС в одном и том же отношении. Следовательно, точки В₁ и В₂ совпадают, и, значит, точки А₁,С₁ и В₁ лежат на одной прямой. Аналогично доказывается обратное утверждение в случае, когда все три точки А₁,С₁ и В₁ лежат на продолжениях соответствующих сторон.

Что и требовалось доказать.

Решение задач.

Предлагается рассмотреть ряд задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике. Как было отмечено выше, для определения места расположения нужных в задаче точек существует несколько методов. В своей работе мы остановились на методе параллельных прямых. Теоретической основой данного метода является обобщенная теорема Фалеса, которая позволяет с помощью параллельных прямых переносить известные отношения пропорции с одной стороны угла на вторую его сторону, таким образом, нужно только удобным для решения задачи способом провести эти параллельные прямые.
Рассмотрим конкретные задачи:
Задача №1 В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка М так, что ВМ:МС=3:2. Точка Р делит отрезок АМ в отношении 2:1. Прямая ВР пересекает сторону АС в точке В₁. В каком отношении точка В₁ делит сторону АС?

Решение: Нужно найти отношение АВ₁:В₁С, АС искомый отрезок на котором лежит точка В₁.

М

етод параллельных заключается в следующем:

рассечь искомый отрезок параллельными прямыми. Одна ВВ₁ уже есть, а вторую МN проведем через точку М, параллельно ВВ₁.
Перенести известное отношение с одной стороны угла на другую его сторону, т.е. рассмотреть углы стороны, которых и рассекаются этими прямыми.

Стороны угла С рассекаются прямыми ВВ₁ и МN и по обобщенной теореме Фалеса заключаем В₁N=3р, NC=2р. Стороны угла МАС пересекают прямые РВ₁ и МN и делят его стороны в отношении 2:1, следовательно АВ₁:В₁N=2:1 и значит АВ₁=2n, В₁N=n. Так как В₁N=3р, и В₁N=n, то 3р= n.

Перейдем к интересующему нас отношению АВ₁:В₁С= АВ₁:( В₁N+ NС)= 2n:(3р+2р)=(2*3р):(5р)=6:5.

Ответ: АВ₁:В₁С = 6:5.

Замечание: Данную задачу можно было решить, используя теорему Менелая. Применив ее к треугольнику АМС. Тогда прямая ВВ₁ пересекает две стороны треугольника в точках В₁ и Р, а продолжение третьей в точке В. Значит применимо равенство: , следовательно
Задача №2 В треугольнике АВС АN – медиана. На стороне АС взята точка М так, что АМ : МС = 1 : 3. Отрезки AN и ВМ пересекаются в точке О, а луч СО пересекает АВ в точке К. В каком отношении точка К делит отрезок АВ.

Решение: Нужно найти отношение АК к КВ.

1

) Проведем прямую NN₁ параллельную прямой СК и прямую NN₂ параллельную прямой ВМ.

2) Стороны угла АВС пересекаются прямыми СК и NN₁и по обобщенной теореме Фалеса заключаем ВN₁:N₁K=1:1 или ВN₁= N₁K=y.

3) Стороны угла ВСM пересекаются прямыми BM и NN₂и по обобщенной теореме Фалеса заключаем CN₂:N₂M=1:1 или CN₂= N₂M=3:2=1,5.

4) Стороны угла NАС пересекаются прямыми BM и NN₂и по обобщенной теореме Фалеса заключаем АО: ОN=1:1,5 или АО=m ON=1,5m.

5) Стороны угла ВАN пересекаются прямыми СК и NN₁и по обобщенной теореме Фалеса заключаем АK: KN₁=1:1,5 или АK=n KN₁=1,5n.

6) KN₁=y=1,5n.

Ответ: АК:КВ=1:3.

Замечание: Данную задачу можно было решить, используя теорему Чевы, применив ее к треугольнику АВС. По условию точки N, М, К лежат на сторонах треугольника АВС и отрезки АN, СК и ВМ пересекаются в одной точке, значит справедливо равенство: , подставим известные отношения, имеем , АК:КВ=1:3.

Задача№3 На стороне ВС треугольника АВС взята точка D такая, что ВD : DC = 2:5, а на стороне АС точка Е такая, что . В каком отношении делятся отрезки ВЕ и АD точкой К их пересечения?
Решение: Нужно найти 1) АК:КD=? 2) ВК:КЕ=?

1) Проведем прямую DD₁ параллельную прямой BE.

2

) Стороны угла ВСЕ пересекаются прямыми ВЕ и DD₁и по обобщенной теореме Фалеса заключаем CD₁:D₁E=5:2 или CD₁= 5z , D₁E=2z.

3) По условию АЕ:ЕС=1:2, т.е. АЕ=х, ЕС=2х, но ЕС= CD₁+ D₁E, значит 2у=5z+2z=7z, z=

4) Стороны угла DСA пересекаются прямыми ВЕ и DD₁и по обобщенной теореме Фалеса заключаем

5) Для определения отношения ВК:КЕ проведем прямую ЕЕ₁ и рассуждая аналогичным образом получим
Ответ: АК:КD=7:4; ВК:КЕ=6:5.
Замечание: Данную задачу можно было решить, используя теорему Менелая. Применив ее к треугольнику ВЕС. Тогда прямая DA пересекает две стороны треугольника в точках D и K, а продолжение третьей в точке A. Значит применимо равенство: , следовательно ВК:КЕ=6:5. Рассуждая аналогично относительно треугольника ADC, получим , АК:КD=7:4.
Задача №4 В ∆ ABC биссектриса AD делит сторону BC в отношении 2 : 1. В каком отношении медиана CE делит эту биссектрису?

Решение: Пусть О точка пересечения биссектрисы AD и медианы СЕ. Нужно найти отношение АО:ОD.

1

) Проведем прямую DD₁ параллельную прямой СE.

2) Стороны угла АВС пересекаются прямыми СЕ и DD₁и по обобщенной теореме Фалеса заключаем ВD₁:D₁E=2:1 или ВD₁= 2p , D₁E=p.

3) По условию АЕ:ЕB=1:1, т.е. АЕ=y, ЕB=y, но EB= BD₁+ D₁E, значит у=2p+p=3p, p =
4) Стороны угла BAD пересекаются прямыми OЕ и DD₁и по обобщенной теореме Фалеса заключаем _.

Ответ: АО:ОD=3:1.
Задача №5 На сторонах AB и АC ∆ABC даны соответственно точки M и N такие, что выполняются следующие равенства АМ:МВ=СN:NA=1:2. В каком соотношении точка S пересечения отрезков BN и CM делит каждый из этих отрезков.

Задача №6 На медиане АМ треугольника АВС взята точка К, причем АК:КМ=1:3. Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку К параллельно стороне АС, делит сторону ВС.

Решение: Пусть М₁ точка пересечения прямой, проходящая через точку К параллельно стороне АС и стороны ВС. Нужно найти отношение ВМ₁:М₁С.

1) Стороны угла АМС пересекаются прямыми КМ₁ и АСи по обобщенной теореме Фалеса заключаем ММ₁:М₁С=3:1 или ММ₁= 3z, М₁С=z

2) По условию ВМ:МС=1:1, т.е.ВМ=y, МС=y, но МС= ММ₁+ М₁С, значит у=3z+z=4z,

3) _.

Ответ: ВМ₁:М₁С =7:1.
Задача №7 Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС за точку С взята точка N, причем СN=АС; точка К- середина стороны АВ. В каком отношении прямая КN делит сторону ВС.

Замечание: Данную задачу можно было решить, используя теорему Менелая. Применив ее к треугольнику АВС. Тогда прямая КN пересекает две стороны треугольника в точках К и K₁, а продолжение третьей в точке N. Значит применимо равенство: , следовательно ВК₁:К₁С=2:1.

Задача №8

Сайты:

http://festival.1september.ru

http://www.problems.ru

http://interneturok.ru/

ЕГЭ 2011 Математика Задача С4 Р.К.Гордин М.: МЦНМО, 2011, - 148 с

Заключение:

Решение задач и теорем на нахождение отношения длин отрезков базируется на обобщенной теореме Фалеса. Мы сформулировали метод, который позволяет, не применяя теорему Фалеса, пользоваться параллельными прямыми, переносить известные пропорции с одной стороны угла на другую сторону и, таким образом, находить место расположения нужных нам точек и сравнивать длины. Работа над рефератом помогла нам научиться решать геометрические задачи высокого уровня сложности. Мы осознали правдивость слов известного русского поэта Игоря Северянина: «Все незначительное нужно, Чтобы значительному быть…» и уверены, что на ЕГЭ мы сможем найти решение предложенным задачам, используя метод параллельных прямых.

1 Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике – вышеописанная теорема.

Добавить документ в свой блог или на сайт

	Обобщенная теорема Фалеса В этом учебном году на школьной олимпиаде по математике была предложена геометрическая задача, которая нам показалась очень сложной....		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Теорема Фалеса ( задача 385 ) Доказательство признака прямоугольника и свойств ромба
	Обобщенная теорема Виета В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если...		Обобщение теоремы Фалеса Применение подобия к доказательству теорем и решению задач (Обобщение теоремы Фалеса. Теоремы Чевы и Менелая.)
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Здравствуйте. Садитесь. Сегодня последний урок по теме «Теорема Пифагора». Теорема Пифагора – это одно из самых замечательных утверждений...		Вступительных испытаний по направлению подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре Локальные свойства непрерывных функций. Глобальные свойства непрерывных функций. Теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной...
	Конспект урока по теме «Теорема Пифагора» Учитель: Тихомирова Нина... Изучить теорему Пифагора, расширить круг геометрических задач, решаемых учащимися		Решение новых видов задач. Данная цель реализуется при объяснении... Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №23
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... А. Н. Колмогорова мгу им. М. В. Ломоносова в конце мая этого учебного года (как и два года назад) была посвящена аксиоматике аффинной...		Краткое содержание проекта Проект рассчитан на учащихся 8 класса.... «Теорема Пифагора». В результате проведения проекта учащиеся получат полное представление о жизни и научной деятельности древнегреческого...
	Это обобщенная и целостная картина мира, совокупность представлений... Знания -гносеология -раздел фил знания, изучающий процесс познания. Знания как основной компонент в структуре мировоззрения задают...		Конспект урока алгебры в 8-м классе по теме " Теорема Виета" ( учебник...
	Теорема о трех перпендикулярах Методы и приемы обучения: частично-поисковый, наглядный, взаимоконтроль, самоконтроль		Назначение и антенн и их общая характеристика Поле идентичных излучателей, одинаково ориентированных в пространстве (Теорема перемножения дн)
	Урок по теме Теорема Виета в 8 классе Развивающие: новые способы решения квадратных уравнений и их количество в зависимости от коэффициентов a, b, c		Конспект урока по теме: «Теорема Пифагора» Учебник «Русский язык. Грамматика. Текст. Стили речи» 10-11 класс, А. И. Власенков, Л. М. Рыбченкова

Обобщенная теорема Фалеса

Содержание:

Решение задач.

Похожие: