Реферат: Разработаны ном для проведения тестовых занятий по математике раздел «Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции»

Пример 5. Округлить сомнительные цифры числа а = 34 124 ( ± 0,021). Определить абсолютную погрешность результата. Решение. Приближенное число а имеет три верные цифры в узком смыс­ле. 3, 4, 1, так как = 0,021 < 0,05 Применяя правила округления, найдем приближенное значение а2, сохранив десятые доли: а2 = 34,1. Теперь получаем =+кр = 0,021 + 0,024 = 0,045 < 0,05. Таким образом, все значащие цифры числа верные (в узком смысле), т. е. а2= 34,1. Однако при округлении приближенного числа а имеющего п вер­ных значащих цифр (в узком смысле), до п значащих цифр может ока­заться, что округленное число а2 будет иметь п верных значащих цифр в широком смысле. Пример 6. Приближенное число а= 15,3654 ± 0,0018 имеет четыре верные значащие цифры в узком смысле (1, 5, 3, 6), так как 0,0018 < 0,005. При округлении до четырех значащих цифр получим а2= 15,37 и =+= 0,0018+0,0046 = 0,0064. Очевидно, что 0,005 < 0,0064 < 0,01. Следовательно, число 15,37 ± 0,0064 имеет четыре верные цифры в широком смысле. Пример 7. Округлить сомнительные цифры числа а= 26,7245 ± 0,0026, оставив верные знаки в узком смысле, Определить абсолютную погрешность ре­зультата. Решение. По условию = 0,0026 < 0,005, следовательно, в числе 26,7245 верными в узком смысле являются цифры 2, 6, 7, 2. Используя правила округления, найдем приближенное значение а2, сохранив сотые доли: а2 = 26,72. Далее, имеем =+=0,0026 + 0,0045 = 0,0071. Полученная погрешность больше 0,005 (0,005 < 0,0071), поэтому уменьшим чис­ло цифр в приближенном числе до трех: = 26.7. Находим =+= 0,0026+0,0245 = 0,0271, т. е. < 0,05. Следовательно, оставшиеся три цифры верны в узком смысле. Пример 8. Округлить сомнительные цифры числа а = 22,7314, оставив верные знаки в узком смысле. Определить абсолютную погрешность числа, если =0,2%. Решение. Запишем в виде десятичной дроби = 0,002 и опреде­лим по формуле (6') = | а |=22,7314 • 0,002 = 0,0455. Так как = 0,0455 < 0,05, то верными в этом числе* будут три цифры: 2, 2, 7. Округлим число 22,7314, сохранив в нем десятые доли: а2 = 22,7. Тогда =+= 0,0455+0,0314 = 0,0769. Поскольку полученная погрешность больше 0,05, уменьшаем число цифр в приб­лиженном числе до двух: а3 = 23; тогда =+== 0,0455+0,2686 = 0,3141, т. е. < 0,5. Таким образом, в полученном округленном числе 23 обе цифры являются верными в узком смысле. Пример 9. Округлить сомнительные цифры числа а= 5,273, оставив верные знаки в широком смысле. Определить абсолютную погрешность числа, если = 0,1%. Решение. Находим = | а |=5,273-0,001 =0,0053. В числе a-i верными в широком смысле являются три цифры (5, 2, 7), поэтому ок­ругляем его до трех значащих цифр: о2 = 5,27; отсюда = | а |= 0,0053 + 0,003 = 0,0083 < 0,01. Следовательно, округленное число 5,27 имеет три верные цифры в широком смысле. Связь между числом верных знаков и погрешностью числа Абсолютная погрешность приближенного числа связана с числом верных знаков соотношением <10, (1) что следует из определения верной значащей цифры. В какой же зависимости от числа верных значащих цифр находится относительная погрешность? Запишем приближенное число (2) все цифры которого при данном выборе параметра верные (0,5 < < 1). Разделив обе части неравенства (1) на | а |, получим т. е. (3) где — первая значащая цифра числа; п — количество верных значащих цифр. За предельную относительную погрешность можно принять - . (4) Пример 1. Какова предельная относительная погрешность приближенного числа a = 4,176, если оно имеет только верные цифры в узком смысле? Решение. Так как в числе 4,176 все четыре цифры верны в узком смысле, то выбираем = 0,5. По формуле (4) находим предельную относительную пог­решность = 0,000125 = 0,0125%, Заметим, что предельную относительную погрешность числа а можно найти, пользуясь формулой = | а |. Так как в данном числе а все цифры верны в узком смысле, то = 0,0005. Тогда =0,0005/4,176 = 0,000120 =0,0120%. Как видим, разница невелика, но применение формулы (4) несколько упро­щает вычисление б0. Пример 2. Какова предельная относительная погрешность числа а = 14,278, если оно имеет только верные цифры в широком смысле? Решение. Так как все пять цифр числа верны в широком смысле, то со = 1, Тогда =0,0001=0,01 Пример 3. Со сколькими верными десятичными знаками в узком смысле надо взять, чтобы погрешность не превышала 0,1%? Решение. Здесь a 4, 0,1; = 0,5, имеем 0,001, откуда 125 <10, n>3 + lg l,25, т. е. п > 3, где п — наименьший целочисленный аргумент. Погрешности суммы и разности Теорема. Абсолютная погрешность алгебраической суммы несколь­ких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешно­стей этих чисел. Доказательство. Пусть А = — сумма точных чисел, причем величины Xt могут быть любого знака; а= сумма приближенных значений этих чисел. Абсолютные погрешности их соответственно равны . Вычитая из точного значения суммы приближенное ее значение, имеем Переходя к модулям, получим Следовательно, . (1) что и требовалось доказать. Следствие. Предельная абсолютная погрешность алгебраичес­кой суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей сла­гаемых. Действительно, имеем Подставляя значения предельных абсолютных погрешностей в нера­венство (1), мы еще более усилим его: , или (2) Из последней формулы следует, что предельная абсолютная по­грешность алгебраической суммы не может быть меньше предельной абсолютной погрешности наименее точного из слагаемых, так как уве­личение точности за счет остальных слагаемых невозможно. Поэтому, чтобы не производить лишних вычислений, не следует сохранять лиш­ние знаки и в более точных слагаемых. При сложении чисел различной абсолютной точности рекомендуется поступать следующим образом: выделить число (или числа) наименьшей абсолютной точности (т. е. число, имеющее наибольшую абсолютную погрешность); наиболее точные числа округлить таким образом, чтобы сохра­нить в них на один знак больше, чем в выделенном числе (т. е. оставить один запасной знак); произвести сложение, учитывая все сохраненные знаки; полученный результат округлить на один знак. Пример 1. Сложить несколько приближенных чисел: а = 0,1732 + 17,45 + 0,000333 + 204,4 + 7,25 + + 144,2 + 0,0112 + 0,634 + 0,0771. В каждом из приведенных чисел верны все значащие цифры (в широком смысле). Решение, Выделяем два числа наименьшей точности: 204,4 и 144,2. Оба они верны с точностью до 0,1. Следовательно, остальные числа следует округлить с точностью до 0,01. Округлим и сложим эти числа: a=374.19 Округляя полученное число до 0,1, окончательно получим а = 374,2. Оценим точность результата. Для этого найдем полную погрешность, которая состоит из трех слагаемых) 1) суммы предельных погрешностей исходных данных = 0,0001 + 0,01 + 0,000001 + 0,1 + 0,01 + 0,1 + 0,0001 + 0,001 + + 0,0001 = 0,221301 < 0,222s 2) абсолютной величины суммы ошибок (с учетом их знаков) округления слагаемых = | 0,0032+0,000333+0,0012 + 0,004—0,0029| = 0,005833 < 0,006; 3) заключительной погрешности округления результата = 0,010. Следовательно, < 0,222 + 0,006 + 0,010 = 0,238 < 0,3. Искомая сумма есть 374,2 ± 0,3. Таким образом, убеждаемся, что окончательная погрешность не меньше предельной абсолютной погрешности наименее точного из слагаемых (действи­тельно, 0,3 > 0,1). Определим предельную относительную погрешность суммы несколь­ких приближенных чисел. Здесь следует различать два случая: 1) все слагаемые имеют одина­ковые знаки; 2) слагаемые имеют разные знаки. Рассмотрим первый случай. Пусть а=, где приближенные числа xt (i = 1, 2, п) имеют соответственно предельные абсолютные погрешности. Положим для простоты Xi > 0; тогда Но, согласно формуле (2) Подставляя в формулу (3) и заменяя а суммой получим (3') Так как , то (3") Обозначим через и наибольшее и наименьшее из чисел ; тогда имеем Аналогично можно получить, что Таким образом, (4) Следовательно, предельная относительная погрешность суммы слагаемых одного знака заключена между наименьшей и наибольшей предельными относительными погрешностями слагаемых. Рассмотрим второй случай (разность). Пусть х > 0, y > 0 и а = x - у. Тогда, сохраняя прежние обозначения, получим (5) Таким образом, если числа х и у мало отличаются друг от друга, то даже при малых погрешностях и величина предельной относительной погрешности разности может оказаться значительной. Пример 3. Пусть х = 5,125, у= 5,135; здесь = 0,0005, = 0,0005, 0,01%. Предельная же относительная погрешность разности а = х - у равна Очевидно, что в результате вычитания двух близких чисел может произойти большая потеря точности. Чтобы не допустить этого, следует попытаться так преобразовать вычислительную схему, чтобы малые разности величин вычислялись непосредственно. Пример 4. Найти разность и = с тремя верными знаками. Решение. Возьмем с достаточно большим количеством верных значащих цифр, так как при вычитании близких друг другу чисел первые несколько цифр могут пропасть: = 2,503997...; = 2,501999... . Получим u= = 0,001998 0,00200 = 2,00 Однако вычислительную схему можно изменить и взять квадратные корни только стремя верными знаками: Это выражение, кроме разности данных чисел, никаких других разностей не со­держит. В результате получаем u, как и прежде. Однако преобразовать вычислительную схему не всегда возможно. Поэтому при вычитании близких друг другу чисел необходимо их брать с достаточным числом запасных верных знаков (если это возможно). Если известно, что первые т значащих цифр могут пропасть, а резуль­тат нужно получить с п верными значащими цифрами, то исходные дан­ные необходимо брать с т + п верными значащими цифрами, как было сделано в примере 4. Погрешность произведения. Число верных знаков произведения Ранее были получены формулы для определения абсолютной по­грешности алгебраической суммы нескольких приближенных чисел. Для нахождения абсолютной погрешности произведения и = = х2...хп и частного и=х/у также можно получить соответствующие формулы, однако они являются более сложными, и поэтому абсолют­ную погрешность произведения и частного удобно находить через относительную погрешность, используя формулу . В свя­зи с этим выведем формулу для определения относительной погреш­ности произведения. Погрешность произведения. Теорема. Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел. Доказательство. Пусть u= (1) Для определенности положим, что приближенные числа положительны и имеют абсолютные погрешности соответственно. Для оценки погрешности произведения прологарифмируем выраже­ние (1): . (2) Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких прибли­женных чисел (2) не превосходит суммы абсолютных погрешностей слагаемых, т.е. (3) Используя приближенную формулу (4) получим (5) откуда (6) Заметим, что знак модуля в выражении (5) опущен, так как было при­нято, что > 0 (i = 1, 2, …п). Формула (6), очевидно, остается верной и в том случае, если xt имеют разные знаки. Следствие. Предельная относительная погрешность произве­дения равна сумме предельных относительных погрешностей сомно­жителей. Действительно, (7) Подставляя значения предельных относительных погрешностей в не­равенство (6), мы еще более усилим его, т. е. или . (8) Если все сомножители, кроме одного, являются точными числами, то из формулы (8) следует, что предельная относительная погрешность произведения совпадает с предельной относительной погрешностью приближенного сомножителя. Таким образом, если приближенным числом является лишь значение множителя х, то (9) Замечание. При умножении приближенного числа х на точ­ный сомножитель k предельная относительная погрешность произве­дения равна предельной относительной погрешности приближенного числа х, а предельная абсолютная погрешность в |k| раз больше пре­дельной абсолютной погрешности приближенного сомножителя. (10) Зная предельную относительную погрешность произведения и, можно определить его абсолютную погрешность по формуле . Из формулы (8) видно, что предельная относительная погрешность произведения не может быть меньше, чем предельная относительная погрешность наименее точного из сомножителей. Поэтому при перемно­жении чисел разной относительной точности (т. е. имеющих разное число верных значащих цифр) выполняют следующие действия по вы­числению произведения: выделяют число с наименьшим количеством верных значащих цифр (наименее точное число); округляют оставшиеся сомножители таким образом, чтобы они содержали на одну значащую цифру больше, чем количество верных значащих цифр в выделенном числе; сохраняют в произведении столько значащих цифр, сколько вер­ных значащих цифр имеет наименее точный из сомножителей (выделен­ное число). Пример 1. Найти произведение приближенных чисел = 3,6 и = 84,489, все цифры которых верны Решение. В первом числе две верные значащие цифры, а во втором — пять. Поэтому второе число округляем до трех значащих цифр. После округле­ния имеем = 3,6; =84,5. Отсюда = 3,6 • 84,5 = 294,20 2,9 102. В результате оставлены две значащие цифры, т. е. столько, сколько их имел сомножитель с наименьшим количеством верных значащих цифр. Число верных знаков произведения. Пусть дано произведение k сомножителей (k ^ 10): u= где xt 0, Каждый из сомножителей содержит не менее чем п верных цифр (п > 1). Приведем ответ: если все сомножители имеют п верных значащих цифр и число сомножителей не более 10, то число верных знаков произведения на одну или на две единицы меньше п. В том случае, если сомножители имеют различную точность, под п следует понимать чис­ло верных знаков наименее точного из сомножителей. Пример 3. Определить предельную относительную погрешность и количество верных цифр произведения и — 84,76 • 8,436, где все цифры сомножителей вер­ны в узком смысле. Решение. Оба сомножителя имеют по четыре верные цифры в узком смысле, т, е. п = 4 и = 0,5. Тогда имеем Следовательно, произведение имеет по меньшей мере гри верные цифры в узком смысле. Проверим, так ли это. Найдем произведение данных приближенных чисел; оно равно и = 714,1. Определим предельную абсолютную погрешность по форму­ле ; получим 714,1 • 0,125 . 100,09. Тогда u= 714,1 ± ± 0,09. Отсюда следует, что произведение имеет три верные цифры в узком смысле. Погрешность частного. Число верных знаков частного Теорема. Относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя. Доказательство. Пусть х и у — приближенные числа, а и — абсолютные погрешности. Для определенности положим х> 0, у> 0. Требуется найти погрешность частного (1) Прологарифмировав выражение (1), получим ln и = ln х — ln у. (2) Абсолютная погрешность алгебраической суммы приближенных чи­сел не превосходит суммы абсолютных погрешностей слагаемых, поэ­тому (3) Применяя приближенную формулу Получим или (4) Знак модуля в равенстве (4) опущен, так как мы положили х > 0, y>0. Формула (4), очевидно, будет верной и тогда, когда делимое и дели­тель имеют разные знаки. Следствие. Предельная относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и де­лителя. Действительно,, , т.е. (5) Замечание. Все правила приближенных вычислений, сфор­мулированные для умножения, распространяются и на случай деления. В частности, если одно из чисел (делимое или делитель) относительно точнее другого, то более точное число округляется так, чтобы в нем оказалось на одну значащую цифру больше, чем количество верных значащих цифр наименее точного из чисел. Это же правило распрост­раняется на случай, когда приходится перемножать или делить не­сколько чисел. Окончательный результат, как правило, записывается с абсолютной или предельной абсолютной погрешностью. Поэтому, зная относительную или предельную относительную погрешность част­ного, легко определить абсолютную или предельную абсолютную погрешность результата по формуле Пример 1, Вычислить частное и=x/y приближенных чисел x= 5,735 и y = 1,23, если все цифры делимого и делителя верны в широком смысле. Опре­делить предельные относительную и абсолютную погрешности. Решение. Сначала вычислим частное. Делимое х = 5,735 содержит че­тыре верные значащие цифры, делитель — три; поэтому можно проводить деление без предварительного округления: и = 5,735/1,23 = 4,66. В результате остав­лены три значащие цифры, так как наименее точное число (делитель) содержит три верные значащие цифры. 2) Подсчитаем предельную относительную погрешность частного по фор- муле (5), учитывая, что = 0,001, = 0,01 = 0.00018 + 0,00813 = 0,00831 =0,83 %. 3) Определим предельную абсолютную погрешность Аи = | и | б* = 4,66.0,0083 = 0,04. Окончательный результат следует записать так: и = 4,66 ± 0,04. Заметим, что цифра сотых долей является сомнительной, поскольку 0,04 > 0,01. Если записать результат только с верными значащими цифрами, то не­обходимо произвести округление и учесть погрешность округления, т. е. = 4,7; = 0,04 + 0,04 = 0,08 0,1. Тогда и = 4,7 ± 0,1. Однако на самом деле предельная абсолютная погрешность несколько ниже Число верных знаков частного. Пусть приближенные числа х и у имеют по п верных значащих цифр и пусть , .. Тогда, , если и, то частное имеет п-1 вер­ную значащую цифру. Если же и , то частное может иметь п-2 верные значащие цифры. Пример 2. Вычислить частное и = 39,356 : 2,21 и определить, сколько в нем содержится верных значащих цифр, если в делимом и делителе все цифры вер­ные (в узком смысле). Решение. Поскольку в делителе три верные значащие цифры, а в де­лимом — пять, делимое округляем до четырех значащих цифр и производим де­ление: и = 39,36 : 2,21 = 17,81 17,8 (в результате оставляем столько знача­щих цифр, сколько их имеется в числе с меньшим количеством верных значащих цифр). Погрешности функций Погрешность функции. Теорема. Предельная абсолютная по­грешность функции f(x) приближения x точного числа X в раз больше предельной абсолютной погрешности самого числа. Доказательство , что и требовалось доказать. Теорема. Предельная относительная погрешность функции,, и предельная относительная погрешность x связаны соотношением . Доказательство. Отсюда следует, что и, следовательно, . В качестве простого следствия приведем еще одно утверждение. Теорема. Предельная относительная погрешность корня т-й степени в т раз меньше предельной относительной погрешности подкоренного числа. Доказательство. Пусть и=, тогда (2) что и требовалось доказать. Из равенства (2) вытекает, что при извлечении корня m-й степени из приближенного числа в результате следует брать столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр имеет подкоренное число. Правила подсчета цифр При вычислениях, если не проводится строгий подсчет погрешно­стей, рекомендуется пользоваться правилами подсчета цифр. Эти пра­вила указывают, как следует проводить округление всех результатов, чтобы, во-первых, обеспечить заданною точность окончательного ре­зультата и, во-вторых, не производить вычислений с лишними знаками, не оказывающими влияние на верные знаки результата, Приведем правила подсчета цифр, данные В. М. Брадисом. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранить столько десятичных знаков, сколько их в прибли­женном данном с наименьшим числом десятичных знаков. При умножении и делении в результате следует сохранить столь­ко значащих цифр, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом верных значащих цифр. При возведении приближенного числа в квадрат или куб в ре­зультате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в ос­новании степени. При извлечении квадратного и кубического корней из прибли­женного числа в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в подкоренном числе. При вычислении промежуточных результатов следует сохранить на одну цифру больше, чем рекомендуют правила 1—4, В окончатель­ном результате эта «запасная цифра» отбрасывается, Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр (при других дей­ствиях), чем другие, то их предварительно следует округлить, сохраняя лишь одну «запасную цифру»с При вычислении с помощью логарифмов одночленного выраже­ния рекомендуется подсчитать число значащих цифр в приближенном данном, имеющем наименьшее число значащих цифр, и воспользовать­ся таблицей логарифмов с числом десятичных знаков на единицу большим. В окончательном результате последняя значащая цифра от­брасывается. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с т верными цифрами исходные данные следует брать с таким числом цифр, которые согласно предыдущим правилам обеспечивают т + 1 цифру в результате. Эти правила даются в предположении, что компоненты действий содержат только верные цифры и число действий невелико.

Похожие:

	75 4 Апробирование мультимедиа-сопровождения урока по математике... Редакция журнала просит авторов при подготовке статей к публикации руководствоваться изложенными ниже правилами и образцом оформления...		Реферат Разработаны научно-образовательные материалы для проведения... Создание ним и ном для проведения тестовых занятий по физике (раздел «Электричество») для учащихся специализированных классов средних...
	Программа элективного курса «Разнообразные способы решения иррациональных... «Разнообразные способы решения иррациональных уравнений и неравенств» весьма актуальна. Ее рассмотрение обобщает опыт изучения в...		Реферат по математике. На тему: «основные методы решения систем уравнений с двумя переменными» I: методы решения систем линейных уравнений стр. 3-7
	Тема урока: Иррациональные уравнения и неравенства Цель урока – обобщить основные методы решения иррациональных уравнений и неравенств; повторить свойства показательной и логарифмической...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Материалы Единого государственного экзамена, конкурсные задания в вузы содержат задачи, методы решения которых не рассматриваются...
	Литература ...		Реферат по математике. На тему: «основные методы решения систем нелинейных... Тема моего реферата «Решение систем уравнений с двумя переменными». Эта тема играет важную роль в курсе математики. Издавна применялось...
	75 2 Этап Апробирование разработанных научно-образовательных материалов... Этап Апробирование разработанных научно-образовательных материалов путем проведения тестовых занятий		Урока: Повторить и систематизировать способы решения показательных... Формировать умение работать самостоятельно, выбирать рациональное решение, умение обобщать, отличать один способ решения от другого,...
	Известно, что задачи на решение уравнений и неравенств составляют... Результаты срезов знаний школьников и практика проведения егэ показывают, что решение таких уравнений и неравенств, особенно со знаком...		Элективный курс «нестандартные методы решения уравнений и неравенств»... Федеральный бессрочный проект «Школа-вуз-предприятие» при поддержке Благотворительного фонда «Надёжная смена», г. Екатеринбург
	Тема: Старые методы для решения новых систем уравнений Тип урока Изучить методы решения систем уравнений, одно из которых является уравнение i-ой степени, а другое ii-ой степени		Решение неравенств второй степени с одной переменной Познакомить с алгоритмом решения неравенств на основе свойств квадратичной функции
	П/п Раздел, название урока в поурочном планировании Цель: расширить сведения о свойствах функций, выработать умение строить график квадратичной функции и применять графическое представление...		Реферат по математике на тему: Способы устного решения квадратных уравнений Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена