МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»
Радиофизический факультет
Кафедра математики
УТВЕРЖДАЮ
Декан радиофизического факультета
____________________Якимов А.В.
«18» мая 2011 г.
Учебная программа
Дисциплины Б2.Б7 «Дифференциальные и разностные уравнения»
по направлению 010300 «Фундаментальная информатика и информационные технологии»
Нижний Новгород
2011 г.
1. Цели и задачи дисциплины
Дисциплина «Дифференциальные и разностные уравнения» обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с ФГОС ВПО, содействует формированию и системного мышления. Цель дисциплины – ознакомление с фундаментальными понятиями и методами исследования обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики и их использованием для математического моделирования и разработки информационных технологий.
2. Место дисциплины в структуре программы бакалавра
Дисциплина «Дифференциальные и разностные уравнения» относится к дисциплинам базовой части математического и естественнонаучного цикла основной образовательной программы по направлению 010300 «Фундаментальная информатика и информационные технологии», преподается в 3 семестре.
Знания, приобретённые в процессе изучения дисциплины «Дифференциальные и разностные уравнения» являются математической основой для преподавания и изучения «Вычислительных методов», естественнонаучных («Физика», «Атомная физика»), а также профессиональных дисциплин.
3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате освоения дисциплины формируются следующие компетенции:
способность критически переосмысливать накопленный опыт, изменять при необходимости вид и характер своей профессиональной деятельности (ОК–8);
способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять математического методы анализа и моделирования в теоретических и экспериментальных исследованиях (ОК 10);
способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат, фундаментальные концепции и системные методологии, способность системного мышления (ПК–4);
способность профессионально владеть базовыми математическими знаниями, эффективно применять их для решения научно-технических задач и прикладных задач, связанных с развитием и использованием информационных технологий (ПК–8);
способность использовать на практике базовые математические дисциплины (ПК–15).
В результате изучения дисциплины студенты должны:
иметь представление:
о роли и месте дифференциальных уравнений и уравнений математической физики в теоретических и прикладных расчетах будущих специалистов в области информационных технологий.
знать:
основные методы интегрирования наиболее часто встречающихся в теории дифференциальных уравнений и ее приложениях типов обыкновенных дифференциальных уравнений;
классификацию уравнений с частными производными второго порядка
уметь:
интегрировать типовые дифференциальные уравнения первого порядка;
находить общее решение линейных однородных и неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами;
применять метод Фурье (метод разделения переменных) для решения задач математической физики.
иметь навыки:
владения методами интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
постановок основных задач гиперболического, параболического и эллиптического типов.
4. Объём дисциплины и виды учебной работы:
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 часов.
Виды учебной работы
|
Всего часов
|
Семестры
|
Общая трудоемкость дисциплины
|
108
|
3
|
Аудиторные занятия
|
68
|
68
|
Лекции
|
34
|
34
|
Практические занятия (ПЗ)
|
34
|
34
|
Семинары (С)
|
–
|
–
|
Лабораторные работы (ЛР)
|
–
|
–
|
Другие виды аудиторных занятий
|
–
|
–
|
Самостоятельная работа
|
40
|
40
|
Курсовой проект (работа)
|
–
|
–
|
Расчетно-графическая работа
|
–
|
–
|
Реферат
|
–
|
–
|
Другие виды самостоятельной работы
|
–
|
–
|
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
|
зачет
|
зачет
|
5. Содержание дисциплины
5.1. Разделы дисциплины и виды занятий
№ п/п
|
Раздел дисциплины
|
Лекции
|
ПЗ (или С)
|
ЛР
|
1
|
Введение в дисциплину
|
2
|
-
|
-
|
2
|
Обыкновенные дифференциальные уравнения
|
17
|
17
|
-
|
3
|
Уравнения математической физики
|
15
|
17
|
-
|
5.2. Содержание разделов дисциплины
Раздел 1. Введение в дисциплину
Предмет дисциплины. Исторические сведения о развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики. Основные понятия и определения, примеры математических моделей, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями математической физики.
Раздел 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Основные определения. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Метод изоклин. Уравнения, интегрируемые в квадратурах. Существование и единственность начальной задачи. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Зависимость решения дифференциального уравнения от параметров и начальных условий.
Дифференциальные уравнения старших порядков
Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши и краевая задача. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные дифференциальные уравнения. Фундаментальная система решений. Общее решение линейного однородного и неоднородного уравнений. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение, построение фундаментальной системы решений. Метод неопределенных коэффициентов. Операторный метод.
Системы дифференциальных уравнений
Линейные системы дифференциальных уравнений. Фундаментальная система решений. Общее решение линейных однородных и неоднородных систем. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение, построение фундаментальной системы решений. Устойчивость. Исследование на устойчивость по первому приближению. Исследование на устойчивость с помощью функции Ляпунова. Теорема Ляпунова. Теорема Четаева. Особые точки.
Раздел 3. Уравнения математической физики
3.1. Уравнения в частных производных
Уравнения в частных производных первого порядка. Классификация уравнений с частными производными второго порядка. Приведение линейного дифференциального уравнения второго порядка к каноническому виду. Общая схема метода разделения переменных (метод Фурье).
3.2. Уравнения гиперболического типа.
Уравнения гиперболического типа и задачи, приводящие к ним. Постановка основных задач. Задача Коши для уравнения колебаний, метод продолжения. Краевые задачи для уравнения колебаний. Интеграл энергии, единственность решения краевых задач. Метод разделения переменных.
3.3. Уравнения параболического типа.
Уравнения параболического типа и задачи, приводящие к ним. Постановка основных задач. Принцип максимума, единственность и устойчивость решения. Методы решения краевых задач. Задача Коши для уравнения теплопроводности.
3.4. Уравнения эллиптического типа.
Уравнения эллиптического типа и задачи, приводящие к ним. Постановка основных задач для уравнений Лапласа и Пуассона. Свойства гармонических функций. Теоремы единственности решения задач Дирихле и Неймана. Метод разделения переменных. Основные понятия теории потенциалов и ее применения.
5.3. Темы практических занятий
Дифференциальные уравнения (ДУ) с разделяющимися переменными. Однородные ДУ первого порядка и ДУ, приводимые к однородным.
ДУ в полных дифференциалах. Линейные неоднородные ДУ первого порядка.
ДУ первого порядка, неразрешённые относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро.
ДУ, допускающие понижение порядка.
Метод вариации произвольных постоянных для линейных неоднородных ДУ (ЛНДУ) порядка выше первого.
Операторный метод решения линейных неоднородных ДУ. Свойства обратного оператора.
Операторный метод решения линейных неоднородных ДУ с помощью разбиения обратного оператора на простые дроби.
Операторный метод решения систем линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами.
Метод Эйлера решения систем линейных однородных ДУ.
Свободные колебания ограниченной струны в среде без сопротивления. Метод Фурье.
Колебания ограниченных струн и стрежней под действием распределённых сил.
Продольные колебания ограниченного стержня с упруго закреплёнными концами.
Продольные колебания ограниченного стержня под действием граничной силы и граничного режима.
Телеграфные уравнения.
Колебания прямоугольной мембраны.
Распространение тепла в ограниченном стержне.
Распространение тепла в параллелепипеде.
Метод Фурье для уравнений эллиптического типа.
6. Лабораторный практикум
Не предусмотрен.
7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
7.1. Рекомендуемая литература
а) основная литература:
Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: “Высшая школа”. 1990.
Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1999.
Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1980.
б) дополнительная литература:
Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1958.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1982.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.
Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982.
8. Вопросы для контроля
Основные определения: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, порядок уравнения, общее решение, начальные условия, частное решение. Физические примеры.
Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Интегральные кривые. Поле направлений. Метод изоклин.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и приводимые к ним. Особые решения.
Однородные дифференциальные уравнения и приводимые к ним
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Построение общего решения по известным частным решениям. Уравнения Бернулли и Риккати.
Уравнение в полных дифференциалах. Понятие первого интеграла, его отличие от общего интеграла. Необходимое и достаточное условие, чтобы дифференциальная форма была полным дифференциалом.
Интегрирующий множитель. Теоремы об интегрирующем множителе (без доказательства). Приемы отыскания интегрирующих множителей.
Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.
Решение дифференциального уравнения методом последовательных приближений. Геометрическая интерпретация принципа сжимающих отображений.
Метод продолжения решений. Непродолжаемые решения. Построение непродолжаемого решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.
Теорема о примыкании непродолжаемого решения к границе области. Степень гладкости решений дифференциального уравнения.
Непрерывная зависимость решения дифференциального уравнения первого порядка от начальных условий и от параметров.
Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Общий случай введения параметра.
Дифференциальные уравнения, разрешимые относительно аргумента или функции. Уравнения Лагранжа и Клеро. Понятия С-дискриминантной кривой и огибающей семейства кривых, их связь. Теорема об огибающей семейства интегральных кривых.
Теорема существования решения уравнения первого порядка, неразрешенного относительно производной. Р-дискриминантная кривая и особые решения.
Уравнения n-го порядка. Теорема существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Понятие линейного дифференциального оператора, его свойства.
Определитель Вронского решений однородного уравнения и его свойства.
Фундаментальная система решений. Теоремы о существовании фундаментальной системы решений, о ее линейном невырожденном преобразовании. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка.
Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Принцип суперпозиции.
Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Интегральная запись частного решения. Функция Грина.
Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Построение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами.
Отыскание частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов (метод подбора).
Оператор дифференцирования. Операторные многочлены и их свойства. Действие оператора на простейшие функции. Формула смещения.
Операторный метод отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Понятие обратного оператора, его свойства. Действие обратного оператора на простейшие функции. Формула смещения. Разложение обратного оператора на простейшие дроби.
Уравнение Эйлера. Запись фундаментальной системы решений уравнения Эйлера в зависимости от вида корней характеристического многочлена. Способ отыскания частного решения уравнения Эйлера.
Теорема существования решений дифференциального уравнения в виде степенного ряда (без доказательства). Уравнение Эйри.
Теорема существования решений дифференциального уравнения в виде обобщенного степенного ряда (без доказательства). Уравнение Бесселя.
Теорема об эквивалентности нормальной системы n дифференциальных уравнений и одного уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной. Метод исключения.
Теоремы о непрерывной зависимости и дифференцируемости решения нормальной системы по начальным условиям и по параметру (без доказательства). Определение первого интеграла для нормальной системы дифференциальных уравнений. Независимость интегралов. Существование n независимых первых интегралов, как следствие теоремы о дифференцируемости решений нормальной системы по начальным условиям (без доказательства).
Симметричная форма системы дифференциальных уравнений. Необходимое и достаточное условие для первого интеграла симметричной системы. Интегрируемые комбинации.
Нормальная система линейных однородных уравнений с непрерывными коэффициентами. Теоремы единственности, о тривиальности решения, о линейной комбинации и линейной зависимости решений.
Фундаментальная система решений, теорема о ее существовании. Структура общего решения линейной однородной системы.
Теоремы о максимальном числе линейно независимых решений, о линейном невырожденном преобразовании ФСР. Определитель Вронского для системы решений нормальной системы линейных однородных уравнений, его свойства (без доказательства).
Теорема об общем виде решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений. Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частного решения линейной неоднородной системы.
Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами. Характеристическая матрица и характеристическое уравнение. Вид фундаментальной системы.
Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости.
Простейшие типы точек покоя. Устойчивость по первому приближению.
Классификация дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Приведение к каноническому виду.
Метод разделения переменных (метод Фурье). Общая схема метода.
Уравнения гиперболического типа и задачи, приводящие к ним.
Постановка основных задач для уравнения колебаний.
Формула Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения. Корректность постановки задачи Коши для одномерного волнового уравнения. Пример Адамара некорректной задачи Коши.
Смешанная задача на отрезке для волнового уравнения. Интеграл энергии, единственность решения. Метод Фурье и его обоснование. Условия согласования. Существование классического решения.
Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций.
Уравнения параболического типа и задачи, приводящие к ним.
Принцип максимума. Теоремы единственности. Теорема существования для одномерного случая.
Уравнение теплопроводности на бесконечной прямой и в неограниченном пространстве
Методы решения краевых задач.
Задача Коши для уравнения теплопроводности.
Уравнения Лапласа и Пуассона. Постановка краевых задач. Фундаментальные решения уравнения Лапласа.
Формулы Грина.
Гармонические функции и их свойства (теорема Гаусса, теорема о среднем, бесконечная дифференцируемость, принцип максимума).
Теоремы единственности для внутренних и внешних краевых задач для уравнения Лапласа.
Функция Грина для уравнения Лапласа и ее свойства
Потенциалы простого и двойного слоя и их свойства
Сведение внутренней задачи Дирихле к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода
9. Критерии оценок
Зачтено
|
Подготовка, удовлетворяющая минимальным требованиям.
|
Не зачтено
|
Необходима дополнительная подготовка для успешного прохождения испытаний.
|
10. Примерная тематика курсовых работ и критерии их оценки
Не предусмотрены.
Программа составлена в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению 010300 «Фундаментальная информатика и информационные технологии»
Автор программы: _________________ Ушаков Ю.В.
Программа рассмотрена на заседании кафедры 18 марта 2011 г. протокол № 10-11-04
Заведующий кафедрой _________________ Дубков А.А.
Программа одобрена методической комиссией факультета 11 апреля 2011 года
протокол № 05/10
Председатель методической комиссии_________________ Мануилов В.Н.
|
