Скачать 65.08 Kb.
|
Вариант №2 Контрольная работа № 1 № 1 Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя. 2. а) ; б) ; в) ; г) Решение: а) Здесь сталкиваемся с неопределенностью вида . Наивысшая степень в числителе и знаменателе 3. Вынесем старшую степень за скобки, получим: б) ; При подстановке в выражение под знаком предела вместо х его предельного значения получаем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю: в) г) При вычислении этого предела используем второй замечательный предел. Но сначала выполним преобразования под знаком предела: Ответ: а) , б) , в) , г) . № 2 Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж. 12. Решение: Функция определена и непрерывна на интервале функция определена и непрерывна на интервале функция определена и непрерывна на интервале Точки, в которых функция может иметь разрыв, это точки и , где функция меняет своё аналитическое выражение. Исследуем точку : Таким образом, односторонние пределы в точке существуют, конечны, но не равны между собой. По определению, исследуемая точка – точка разрыва первого рода. Величина скачка функции в точке разрыва равна Перейдем к точке : Т.к. односторонние пределы в точке совпадают, значит, функция f(x) в точке непрерывна. Сделаем чертёж: № 3 Найти производные данных функций. 22. а) ; б) ; в) г) ; д) Решение: а) Будем использовать формулу: б) Будем использовать формулу а затем правило дифференцирования частного: в) г) д) Так как зависимость между переменными x и y задана в неявном виде, то для нахождения производной достаточно продифференцировать обе части уравнения, считая у функцией от х, и из полученного уравнения найти : Ответ: а) ; б) в) г) д) № 4 32. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке . Решение: Находим критические точки: Поделим уравнение на 5: В интервал попадают только точки . Найдём значение функции в точках и на границах интервала: Т.е. наибольшее значение функции ; наименьшее значение функции Ответ: Наибольшее значение , наименьшее значение № 5 Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график. 42. Решение: 1) Область определения функции – вся числовая прямая, то есть . Функция непрерывна во всей её области определения. Следовательно, нет ни точек разрыва, ни вертикальных асимптот. 2) Точки пересечения с осями координат: С осью ОY: х=0, , точка (0;-5,95) С осью ОX: y=0, x1=7 точки пересечения c осью ОX: (7;0), (1;0), (17;0) 3) Функция ни чётная ни нечётная, так как: 4) Экстремумы и интервалы монотонности. Вычисляем первую производную: . Получили две критические точки: . Исследуем знак производной на интервалах (- ∞; ), (; 13), (13; + ∞), на которые критические точки делят область определения функции. На интервалах (-∞;) и (13; +∞) функция возрастает, на интервале (; 13) – убывает. При переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, в этой точке функция имеет максимум. . При переходе через критическую точку х=13 производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, в этой точке функция имеет минимум . 5) Интервалы выпуклости и точки перегиба. Найдём вторую производную: . Из уравнения получим . Нашли критическую точку: . Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка делит область определения функции. Определяем знак второй производной в каждом из интервалов: , . Таким образом, кривая выпукла на интервале и вогнута на интервале , а – точка перегиба. ; 6) Найдём наклонные асимптоты. Наклонная асимптота имеет вид у = kx + b, если существуют конечные пределы: , ; . Таким образом, функция не имеет наклонных асимптот. 7. Строим график функции: № 6 Найти полный дифференциал функции двух переменных. 52. Решение: Полным дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е. По формуле полного дифференциала находим: Ответ: № 7 Дана функции , точка и вектор а. Найти: 1) в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора . 62. ; А(2;1) Решение: 1) Градиент для функции двух переменных находится по формуле: Вычислим В произвольной точке P(x;y): В точке А(2;1): 2) Производная функции z по направлению - это алгебраическая проекция вектора на направление : где - угол между векторами и . Поскольку то в точке A получаем В пункте 1) был найден ; направление задано вектором , тогда производная в точке А по направлению вектора имеет вид: Ответ:
Литература:
|
Контрольная работа Вариант 8 Содержание «Средняя общеобразовательная школа с. Кормежка», Саратовская одл,, Балаковский р- он | Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | ||
Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | ||
Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | ||
Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | ||
Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | ||
Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | ||
Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | ||
Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента |