МАТЕРИАЛЫ К ПРОМЕЖУТОЧНОМУ И ИТОГОВОМУ КОНТРОЛЮ.
Вариант аудиторной контрольной работы.
Из 30 вопросов студент выучил 23. Преподаватель задает три вопроса. Какова вероятность того, что студент: а) не ответит хотя бы на один вопрос; б) ответит по крайней мере на два вопроса?
На карточках написаны буквы слова «синусоида». Карточки перемешивают, наудачу выбирают 5 карточек и кладут в порядке их появления. Какова вероятность того, что получится слово «синус»?
В первой вазе 25 роз, из них 5 красных, во второй – 30, из них 12 красных. Из каждой вазы наудачу берут по одному цветку. Какова вероятность того, что только одна роза красная?
Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо из группы людей страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина, если в рассматриваемой группе людей мужчин в два раза больше, чем женщин?
В 1 «А» классе 21 человек, из них 16 мальчиков; в 1 «Б» – 19 человек, из них 8 мальчиков. Из 1 «А» перевели одного наудачу взятого ученика в 1 «Б», затем из 1 «Б» наудачу взяли двух учеников. Найти вероятность того, что это 2 девочки?
В пчелиной семье 4000 пчел. Вероятность заболевания в течение дня равна 0, 001 для каждой пчелы. Найти вероятность того, что в течение дня заболеют две пчелы.
Вариант домашней контрольной работы.
Найти вероятность того, что на 2 определенные карточки в “Спортлото - 5 из 36” будет получено по минимальному выигрышу (угадано ровно три числа).
Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек будут в разные месяцы года.
На одной полке наудачу расставляется 15 книг. Найти вероятность того, что определенные 3 книги окажутся поставленными рядом.
На военных учениях летчик получил задание «уничтожить» 3 рядом расположенных склада боеприпасов противника. На борту самолета одна бомба. Вероятность попадания в первый склад равна 0,1, во второй – 0,08, в третий – 0,25. Любое попадание в результате детонации вызовет взрыв и остальных складов. Какова вероятность того, что склады противника будут уничтожены?
Из букв слова «колокол», составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу
извлекают три буквы и выкладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «кол»?
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Произведено 3 выстрела. Какова вероятность, что будет: а) три попадания; б) один промах; в) хотя бы одно попадание.
20 машин были доставлены на станцию технического обслуживания. При этом 9 из них имели неисправность в ходовой части, 8 имели неисправности в моторе, а 10 были полностью исправны. Какова вероятность, что машина с неисправной ходовой частью имеет так же неисправный мотор?
Вероятность того, что стрелок попадет хотя бы один раз при трех выстрелах, равна 0,992. Найти вероятность двух попаданий в цель при трех выстрелах, если при каждом выстреле вероятность попадания постоянна.
В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 12 новых и 8 игранных. Из ящика извлекаются наугад два мяча для игры, а после игры возвращаются обратно. После этого из ящика вынимают два мяча для следующей игры. Найти вероятность того, что эти оба мяча окажутся новыми.
Прибор состоит из двух блоков, причем для функционирования прибора необходима исправная работа обоих блоков. Вероятность исправной работы первого блока в течение суток 0,8, второго – 0,7. После испытания прибора в течение суток было обнаружено, что прибор вышел из строя. Найти вероятность того, что первый узел исправен.
Найти вероятность того, что при четырех подбрасываниях игральной кости 5 очков появится: а) два раза; б) хотя бы один раз.
Вероятность того, что автомат при опускании одной монеты правильно сработает, равна 0,99. Найти наиболее вероятное число случаев неправильной работы автомата и вероятность такого числа случаев, если будет опущено 200 монет.
Установлено, что виноградник поражен вредителями на 10%. Найти вероятность того, что из 120 проверенных число зараженных кустов будет от 5 до 20.
В автопарке 100 машин. Вероятность поломки машины 0,1. Найти вероятность того, что число исправных машин заключено между 85 и 95.
Покупатель посещает магазины до момента приобретения нужного товара. Вероятность того, что товар имеется в определенном магазине, составляет 0,3. Составить закон распределения случайной величины X – числа магазинов, которые посетит покупатель из 4 возможных. Построить многоугольник распределения вероятностей, найти: M(X), D(X), (X).
Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения. Найти: а) вероятность попадания X в интервал (-2;0); б) плотность вероятности (x); в) числовые характеристики
Н
ормально распределенная случайная величина задана плотностью распределения:
Найти: а)  б)  в) вероятность того, что отклонение случайной величины от математического ожидания по абсолютной величине не превысит 0, 2.
Вариант типового расчета
В течение месяца выборочно осуществлялась проверка торговых точек города по продаже овощей. Результаты проверки по недовесам покупателям одного вида овощей приведены в таблице 1.
вычислить числовые характеристики распределения;
построить гистограмму относительных частот;
используя критерий Пирсона при уровне значимости 0,05, поверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением данной выборки.
Таблица 1
-
Номер интервала
|
Интервалы недовесов, г
|
Частоты, ni
|
1
|
0-10
|
5
|
2
|
10-20
|
12
|
3
|
20-30
|
8
|
4
|
30-40
|
25
|
5
|
40-50
|
10
|
6
|
50-60
|
8
|
7
|
60-70
|
20
|
8
|
70-80
|
7
|
9
|
80-90
|
5
| Вопросы к экзамену
Классическое определение вероятности. Свойства вероятности. Относительная частота.
Формулы комбинаторики.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Полная группа событий. Теорема о сумме вероятностей событий, образующих полную группу.
Противоположные события. Теорема о сумме вероятностей противоположных событий.
Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Независимые события. Теорема умножения для независимых событий. Доказать, что если события A и B независимые, то независимы также события В и А.
Вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности.
Теорема сложения вероятностей совместных событий.
Формула полной вероятности.
Формулы Байеса.
Формула Бернулли.
Локальная теорема Лапласа.
Интегральная теорема Лапласа.
Формула Пуассона.
Биноминальное распределение. Распределение Пуассона.
Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.
Определение математического ожидания дискретной случайной величины. Вероятностный смысл математического ожидания.
Математическое ожидание числа появлений события в n независимых испытаниях.
Отклонение случайной величины от своего математического ожидания. Математическое ожидание этого отклонения.
Определение дисперсии случайной величины. Свойства дисперсии.
Вывод формулы для вычисления дисперсии дискретной случайной величины.
Дисперсия числа появлений события в n независимых испытаниях. Среднее квадратическое отклонение.
Определение функции распределения вероятностей случайной величины.
Доказать, что функция распределения вероятностей случайной величины является неубывающей.
Чему равна вероятность того, что непрерывная величина X примет одно определенное значение.
Определение плотности распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.
Нахождение функции распределения по известной плотности распределения. Свойства плотности распределения.
Вероятностный смысл плотности распределения.
Закон равномерного распределения вероятностей.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины.
Дисперсия непрерывной случайной величины. Вывод формулы.
Кривая Гаусса.
Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.
Вероятность отклонения нормально распределенной величины X от математического ожидания.
Правило трех сигм.
Закон больших чисел и центральная предельная теорема.
Цепь Маркова (определение, примеры). Переходные вероятности. Матрица перехода.
Метод произведений вычисления выборочных средней и дисперсии.
Показать, что М(X)=D(X), где X- случайная величина, распределенная по закону Пуассона.
Критерий согласия Пирсона.
Задано статистическое распределение. Как найти закон распределения с нормальной плотностью.
Задано статистическое распределение. Как найти закон распределения с равномерной плотностью.
СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ, ДРУГИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ
Основная литература
Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах В 2ч.: Ч.2: Учебное пособие для вузов / П.Е. Данко. - 6-е изд.- М.: ООО "Издательство Оникс", 2005 - 416c.
Кремер Н.Ш.Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер. - 2-е изд., перераб. и доп.- М.: , 2007 - 573c.
Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-методическое пособие для студентов экономических специальностей / Сост. Ю.А.Кузнецова. - Рубцовск-Барнаул: АГУ, 2005 - 133c.
Дополнительная литература
Венцель Е.С. Теория вероятностей : Учебник для вузов / Е. С. Вентцель . – 7-е изд., стереотип . – М. : Высшая школа, 2001 . – 575 с.
Горелова Г.В., Кацко И.А. Теория вероятностей и математическая статистика: В примерах и задачах с применением Excel / Г.В. Горелова, И.А. Кацко. - Ростов-н/Д: Феникс, 2006 - 475c.
Гусак А.А., Бричикова Е.А. Справочное пособие к решению задач: теория вероятностей / А.А. Гусак, Е.А. Бричикова. - Мн.: ТетраСистемс, 1999 - 288c
Зайцев И.А Высшая математика: Учебник для вузов / И.А. Зайцев. - испр.- М.: Дрофа, 2004 - 400c.
Калинина, В.Н. Математическая статистика: Учебник для студентов средних специальных учеб. заведений / В.Н. Калинина, В.Ф. Панкин. - Мн.: Высш. шк., 2001 - 336c.
Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. – Ростов н/Д: Феникс, 1999.
Основы математической статистики: Учебное пособие для ин-тов физ. культ. / Под ред. В.С. Иванова. - М.: Физкультура и спорт, 1990 - 176c.
Румшинский, Л.З. Элементы теории вероятностей / Л.З. Румшинский. - М.: Гос.изд.физ.-математ.лит., 1963 - 156c.
Селезнев, Л.И. Введение в теорию вероятностей и ее приложения : Учебно-справочное пособие / Л.И. Селезнев. - М.: РОУ, 1996 - 56c.
Солодовников, А.С. Теория вероятностей: Учеб.пособие для студентов пед. ин-тов по матем. спец. / А.С. Солодовников. - М.: Просвещение, 1983 - 207c.
Базы данных, Интернет-ресурсы,
информационно-справочные и поисковые системы
Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная библиотека [Электронный ресурс]: инф. система. – М.: ФГАУ ГНИИ ИТТ "Информика", 2005-2012. – Режим доступа: //www. http://window.edu.ru, свободный. – Загл. с экрана (дата обращения 11.04.2012)
Образовательный математический сайт http://www.exponenta.ru/
Поисковые системы: Яндекс, Rambler, Google
Свободная энциклопедия Википедия (http://ru.wikipedia.org)
|
