3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
(дидактические единицы)
ДЕ 1
Тема 1. Теория вероятностей как наука. Возникновение и развитие теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности. Примеры непосредственного вычисления вероятностей.
Аудиторное изучение: Предмет теории вероятностей. Определение случайного события, примеры. Исторические сведения о возникновении и развитии теории вероятностей. Классификация событий: достоверные, невозможные и случайные. Виды случайных событий: совместные, несовместные, равновозможные, единственно возможные, образующие полную группу, противоположные. Понятие вероятности. Субъективное определение вероятности. Классическое определение вероятности, свойства вероятности (вероятность достоверного события, вероятность невозможного события, вероятность случайного события). Ограниченность классического определения. Статистическая вероятность. Геометрические вероятности. Примеры непосредственного вычисления вероятностей.
Самостоятельное изучение: Изучение соответствующего лекционного материала. Изучение §§ 1.1. – 1.4. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика».
Тема 2. Элементы комбинаторики. Применение формул комбинаторики для вычисления вероятностей.
Аудиторное изучение: Что изучает комбинаторика. Правила комбинаторики (правило суммы, правило произведения). Формулы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания. Примеры задач на применение правил и формул комбинаторики.
Самостоятельное изучение: Изучение соответствующего лекционного материала. Изучение §§ 1.5; 1.6 учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика».
Тема 3. Действия над событиями. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Теорема умножения вероятностей зависимых и независимых событий.
Аудиторное изучение: Определение суммы и произведения событий, их иллюстрация с помощью диаграмм Венна. Теорема сложения вероятностей несовместных событий, примеры ее применения. Теорема о сумме вероятностей событий, образующих полную группу, примеры ее применения. Теорема о сумме вероятностей противоположных событий, примеры ее применения. Условная и
безусловная вероятности. Зависимые и независимые события, события независимые в совокупности. Теоремы умножения вероятностей, примеры их применения.
Самостоятельное изучение: Изучение соответствующего лекционного материала. Изучение §§ 1.7. – 1.10. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика».
Тема 4. Вероятность появления хотя бы одного события.
Аудиторное изучение: Теоремы о нахождении вероятности появления хотя бы одного события (для независимых в совокупности событий; событий, имеющих одинаковую вероятность; зависимых событий), примеры их применения.
Самостоятельное изучение: Изучение соответствующего лекционного материала. Изучение § 1.9. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика».
Тема 5. Следствия теорем сложения и умножения.
Аудиторное изучение: Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности. Определение гипотезы. Формулы Байеса. Их применение к решению практических задач.
Самостоятельное изучение: Изучение соответствующего лекционного материала. Изучение §§ 1.9 - 1.11. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика».
Тема 6. Повторные независимые испытания.
Аудиторное изучение: Понятие повторных независимых испытаний. Сложное событие. Формула Бернулли, ее применение к решению задач. Формула Пуассона, ее применение к решению задач. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа, их применение к решению задач. Формула нахождения вероятности отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях, ее применение к решению задач. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях, формула его нахождения.
Самостоятельное изучение: Изучение соответствующего лекционного материала. Изучение §§ 2.1. – 2.4. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика».
ДЕ 2.
Тема 7. Понятие случайной величины. Виды случайных величин. Дискретная случайная величина, способы ее задания. Действия над случайными величинами.
Аудиторное изучение: Понятие случайной величины. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Математические операции над случайными величинами.
Самостоятельное изучение: Изучение соответствующего лекционного материала. Изучение §§ 3.1. – 3.2. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика».
Тема 8. Числовые характеристики дискретной случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).
Аудиторное изучение: Понятие числовых характеристик. Определение математического ожидания дискретной случайной величины. Свойства математического ожидания. Вероятностный смысл математического ожидания. Определение дисперсии дискретной случайной величины. Свойства дисперсии. Определение среднего квадратического отклонения.
Самостоятельное изучение: Изучение соответствующего лекционного материала. Изучение §§ 3.3. – 3.4. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика».
Тема 9. Функция распределения случайной величины и ее свойства.
Аудиторное изучение: Определение функции распределения вероятностей. Свойства этой функции. Нахождение функции распределения вероятностей дискретной случайной величины по известному закону распределения. Нахождение закона распределения дискретной случайной величины по известной функции распределения.
Самостоятельное изучение: Изучение соответствующего лекционного материала. Изучение § 3.5. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика».
Тема 10. Непрерывная случайная величина, плотность распределения и ее свойства. Числовые характеристики.
Аудиторное изучение: Определение непрерывной случайной величины. Определение плотности распределение вероятностей. Свойства плотности распределения вероятностей. Нахождение функции распределения по известной плотности. Нахождение плотности распределения по известной функции распределения. Нахождение вероятности того, что случайная величина примет значение из
некоторого интервала. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения.
Самостоятельное изучение: Изучение соответствующего лекционного материала. Изучение § 3.6. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика».
Тема 11.. Основные законы распределения случайных величин. Модели законов распределения вероятностей, наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях. Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин
Аудиторное изучение: Законы распределения дискретной случайной величины (биноминальный закон, закон распределения Пуассона). Законы распределения непрерывной случайной величины (равномерный и нормальный законы). Модели законов распределения вероятностей, наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях. Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин
Самостоятельное изучение: Изучение соответствующего лекционного материала. Изучение §§ 4.1, 4.2, 4.5, 4.7. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика».
Тема 12. Закон больших чисел и центральная предельная теорема.
Аудиторное изучение: Закон больших чисел в широком и узком смысле. Неравенство Маркова (лемма Чебышева). Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема
Самостоятельное изучение: Изучение соответствующего лекционного материала. Изучение §§6.1. – 6.5. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика».
Тема 13. Определение цепи Маркова. Примеры. Однородная цепь Маркова. Переходные вероятности. Матрица перехода.
Аудиторное изучение: Определение цепи Маркова. Примеры. Однородная цепь Маркова. Переходные вероятности. Матрица перехода.
Самостоятельное изучение: Изучение соответствующего лекционного материала. Изучение §§ 7.1, 7.2, 7.4 учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика».
Тема 14. Применение цепей Маркова при моделировании социально-экономических процессов.
Аудиторное изучение: Применение цепей Маркова при моделировании социально-экономических процессов.
Самостоятельное изучение: Изучение соответствующего лекционного материала. Изучение §§ 7.1, 7.2, 7.4 учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика».
ДЕ 3.
Тема 15. Предмет и основные задачи математической статистики. Выборочный метод. Вариационные ряды и их характеристики.
Аудиторное изучение: Математическая статистика как наука, ее основные задачи. Генеральная и выборочная совокупности. Общие сведения о выборочном методе (сущность выборочного метода, репрезентативная выборка, виды выборок, важнейшая задача выборочного метода). Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма. Основные характеристики статистического распределения (выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение).
Самостоятельное изучение: Изучение соответствующего лекционного материала. Изучение §§ 7.1, 7.2, 7.4. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика».
Тема 16. Оценки параметров распределения. Метод моментов.
Аудиторное изучение: Понятие оценки параметров. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Точечные и интервальные оценки. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения.
Самостоятельное изучение: Изучение соответствующего лекционного материала. Изучение § 9.2, 9.3. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика».
Тема 17. Метод произведений вычисления выборочного среднего и выборочной дисперсии.
Аудиторное изучение: Условные варианты, начальные и центральные теоретические моменты. Метод произведений вычисления выборочного среднего и выборочной дисперсии (равноотстоящие и неравноотстоящие варианты).
Самостоятельное изучение: Изучение соответствующего лекционного материала. Изучение § 8.4. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика».
Тема 18. Проверка статистических гипотез. Критерий Пирсона. Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности.
Аудиторное изучение: Статистическая гипотеза (параметрическая, непараметрическая). Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистической критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Критическая область, область принятия гипотезы. Основной принцип проверки статистических гипотез. Критические точки. Критерий согласия. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона.
Самостоятельное изучение: Изучение соответствующего лекционного материала. Изучение § 10.1, 10.2, 10.7. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика».
Содержание семинаров
Тема 1. Классическое определение вероятности. Применение формул комбинаторики для вычисления вероятностей. План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.
№3, 5, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. № 1.37, 1.38, 1.39, 1.44, 1.47.
Решение задач индивидуальной контрольной.
Тема 2. Основные теоремы теории вероятностей.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.
№ 46, 47, 50, 51, 52, 53, 55.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. № 1.45, 1.46, 1.58, 1.60, 1.62.
Решение задач индивидуальной контрольной.
Тема 3.. Вероятность появления хотя бы одного события.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.
№ 58, 59, 61, 65, 67, 69, 70.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. № 1.63, 1.64, 1.65, 1.69, 1.70.
Решение задач индивидуальной контрольной.
Тема 4. Следствия теорем сложения и умножения.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.
№ 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 90.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. № 1.54, 1.55, 1.57, 1.59, 1.66, 1.68.
Решение задач индивидуальной контрольной.
Тема 5. Повторные независимые испытания.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.
№ 110, 111, 112, 115, 119, 120, 121.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. № 2.15, 2.17, 2.20, 2.23, 2.25.
Решение задач индивидуальной контрольной.
Тема 6. Дискретная случайная величина, способы ее задания. Числовые характеристики. Функция распределения и ее свойства.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.
№ 165, 166, 167, 170, 171..
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. № 3.29, 3.33, 3.35, 3.36, 3.41.
Решение задач индивидуальной контрольной.
Тема 7 Непрерывная случайная величина, плотность распределения и ее свойства. Числовые характеристики.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.
№ 252, 256, 260, 262, 264, 265.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. № 3.48, 3.62, 3.63, 3.65.
Решение задач индивидуальной контрольной.
Тема 8. Законы распределения случайных величин. Модели законов распределения вероятностей, наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях. Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.
№ 168, 169, 308, 310, 328, 338, 341.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. № 3.25, 3.28, 4.11, 4.14, 4.17, 4.19, 4.21.
Решение задач индивидуальной контрольной.
Тема 9. Определение цепи Маркова. Примеры. Однородная цепь Маркова. Переходные вероятности. Матрица перехода.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.
№ 323, 324, 325, 326, 328.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. № 7.10, 7.11, 7.12.
Тема 10. Применение цепей Маркова при моделировании социально-экономических процессов.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.
№ 343, 344, 345, 346, 358.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. № 7.13, 7.14, 7.15.
Тема 11.Оценки параметров распределения. Метод моментов. Метод произведений вычисления выборочного среднего и выборочной дисперсии.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.
№ 523, 524, 525, 526, 528.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. № 8.10, 8.11. Решение задачи индивидуального типового расчета.
Тема 12. Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.
№ 635, 652, 658, 664.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. № 10.28, 10.30, 10.31Решение задачи индивидуального типового расчета.
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОСВОЕНИЮ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «Математика»
Основной составной частью учебного процесса в преподавании дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» студентам дневной формы обучения являются лекции и практические занятия. Теория вероятностей и математическая статистика относятся к числу фундаментальных областей математики.
Владение основами теории вероятностей и математической статистики предполагает знание основных понятий, определений и теорем курса, умение применять их при решении практических задач. Чтобы соответствовать этим требованиям, студенту необходимо уделять большое внимание изучению материалов лекционных и практических занятий, а также работать со специальной литературой по указанному курсу.
Все лекции студентам необходимо конспектировать. В конспект рекомендуется выписывать определения, формулировки и доказательства теорем, формулы и т.п. На полях конспекта следует помечать вопросы, выделенные студентом для консультации с преподавателем. Выводы, полученные в виде формул, а также алгоритмы решения тех или иных классов задач рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при перечитывании конспекта они выделялись и лучше запоминались. Полезно составить краткий справочник, содержащий определения важнейших понятий и наиболее часто употребляемые формулы дисциплины. К каждой лекции следует разобрать материал предыдущей лекции.
На практических занятиях подробно рассматриваются основные вопросы дисциплины, разбираются основные типы задач. К каждому практическому занятию следует заранее самостоятельно выполнить домашнее задание и выучить лекционный материал к следующей теме. Систематическое выполнение домашних заданий обязательно и является важным фактором, способствующим успешному усвоению дисциплины.
Промежуточный контроль проводится в виде контрольных работ.
Большая часть материалов для самостоятельного изучения доступна на файл-сервере Института.
Балльно-рейтинговая схема предполагает, что студент для получения экзаменационной оценки по данной дисциплине должен набрать до 100 баллов, независимо от формы итогового контроля.
Максимум 100 баллов студент может набрать в ходе семестра на аудиторных занятиях, промежуточном контроле и за решения контрольных работ и типовых расчетов. Баллы присуждаются по результатам работы на семинарских занятиях, за посещение в ходе семестра лекций. Максимальное количество баллов за работу на семинаре, можно получить, демонстрируя хорошее знание теоретического материала и умение применять их при решении практических задач. Ответ на экзамене дает студенту от 0 до 40 баллов.
Студент, набравший менее 60 баллов, получает итоговую оценку – неудовлетворительно, от 61 до 75 – удовлетворительно, от 76 до 90 – хорошо, 91 и выше баллов – отлично.
|
