Построение конечных колец и полей







Скачать 275.81 Kb.
НазваниеПостроение конечных колец и полей
страница1/4
Дата публикации03.07.2013
Размер275.81 Kb.
ТипКурсовая
100-bal.ru > Математика > Курсовая
  1   2   3   4
Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Таганрогский государственный педагогический институт имени А.П.Чехова»

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии


Построение конечных колец и полей

курсовая работа по геометрии

по специальности 050201.2 Математика (бакалавр)

Выполнила: студентка II курса

Богданова Эмма Алексеевна

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры алгебры и геометрии Сидорякина Валентина Владимировна


Дата сдачи «__» ________20__г.

Дата защиты «__» ________20_г.

Оценка________________

Научный руководитель _______ /Сидорякина В.В./

Содержание

§1 Определения кольца и поля 3

§2 Построение поля 5

§3 Примеры колец и полей 11

§4 Кольцо многочленов над полем 14

Заключение 19

Список используемой литературы ………………………………………………………………..20§1 Определения кольца и поля

Определение кольца

Множество с двумя алгебраическими операциями R(+,*) называется кольцом , если

  1. ( R , +) - абелева группа (аддитивная группа кольца R).

  2. Умножение в R дистрибутивно относительно сложения.

Дополнительные свойства операции умножения отмечаются с помощью соответствующих прилагательных перед словом кольцо. Так ассоциативное кольцо - это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности. Такой же смысл имеет термин коммутативное кольцо . Наличие нейтрального элемента для операции умножения выражают термином кольцо с единицей ( этот нейтральный элемент называют единицей и обозначают eR или просто e ); При этом дополнительно предполагается, что кроме свойств 1 и 2 выполнено

  1. eR ≠ 0

Элементы такого кольца R , имеющие обратные относительно операции умножения, называются обратимыми , а их множество обозначается через  . Отметим, что для ассоциативного кольца с единицей множество  является группой по умножению, называемой мультипликативной группой кольца R. Поскольку в кольце R с единицей  , элемент 0 из R необратим. В случае ассоциативного кольца не будет обратим и такой элемент , для которого можно найти такое , что . Такой элемент y называется (левым) делителем нуля.  

Кольцом называется абелевая группа по сложению с операцией умножения xy, для которой выполнены следующие свойства: 

(x+y)z = xz+yz и  x(y+z) = xy+xz.
Кольцо называется коммутативным, если xy=yx.
Кольцо называется ассоциативным, если (xy)z = x(yz).
Кольцо называется антикоммутативным, если x2=0.
Кольцо называется кольцом Ли, если  x2 = (xy)z+(yz)x+(zx)y = 0.
В любом кольце 0*x = x*0 = 0. Действительно0*x=(0+0)*x=0*x +0*x и 0=-0*x+0*x=-0*x+0*x+0*x=0*x.
Элемент 1 в кольце называется единицей, если  .

Определение

Телом называется ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим.

Определение поля

Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k , в котором всякий ненулевой элемент обратим : .

Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля.

Определение

Конечное поле или поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.

Конечное поле обычно обозначается Fq или GF(q), где q — число элементов поля.

Простейшим примером конечного поля является  Zp — кольцо вычетов по модулю простого числа p.

Свойства

  • Характеристика конечного поля является простым числом.

  • Число элементов любого конечного поля есть его характеристика в натуральной степени: |Fq| = q = pn.

  • Для каждого простого числа p и натурального n существует конечное поле из q = pn элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена xq – x ϵ Fp[x] .

  • Мультипликативная группа F*q  конечного поля Fq является циклической группой порядка q − 1.

    • В частности, в конечном поле всегда существует примитивный элемент α, порядок которого равен q − 1, то есть αq − 1 = 1 и α≠1   для 0 < i < q − 1.

    • Любой ненулевой элемент β является некоторой степенью примитивного элемента:

β=α ,ὶϵ{0,1,…,q-2}.

  • Поле  Fpn  содержит в себе в качестве подполя  Fpk   тогда и только тогда, когда k является делителем n.
  1   2   3   4

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Построение конечных колец и полей iconУрок 18 построение циркулем и линейкой. Примеры задач на построение цели
Цели: дать представление о новом классе задач – построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки без масштабных делений...
Построение конечных колец и полей iconПрограмма по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...
Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции полей. Графическое изображение полей. Напряженность поля...
Построение конечных колец и полей iconУпражнение № Шаблоны и поля форм Учебные вопросы: Стандартные шаблоны...
Поля форм. Использование текстовых полей и полей со списком при разработке документов
Построение конечных колец и полей iconКонспект урока математики в 3 классе
Построение парами. Переход на площадку. Построение в шеренгу. В центре площадки ребята образуют круг и делятся на две команды
Построение конечных колец и полей iconКонспект урока литературы по теме
Построение парами. Переход на площадку. Построение в шеренгу. В центре площадки ребята образуют круг и делятся на две команды
Построение конечных колец и полей iconВопросы к экзамену по дисциплине «Основы конструирования и моделирования костюма»
Расчет и построение базовой конструкции плечевой одежды (спинка, перед). Построение базисной сетки
Построение конечных колец и полей iconТесты к аттестации Выбери правильный ответ
Построение парами. Переход на площадку. Построение в шеренгу. В центре площадки ребята образуют круг и делятся на две команды
Построение конечных колец и полей iconКонспект по внеурочной деятельности подвижные игры
Построение парами. Переход на площадку. Построение в шеренгу. В центре площадки ребята образуют круг и делятся на две команды
Построение конечных колец и полей iconПлан-конспект открытого урока математики в 2 классе
Построение парами. Переход на площадку. Построение в шеренгу. В центре площадки ребята образуют круг и делятся на две команды
Построение конечных колец и полей iconКонспект урока по математике: Повторение по теме: Число и цифра 8
Построение парами. Переход на площадку. Построение в шеренгу. В центре площадки ребята образуют круг и делятся на две команды
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
100-bal.ru
Поиск