Построение конечных колец и полей

Скачать 275.81 Kb.

Название	Построение конечных колец и полей
страница	1/4
Дата публикации	03.07.2013
Размер	275.81 Kb.
Тип	Курсовая

100-bal.ru > Математика > Курсовая

1 2 3 4

Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Таганрогский государственный педагогический институт имени А.П.Чехова»

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Построение конечных колец и полей

курсовая работа по геометрии

по специальности 050201.2 Математика (бакалавр)

Выполнила: студентка II курса

Богданова Эмма Алексеевна

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры алгебры и геометрии Сидорякина Валентина Владимировна

Дата сдачи «__» ________20__г.

Дата защиты «__» ________20_г.

Оценка________________

Научный руководитель _______ /Сидорякина В.В./

Содержание

§1 Определения кольца и поля 3

§2 Построение поля 5

§3 Примеры колец и полей 11

§4 Кольцо многочленов над полем 14

Заключение 19

Список используемой литературы ………………………………………………………………..20§1 Определения кольца и поля

Определение кольца

Множество с двумя алгебраическими операциями R(+,*) называется кольцом , если

( R , +) - абелева группа (аддитивная группа кольца R).
Умножение в R дистрибутивно относительно сложения.

Дополнительные свойства операции умножения отмечаются с помощью соответствующих прилагательных перед словом кольцо. Так ассоциативное кольцо - это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности. Такой же смысл имеет термин коммутативное кольцо . Наличие нейтрального элемента для операции умножения выражают термином кольцо с единицей ( этот нейтральный элемент называют единицей и обозначают e_R или просто e ); При этом дополнительно предполагается, что кроме свойств 1 и 2 выполнено

e_R≠ 0

Элементы такого кольца R , имеющие обратные относительно операции умножения, называются обратимыми , а их множество обозначается через

. Отметим, что для ассоциативного кольца с единицей множество

является группой по умножению, называемой мультипликативной группой кольца R. Поскольку в кольце R с единицей

, элемент 0 из R необратим. В случае ассоциативного кольца не будет обратим и такой элемент

, для которого можно найти такое

, что

. Такой элемент y называется (левым) делителем нуля.

Кольцом называется абелевая группа по сложению с операцией умножения xy, для которой выполнены следующие свойства:

(x+y)z = xz+yz и x(y+z) = xy+xz.
Кольцо называется коммутативным, если xy=yx.
Кольцо называется ассоциативным, если (xy)z = x(yz).
Кольцо называется антикоммутативным, если x²=0.
Кольцо называется кольцом Ли, если x² = (xy)z+(yz)x+(zx)y = 0.
В любом кольце 0*x = x*0 = 0. Действительно0*x=(0+0)*x=0*x +0*x и 0=-0*x+0*x=-0*x+0*x+0*x=0*x.
Элемент 1 в кольце называется единицей, если

.

Определение

Телом называется ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим.

Определение поля

Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k , в котором всякий ненулевой элемент обратим :

.

Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля.

Определение

Конечное поле или поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.

Конечное поле обычно обозначается F_q или GF(q), где q — число элементов поля.

Простейшим примером конечного поля является Z_p— кольцо вычетов по модулю простого числа p.

Свойства

Характеристика конечного поля является простым числом.
Число элементов любого конечного поля есть его характеристика в натуральной степени: |F_q| = q = pⁿ.
Для каждого простого числа p и натурального n существует конечное поле из q = pⁿ элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена x^q – x ϵ F_p[x] .
Мультипликативная группа F^*_q конечного поля F_q является циклической группой порядка q − 1.
- В частности, в конечном поле всегда существует примитивный элемент α, порядок которого равен q − 1, то есть α^q^{− 1} = 1 и α^ὶ≠1 для 0 < i < q − 1.
- Любой ненулевой элемент β является некоторой степенью примитивного элемента:

β=α^ὶ ,ὶϵ{0,1,…,q-2}.

Поле F_pⁿ содержит в себе в качестве подполя F_p^k тогда и только тогда, когда k является делителем n.

1 2 3 4

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

	Урок 18 построение циркулем и линейкой. Примеры задач на построение цели Цели: дать представление о новом классе задач – построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки без масштабных делений...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции полей. Графическое изображение полей. Напряженность поля...
	Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями фгос во... Салтанова Т. В. Метод конечных элементов в расчётах прочности. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления...		Упражнение № Шаблоны и поля форм Учебные вопросы: Стандартные шаблоны... Поля форм. Использование текстовых полей и полей со списком при разработке документов
	Вопросы к экзамену по дисциплине «Основы конструирования и моделирования костюма» Расчет и построение базовой конструкции плечевой одежды (спинка, перед). Построение базисной сетки		Конспект урока литературы по теме Построение парами. Переход на площадку. Построение в шеренгу. В центре площадки ребята образуют круг и делятся на две команды
	Конспект урока математики в 3 классе Построение парами. Переход на площадку. Построение в шеренгу. В центре площадки ребята образуют круг и делятся на две команды		Тесты к аттестации Выбери правильный ответ Построение парами. Переход на площадку. Построение в шеренгу. В центре площадки ребята образуют круг и делятся на две команды
	Конспект по внеурочной деятельности подвижные игры Построение парами. Переход на площадку. Построение в шеренгу. В центре площадки ребята образуют круг и делятся на две команды		План-конспект открытого урока математики в 2 классе Построение парами. Переход на площадку. Построение в шеренгу. В центре площадки ребята образуют круг и делятся на две команды
	Конспект урока по математике: Повторение по теме: Число и цифра 8 Построение парами. Переход на площадку. Построение в шеренгу. В центре площадки ребята образуют круг и делятся на две команды		Конспект занятия кружка «Компьютерный мир» 1 кл по теме «Манипулятор «мышь» Построение парами. Переход на площадку. Построение в шеренгу. В центре площадки ребята образуют круг и делятся на две команды
	Урок путешествие по сказке «Гуси лебеди». Русский язык во 2 классе (по учебнику В. П. Канакиной) Построение парами. Переход на площадку. Построение в шеренгу. В центре площадки ребята образуют круг и делятся на две команды		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Технология» В. Д. Симоненко 7 класс, плакаты: снятие мерок, построение основы чертежа, основные прибавки, технологическая карта:...
	Книга Пяти Колец предисловие переводчика япония при жизни Мусаси Традиционная власть императора была свергнута в XII веке, и, хотя каждый наследный император		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Олимпийские игры – это крупнейшие международные комплексные спортивные соревнования. Их эмблема – соединение пяти колец

Школьные материалы