1. Титул Здравствуйте. Позвольте вначале представить себя. Меня зовут Константин Луцкий. Я закончил с отличием Московский институт электронной техники по специальности прикладная математика





Скачать 162.52 Kb.
Название1. Титул Здравствуйте. Позвольте вначале представить себя. Меня зовут Константин Луцкий. Я закончил с отличием Московский институт электронной техники по специальности прикладная математика
Дата публикации26.08.2013
Размер162.52 Kb.
ТипДоклад
100-bal.ru > Военное дело > Доклад
1. Титул

Здравствуйте. Позвольте вначале представить себя. Меня зовут Константин Луцкий. Я закончил с отличием Московский институт электронной техники по специальности прикладная математика. Поступил поступил в очную аспирантуру ИММ. Первые работы были посвящены вычислением многомерных квадратур на Соболевских сетках, также называемых ЛПиТау последовательностями и методами Монте-Карло. Позже, я подключился к одной из основных тематик института, на протяжение многих лет развиваемых в отделе Н. Н. Калиткина — термодинамическим свойствам вещества и создании базы данных этих свойств —ТЕФИС.

2. План

Доклад будет проходить по следующему плану. В первой части «Введение» я расскажу про постановку задачи, предыдущие работы по этой теме. Будет представлена сама база по веществам ТЕФИС.

Во второй части будет рассказано о том что из себя представляют Томас-Фермиевские термодинамические функции в базе ТЕФИС и поставлены конкретные технические требования на их точность.

Третья часть посвящена разработке метода двойного периода (основного метода, в этой работе, для высокоточного представления термодинамических функций) и определению его оптимальных параметров.

В четвёртой части, будет рассказано о первом этапе этой работы – высокоточной аппроксимации нулевых изотерм

В пятой части будет рассказано о задаче приближения двумерных термодинамических функций во всём диапазоне давлений и температур.

В пункте шесть будет рассказано о других возможных областях применения метода двойного периода и в частности для обработки сигналов, где метод хорошо зарекомендовал себя.

Наконец, будет подведён итог этой работе, перечислены основные результаты и возможные направления дальнейшего развития.

3. Введение

Когда возникла задача создания атомных бомб, то возникла задача описания экстремального состояния вещества, и составления базы данной описывающие свойства веществ.

В Лос-Аламосе была создана первая такая база данных по веществам «Сезам». Она по-видимому состояла из двух частей: открытая и для внутреннего пользования. Открытая содержит достаточно много таблиц, экспериментальных данных и модельных предположений, большинство из которых не точные а зачастую и противоречивые.
Полной базой по-видимому пользуются все три американские лаборатории

  1. Лос-Аламос 1942

  2. Ливермор 1952

  3. Сантия (морская лаборатория)


У нас атомный центр сформировался в 1946 году. И там начались работы по созданию совей базы данной по веществам. Параллельно с этим Самарский в своем отделе создал группу по расчётам поглощения света в веществе (Уваров-Никифоров), а потом поручил Калиткину заняться уравнением состояния вещества. Потом возник вопрос о проводимости.

Были созданы программы позволяющие рассчитывать свойства вещества в широком диапазоне плотностей и температур, и рассчитанные по ним данные были объединены в базу ТЕФИС.

Её современная версия содержит

таблицы термодинамических функций, ударной адиабаты и другие характерные кривые а также таблицы электронно-тарнспортных коэффициентов.
В области газовой плотности база строилась по модели иозационного равновесия.

А в области высоких плотностей модель Томаса-Ферми с квантовой и обменными поправками. Рассмотрим более подробно расчёты Томас-Фермиевских функций.
4. Модель ТФП

Итак, если вещество находится при большом давлении или высокой температуре, то для его описания успешно применяется модель атома Томаса Ферми, обобщенная на произвольные температуры Фейнманом, Метрополисом и Теллером. Численные расчеты по этой модели произвёл Леттер, но публиковались только мелкомасштабные графики. Киржниц предложил способ получения квантовых и обменных поправок к этой модели и определил вид этой поправки к давлению, а Калиткин нашел аналогичные поправки к остальным термодинамическим функциям и произвёл численные расчёты этих поправок при нулевой температуре. В работе Калиткина и Кузьминой были произведены расчёты Томас-Фермиевских функций и поправок к ним в широком диапазоне объемов от сильно сжатого вещества до разреженного газа и температур от нуля до десятков киловольт, которые и пошли в базу данных ТЕФИС.
В качестве независимых переменных были выбраны температура и объем. Функции от них взяты давление P, химический потенциал M, и приходящиеся на один атом энергия E и энтропия S, и суммы квантовой и обменной поправки к ним DP, DM, DE и DS.

Всюду используется атомная система единиц.

Поскольку расчёты покрывают огромные диапазоны изменения аргумента были использованы логарифмические шкалы с равномерными шагами по переменным LgT и LgV (то есть последовательные значения узлов сетки образуют геометрическую прогрессию).

При этом область изменения самих термодинамических функций оказалась огромной, и также использовались десятичные логарифмы их модулей.

К примеру функция давления P в этом диапазоне температур и объемов изменяется на 26 порядков.

Несмотря на то что все термодинамические функции гладкие, задача их точной аппроксимации для целей практики представляет существенную сложность.
Клинишев в Сарове аппроксимировал термодинамические функции, но менее точно чем желательно. Аппроксимации поправок так не было сделано, а они очень важны для физической точности модели.
Сейчас база ТЕФИС существенно обновляется, и для обновления этой базы очень важно аккуратно внести в неё сосчитанные таблицы термодинамических свойств.
Расчёт ударных адиабат очень чувствителен к точности исходных данных. Для него и для расчёта других характерных кривых по таблицам необходима точность существенно выше 1%, поэтому минимальные технические требования к аппроксимации таблиц погрешность – не более одной тысячной в логаримических переменных, а среднеквадратичную погрешность желательно иметь на уровне 0.0001.
5.Картинки S, DS

На этом слайде для примера приведены поверхности для энтропии и поправки к ней. Видно что функции непериодические, переменной выпуклости и монотонности, но при этом гладкие.

Естественно было бы строить их среднеквадратичную аппроксимацию по системе ортогональных полиномов. Но требования по точности оказываются весьма строгими, и, как это будет показано дальше, приходится брать полиномы высоких степеней. Пользоваться такими аппроксимациями не слишком удобная процедура.

Появляется дополнительное требование, параметров аппроксимации должно быть как можно меньше, а базисные функции и коэффициенты разложения по ним устойчиво вычислялись. Это было бы удобно для практики.
Для решения этой задачи Калиткин и Кузьмина предложили новый метод, и его идеи показались перспективными для решения разных прикладных задач.
В данной работе были исследованы основные свойства метода, предложены существенные модификации, метод был обобщен на многомерные задачи и им успешно удалось воспользоваться для представления термодинамических кривых в базе данных ТЕФИС.
6. Метод двойного периода

Итак сроится аппроксимация табулированной на сетке функции.

Для периодических функций очень удобно разложения ряды Фурье, для непериодических ряд Фурье плохо применим из-за плохой сходимости вблизи краев (эффект Гиббса). А для непериодических удобно применить многочлены Чебышева, но у них свои краевые эффекты, они начинают сильно осциллировать, и поэтому плохо дифференцируется и экстраполируется.

Хотелось бы построить такой метод, который давал бы аппроксимацию непериодических функций одинаково хорошо в середине отрезка и на границах.
Оригинальная идея заключается в том что достаточно гладкую непериодичную функцию, заданную на отрезке можно продолжить на большую область без потери гладкости, и раскладывать по системе полной на увеличенном отрезке. Особенно, удобно оказалась использовать отрезок вдвое большей длинны и применять на нём тригонометрические ряды.
Преобразуя исходный отрезок, на котором задана функция в отрезок [-pi/2; pi/2], и определив на нём скаларяное произведение через интеграл (или какую то выбранную квадратуру) предлагается следующий набор базисных функций: Он представим в виде двух тригонометрических подсистем, по которым стоится среднеквадратичное разложение.
Видно, что первая подсистема полна на исходном отрезке (длины ) . Однако использование её одной эквивалентно разложению в тригонометрический ряд Фурье, и получение нежелательных краевых эффектов. Такой ряд сходится как O(-1/2). Подключение второй подсистемы убирает этот недостаток.

Включение в расчет функции 1(x) эквивалентно вычитанию из u(x) граничного разрыва; остается непрерывная функция с разрывом первой производной, а сходимость разложения по подсистеме (1) улучшается до O(N3/2). Включение 2(x) эквивалентно исключению разрыва , что ускоряет сходимость до O(N5/2) и т.д.

Таким образом, включение подсистемы (2) ускоряет сходимость разложения u(x) по подсистеме (1) и возможно сформулировать следующую оценку погрешности аппроксимации


  1. Если существует пэтая производная u(x), а все младшие производные непрерывны, то погрешность в норме L2 есть о большое от N. Оценка в норме С на пол порядка хуже.


Данное обобщение можно трактовать как исключение граничных разрывов аппроксимации самой функции и (M-1)-й её производных.
На периоде длинной Пи полная система неортогональна.
Ограничения на допустимые значения и ставит обусловленность матрицы скалярных произведений Грама. Исследуем подробнее её структуру.
7. Структура

Если упорядочить базисные функции так, чтобы функции двойного периода следовали за функциями одинарного периода, то матрица Грама имеет имеет блочную структур. Квадтраные клетки матрицы диагональные, а прямоугольные заполнены в шахматном порядке: в недиагональных блоках все синусы ортогональны косинусам. Ненулевые элементы несложно вычисляются аналитически. Детальное исследование задачи показыват что обусловленность системы медленно ухудшается с увиличением N (чиста обычных гармоник Фурье), и очень быстро с увеличением M (числа фукций двойного периода). Число обусловленности каппа порядка два N + 1 в спепени -2M+1.
Также следует заметить что из-за шахматного заполнения система распадается на две: по синуса и по косинусам, поэтому можно решать две системы вдвое меньшей размерности. Это можно делать параллельно.

Отметим что в двумерном случае матрица будет сильнее заполнена, и использовать разреженность алгоритмически намного сложнее.
Были проведены подробные тестовые расчёты и оценены ошбики округления при работе с такой матрицей.

8. Чудо график меры обусловленности для 64 разрядных вычислений

По оси абсцисс – N, цифры возле линий M, точки с разбросами – численные расчёты ошибок округления коэффициентов разложения при 64 разрядных вычислениях, сплошные линии - их теоретические оценки, штриховые линии — оценки самих коэффициентов.

Очевидно, надо учитывать только те члены, при которых коэффициенты не превышают своих погрешностей, т.е. штриховая кривая лежит выше соответствующей ей сплошной.

Видно, что введённая мера очень хорошо согласуется с расчётами.

. Этот тест очень предствителен

Аналогичным образом были получены оценки для вычисления с другой разрядностью.
9. Оптимальные параметры

В данной таблице приведены Максимальные значения N при указанном М с учётом разрядности вычислений. Видно, что для наиболее распространенных сейчас 64-разрядных вычислений при M=5 и более допустимое число гармоник N мало, и в общем случае трудно рассчитывать на разумную аппроксимацию. Для M=1 разрешены огромные N, но ряд сходится весьма медленно, что препятствует получению высокой точности.

Для практики наиболее удобны: а) M=2 и большое число для функций со сложным поведением (довольно большим числом экстремумов и т.п.); б) M = 3 и умеренное для функций с достаточно простым поведением (парой экстремумов и т.п.). При особо простом поведении u(x) допустимо M=4, а при особо большом количестве экстремумов  M=1. Таковы оптимальные параметры метода двойного периода.
#### Для вычислений с произвольной размерностью справедлива следующая оценка Nmax, где   относительная погрешность представления чисел. ###
Для завершения исследования свойств метода двойного периода, любопытно посмотреть на аппроксимации некоторых модельных задач, тем самым численно подтвердить эти свойства.
???) Остановимся подробнее на исключении краевых разрывов аппроксимации на границе интервала табуляции. В качестве тестового примера выберем кубический многочлен

, задавая её в 50 узлах неравномерной сетки из интервала . Очевидно, её первая производная будет параболой , а вторая — линейной функцией . На рис. построены функции и их аппроксимации по методу двойного периода подвергнутые дифференцированию (для разных и оптимальных для них ).

Аппроксимация функции При имеем граничный разрыв (сходимость к периодическому продолжению), при - гладкое поведение в окрестности границы

Аппроксимация первой производной . При первая производная аппроксимации терпит граничный разрыв. При — гладкое поведение в окрестности границы

Аппроксимация второй производной . При вторая производная аппроксимации терпит граничный разрыв. При — гладкое поведение в окрестности границы
13. Экстраполяция, исключение разрывов

Вкратце следует пояснить сложность задачи экстраполяции. Если задана абсолютно гладкая функция то её высокоточная аппроксимация может быть выполнена по системе ортогональных полиномов, например полиномы Чебышева первого рода. Полиномы больших степеней стремительно растут вне отрезка табуляции и экстраполяция становится крайне чувствительна к ошибкам коэффициентов. Картина аналогична для других ортогональных многочленов. Например для многочленов Якоби. Для тригонометрического ряда Фурье, имеющего ограниченные базисные элементы, аппроксимация сходится к периодическому продолжению, что также бессмысленно для экстраполяции. Вобщем, только когда априори известно качественное поведение функции за пределами отрезка, её аппроксимацию можно удовлетворительно экстраполировать, например методом параметрической регуляризации.

Рассмотрим простой но наглядный пример: линейную функцию. Вот аппроксимация рядом Фурье. А вот метод двойного периода, краеовй эффект сразу убрался и можно жкстраполировать, 5 , 7 далее тяжело.

Как видно метод не только хорошо приближает функцию в окрестности границы но и позволяет рассчитывать на разумную экстраполяцию.
После изучения свойств метода двойного периода, исследовав его сходимость, обусловленность и определив оптимальные параметры перейдём к первому этапу решения задач аппроксимации термодинамических кривых.
14. Нулевые изотермы

Первым этапом этой работе является приближение кривых холодного сжатия. Это 8 функций. Поскольку все величины меняются на несколько порядков, то для построения аппроксимаций использовались не сами величины, а их логарифмы. Их зависимости от объема показана на этом графике. Каждая кривая содержит 46 точек, диапазон аргумента выбран настолько широким, что перекрывает потребности практики. Кривые кажутся простенькими, но напомним, что их требуется аппроксимировать с точностью примерно 4 знака после запятой, при этом число подгоночных параметров должно быть существенно меньше числа узлов сетки. Аппроксимации которые строились в предыдущих работах не удовлетворяют этому требованию. Пока для целей базы ТЕФИС использовалась кубическая интерполяция но она с трудом даёт 3 верных знака.
Были проведены расчёты разными методами. Проиллюстрируем их на примере кривой давления.

На графике представлена ошибка аппроксимации в норме L2 в зависимости от числа подгоночных параметров.

Тенью выделена область требуемой точности. Выше этой области точность недопустимо груба, ниже, не имеет смысла. Оптимум – нижний край тени.
У каждой кривой цифра обозначает число функций двойного периода. Видно что M =2 и 3 дают не достаточно, а 4 и 5 дают требуемую точность, при этом число параметров составляет треть от числа аппроксимируемых точек.
Для сравнение приведено разложение по многочленам Чебышева, видно что оно неплохое, но уступает методу двойного периода при c M=4,5.
Это показывает достоинство метода двойного периода.
А теперь посмотрите на эту точку графика, она ещё лучше чем все описные кривые. Холодные кривые настолько важны, что мы решили подробно остановиться на них и хорошо повозившись с качественным поведением кривых придумали физическую спец аппроксимацию, учитывающую асимптотики функций. Ни для каких других функций, эти аппроксимации не подойдут, и сам подбор таких приближений по существу является весьма точной моделью холодных кривых. Её мы и будем использовать в базе ТЕФИС.

Однако так с каждой задачей не навозишься.

При сравнении методов, на данном наборе функций была достигнута достаточная
Таблица. Параметры разложений холодных термодинамических кривых в ряд 3.

















5

2

2

4

1

1






























Выбирая и можно получать сколь угодно много свободных параметров, при этом не нарушая существенно асимптотического характера описанного в табл. 1. Значения коэффициентов в формулах типа (2), (3) определяются методом наименьших квадратов так, чтобы лучшим образом описать табулированные значения термодинамических функций. Коэффициент берётся из теоретического асимптотического разложения.

При необходимости повысить точность хорошо подошёл метод двойного периода. Для получения той же точности с использованием полиномов Чебышева приходится брать больше свободных параметров и вычислять полиномы более высоких степеней — это не удобно. Также полиномы не позволяют даже малейшей экстраполяции.
Одно замечание. Построенные аппроксимации методом двойного периода хорошо аппроксимирую не только аппроксимации холодных кривых но и их производные. Тем самым для этих аппроксимаций хорошо выполняются термодинамические соотношения вроде. Для физических приложений это очень важно. Также для физики важна возможность недалёкой экстраполяции.
Переходим к самому сложному случаю, температура не равна нулю. При этом надо аппроксимировать двумерный массив точек, например P(от T и V). Каждая томас-фермиевская функция содержит 49 точек по T и 46 по V (то есть 2254 точек).
Исследуем эти кривые подробнее.
17.

Рассматриваются все 8 Томас-Фермиевских функций P, E, S, M а также суммы квантовой и обменной поправок к ним. Расчёт этих функций по модели был произведён Калиткиным и Кузьминой в 1975 году в широчайшем диапазоне давлений и температур, но поскольку все величины меняются на несколько порядков использовались не сами функции а логарифмы их модулей. Значения аргументов также заданы с равномерным шагом в логарифмическом масштабе. Напомним вид поверхности для энтропии S и поправки к ней DS.

Поясним сложность аппроксимации этой задачи.

В разных диапазонах температур и давлений, термодинамическим функция присущи разные свойства.

тыц

При малых объемах и умеренных температурах электронный газ вырожден и почти однороден, для этого случая справедливы асимптотики.

Для высоких температур и не слишком малых объемах электронный газ является почти однородным и идеальным, так что асимптотическое поведение термодинамических функций тоже известно.

В этих областях можно пользоваться несложными аналитическими выражениями для представления всех функций, однако наша цель — единообразно представить термодинамические функции во всём пригодном диапазоне температур и объемов, при этом выдержать точность, указанную в технических требованиях – доли процентов.

Как видно из этого рисунка, между областями где электронный газ можно считать однородным (соответствующие изотермы, являются почти прямыми линиями), лежит большая область с неполными вырождениями электронного газа, описывать которую наиболее трудно.
Для разряженного вещества (правая часть таблицы вообще не известны асимптотики). Построить специальные формулы в этих условиях крайне трудно, и приходится рассчитывать только на двумерный метод двойного периода.
Для решения этой задачи были написаны программы в которых числа параметров по T и V допускались различными. Пришлось рассчитать очень много вариантов для подбора оптимальных параметров. Оказалось, что M<=2 не обеспечивает требуемой точности. В приграничных узлах возникали недопустимее погрешности. Для сравнения приведём поверхности погрешности для энтропии. Видны сильные всплески в приграничной области, при использовании M = 4, погрешность существенно уменьшалась. Это видно из следующего рисунка.
Сводка результатов приведена в таблице, в ней для каждой функции показано суммарное число параметров, и достигнутая точность. Видно что суммарное число параметров составляет 35 плюс минус 2 процента от числа точек, а точность удовлетворяет техническим требованиям.
Это означает, что построенные аппроксимации пригодны для базы ТЕФИС, то есть основная цель работы достигнута.
Попутно были найдены некоторые другие приложения метода двойного периода. МИЭТ традиционно занимается методами обработки сигналов. Мы попробовали применить наши методы к обработке звуковых сигналов и изображений. Формально, звук это функция от одной переменной – времени, а изображение, это функция интенсивности цветовой составляющей в зависимости от координаты на плоскости.

Приложение для ЦОС

Цифровая обработка звука актуальная прикладная .

Обычная процедура представления звука заключается в том что, сигнал делят на интервалы. Типичная длина интервала приблизительно 1/20 секунды, на нём размещено 1024 точки. На каждом отрезке, его аппроксимируют рядом Фурье. Из-за того что сигнал носит непериодический характер, имеет место эффект Гиббса. На слух – при воспроизведении – это воспринимается как щелки с частотой 20 раз в секунду. В частности, это мешает разбирать передаваемую речь. Для борьбы с этим надстраиваются сложные алгоритмы, зачастую носящие кухонный характер.
Мы применили вместо ряда Фурье, метод двойного периода на тех же самых интервалах. Краевые эффекты исчезли. Математически это проявилось в координальном уменьгшении погрешности. На рисунке приведён пример. Построена зависимость погрешности в норме L2 от числа гармоник в двойном логарифмическом масштабе.

Верхняя линия – обычный ряд Фурье. Кривая убывает с наклоном ½ что соответствует теор оценке.
Под ней кривая при для двойного периода для M =1 убывает с наклоном 3 вторых. А при М = 2 с наклоном 5/2;
В итоге малый уровень погрешности достигается при небольшом числе параметров. Это позволяет передавать по каналам связи не сам сигнал а только это небольшое число параметров.

А теперь предлагаю сравнить на слух два сигнала, исходный, и преобразованный, переданный и восстановленный из коэффициентов. Услышите ли вы ухудшение качества?

Теперь рассмотрим обработку изображений. Во всём мире монополистом является очень неплохой метод JPEG. В нём изображение разбивается на небольшие блоки (чаще 8x8 точек). В каждом блоке чётное продолжение функции разлагается в ряд Фурье. Это жквивалентно ращложению непрерывной, но негладкой функции, то есть метод двойного периода с M=1.
На рисунке приведены 1- оригинал изоражения, 2- M = 0;

3- расчёт с M = 1, то есть эквиваленn fkujhbnvf JPEG. На нём границы блоков, различимы с трудом.

3 Расчёт методом двойного периода с M = 2. На нём границы блоков практически не видны и он очень близок к оригиналу. Таким образом качество изображения качество изображения в методе периода получается лучше за счёт M.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

1. Титул Здравствуйте. Позвольте вначале представить себя. Меня зовут Константин Луцкий. Я закончил с отличием Московский институт электронной техники по специальности прикладная математика iconЗдравствуйте. Меня зовут Саша. Мне 17 лет. Как и у многих детей,...
Работа с классом, проверка ответов на вопросы. За каждый правильный ответ 1 балл
1. Титул Здравствуйте. Позвольте вначале представить себя. Меня зовут Константин Луцкий. Я закончил с отличием Московский институт электронной техники по специальности прикладная математика iconОтчет государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования
Московский государственный институт электронной техники (технический университет)
1. Титул Здравствуйте. Позвольте вначале представить себя. Меня зовут Константин Луцкий. Я закончил с отличием Московский институт электронной техники по специальности прикладная математика iconПрограмма по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...
Московский государственный институт электронной техники (технический университет)
1. Титул Здравствуйте. Позвольте вначале представить себя. Меня зовут Константин Луцкий. Я закончил с отличием Московский институт электронной техники по специальности прикладная математика iconРоссийской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное...
«Московский государственный институт электронной техники (технический университет)»
1. Титул Здравствуйте. Позвольте вначале представить себя. Меня зовут Константин Луцкий. Я закончил с отличием Московский институт электронной техники по специальности прикладная математика iconРоссийской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное...
«Московский государственный институт электронной техники (технический университет)»
1. Титул Здравствуйте. Позвольте вначале представить себя. Меня зовут Константин Луцкий. Я закончил с отличием Московский институт электронной техники по специальности прикладная математика iconРоссийской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное...
«Московский государственный институт электронной техники (технический университет)»
1. Титул Здравствуйте. Позвольте вначале представить себя. Меня зовут Константин Луцкий. Я закончил с отличием Московский институт электронной техники по специальности прикладная математика iconПрограмма по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...
Здравствуйте, ребята. Присаживайтесь на свои меса. Меня зовут Светлана Александровна
1. Титул Здравствуйте. Позвольте вначале представить себя. Меня зовут Константин Луцкий. Я закончил с отличием Московский институт электронной техники по специальности прикладная математика iconПрограмма по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...
Здравствуйте, ребята. Меня зовут Ольга Владимировна. Сегодня мы работаем вместе
1. Титул Здравствуйте. Позвольте вначале представить себя. Меня зовут Константин Луцкий. Я закончил с отличием Московский институт электронной техники по специальности прикладная математика icon1. Организационно-мотивационный этап
...
1. Титул Здравствуйте. Позвольте вначале представить себя. Меня зовут Константин Луцкий. Я закончил с отличием Московский институт электронной техники по специальности прикладная математика iconПрограмма по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...
Здравствуйте! Меня зовут Наталья Николаевна, сегодня я проведу у вас урок информатики
1. Титул Здравствуйте. Позвольте вначале представить себя. Меня зовут Константин Луцкий. Я закончил с отличием Московский институт электронной техники по специальности прикладная математика iconКлассный час "Мы белоречане" (5 класс)
Учитель: Здравствуйте, дорогие ребята! Меня зовут Сарра Ахатовна, я учитель биологии средней школы №1 с. Инзер
1. Титул Здравствуйте. Позвольте вначале представить себя. Меня зовут Константин Луцкий. Я закончил с отличием Московский институт электронной техники по специальности прикладная математика iconПрограмма по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...
Здравствуйте, ребята, сегодня урок биологии проеду у вас я. Зовут меня Татьяна Викторовна
1. Титул Здравствуйте. Позвольте вначале представить себя. Меня зовут Константин Луцкий. Я закончил с отличием Московский институт электронной техники по специальности прикладная математика iconПрограмма по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...
Здравствуйте ребята меня зовут Зимушка! Я к вам в гости пришла, сундучок свой принесла
1. Титул Здравствуйте. Позвольте вначале представить себя. Меня зовут Константин Луцкий. Я закончил с отличием Московский институт электронной техники по специальности прикладная математика iconПрограмма по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...
Здравствуйте, ребята! Садитесь. Меня зовут Нина Ивановна. Сегодня я проведу у вас урок математики
1. Титул Здравствуйте. Позвольте вначале представить себя. Меня зовут Константин Луцкий. Я закончил с отличием Московский институт электронной техники по специальности прикладная математика iconУчебно-методический комплекс по дисциплине «материалы и элементы электронной техники»
Дисциплина «материалы и элементы электронной техники» входит в цикл общепрофессиональных дисциплин направления 210100 «Электроника...
1. Титул Здравствуйте. Позвольте вначале представить себя. Меня зовут Константин Луцкий. Я закончил с отличием Московский институт электронной техники по специальности прикладная математика iconЭто произошло, когда мне было шесть лет. Я шла, рыдая, по тихой и...
Не плачь, не плачь. Что у тебя случилось, что такое стряслось, что ты так горько рыдаешь? Как тебя зовут? Меня зовут тетя Наташа....


Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
100-bal.ru
Поиск