Муниципальное общеобразовательное учреждение

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением

отдельных предметов №18»

«Золотое сечение»


Выполнила: Захватова Евгения

ученица 7А класса

Руководитель: Рычкова Наталья Николаевна

Саранск,2012

Содержание

Введение………………………………………………………………..3

1. 
   «Золотые» фигуры и тела………………………………………6
   
2. 
   Загадки древних строений
   
   1. 
      Египетские пирамиды………………………………………….7
      
   2. 
      Древнерусское зодчество……………………………………....7
      

3.Проявление «золотой пропорции» и ее образующих в науке.

3.1 «Золотая» спираль………………………………………………8

3.2 «Золотая» частота…………………………………………….....8

3.3 Научные факты………………………………………………......9

4. Результаты исследования «золотой пропорции»

4.1 «Золотой» прямоугольник…………………………………….10

4.2 «Золотые» пропорции в телосложении человека……………10

4.3 Экспериментальная часть изучения «золотого сечения»……11

4.4 «Золотая» спираль в формообразованиях природы…………11

Заключение………………………………………………………….13

Список литературы…………………………………………………14

Приложение…………………………………………………………15

Введение
"Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема Пифагора, второе - деления отрезка в крайнем и среднем отношении"

Иоганн Кеплер

Слово «пропорция» в переводе с латинского означает «соразмерность», «определенное отношение частей между собой». Учение об отношениях и пропорциях особо успешно развивалось в четвертом веке до нашей эры в Древней Греции, славившейся произведениями искусства, архитектуры, развитыми ремеслами.

Из «Начал» Евклида к нам пришла геометрическая задача, называемая задачей «о делении отрезка в крайнем и среднем отношении». Существует бесконечное множество разбиения отрезка на две части, и лишь единственный способ разбиения такой, что отношение всего отрезка к его большей части равно отношению большей части к его меньшей части.

AB:CB=CB:AC

Обозначим длину всего отрезка через 1, а длину его большей части за x, тогда длина меньшей части будет 1-х. Составим пропорцию согласно приведенному определению:

1:х=х (1-х),

Откуда

1-х=х².

Корни уравнения являются иррациональными числами.

Длина отрезка выражается положительным числом, поэтому из двух корней следует выбрать второй. Число обозначается буквой φ в честь древнегреческого скульптора Фидия, в творениях которого оно встречается многократно. Число φ – иррациональное, с восемью десятичными знаками оно записывается так:

φ ≈ 0, 61803398…

Ф ≈ 1, 618

Вокруг этого числа, называемым числом Фибоначчи, создан романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения. Ещё его называют «золотым сечением», или «золотой пропорцией».

Приложения «золотого сечения» изучают в математике, физике, ботанике, философии, биологии, медицине, компьютерной науке.

К. Птолемей, александрийский астроном, математик и географ рассчитал, что рост человека правильного телосложения естественно делится в «золотом» отношении. Древние скульпторы использовали этот факт как критерий гармонии и канон красоты.

Украинский биолог О.Боднар создал новую геометрическую теорию филлотаксиса.

Благодаря исследованиям американских ученых Эллиота, Пречтера и Фишера числа Фибоначчи активно вошли в сферу бизнеса и стали основой оптимальных стратегий в сфере бизнеса и торговли.

По гипотезе американского ученого Д.Винтера не только энергетический каркас Земли, но и строение всего живого вещества основано на свойствах додекаэдра и икосаэдра. Структура ДНК генетического кода жизни – четырехмерная развертка вращающегося додекаэдра.

«Золотое сечение» наблюдается в шрифтах и бытовых предметах.

Большинство греческих памятников архитектуры, непревзойденная «Джоконда», картины Рафаэля, Шишкина, Васильева, этюды Шопена, музыка Бетховена, Чайковского, стихи Вознесенского – не полный перечень выдающихся произведений искусства, насыщенных чудесной гармонией «золотого сечения».

Изучая различную научную литературу, мы пришли к выводу, что «золотое сечение» перестало быть сокровищем одной лишь геометрии.

Все это побудило нас исследовать «золотую пропорцию» как универсальную мировую константу.
Актуальность исследования «золотой пропорции» как мировой константы мы видим в том, чтобы убедиться в достоверности высказывания Иоганна Кеплера о «двух сокровищах» и развить это представление дальше, за пределы геометрии.

Данная работа представляет собой теоретическое и практическое исследования, где в качестве объекта рассматривается всестороннее применение «золотой пропорции», и доказывается её универсальность.

Предмет исследования: «золотая пропорция».

Целью исследования стал поиск закономерностей «золотой пропорции» в различных областях неживой и живой природы и в нашем окружении.

В ходе исследования сформировались задачи :

• 
  Изучить необходимую литературу по данной теме;
  
• 
  Определить и рассмотреть использование «золотой пропорции» в неживой и живой природе, её применение в современном мире;
  
• 
  Выявить и изучить проявления «золотой пропорции» и её производных в нашем окружении.
  

Гипотеза: если «золотая пропорция» универсальная мировая константа, то она встречается в мире живой и неживой природы.

Методы исследования обеспечиваются обоснованностью исходных теоретических и практических данных с опорой на результаты наблюдения, измерения, анкетирования и доказательства практических экспериментов, проведенных нами.

Теоретическая база исследовательской работы состоит из вэб-страниц (Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки. пр.), справочных материалов, математических журналов, соответствующей специализированной литературы (Семенов Е.Е. «Изучаем геометрию», Скопец З.А. «Геометрические миниатюры», и т.п.).

Теоретическая значимость работы заключается в том, что в процессе работы была изучена научно-популярная литература по данной теме, а так же выявлено несколько видов «золотой пропорции» - «золотая спираль», «числа Фибоначчи», «золотая» симметрия.

Апробация работы состоит в применении «золотой пропорции» на уроках математики, биологии, физики, искусства, мировой художественной культуры, а так же во внеклассных мероприятиях и при проведении предметных недель.

1. 
   «Золотые» фигуры и тела
   

«Золотым» прямоугольником (рис.1) называется такой прямоугольник, в котором отношение большей стороны к меньшей равно «золотой пропорции» то есть AB:DC=Ф≈ 1, 618.

Диагонали «пентагона» (рис.2) образуют пятиугольную звезду. Точки пересечения диагоналей всегда являются точками «золотого сечения». При этом они образуют новый «пентагон». Бесконечное возникновение одной и той же геометрической фигуры вызывает эстетическое чувство ритма и гармонии.

Существует пять правильных многогранников (рис3): тетраэдр (а), гексаэдр или куб (с), октаэдр (b), додекаэдр(е), икосаэдр(d). Геометрия додекаэдра и икосаэдра связана с «золотой» пропорцией. Роль этих совершенных геометрических фигур в развитии науки настолько велика, что «додекаэдро-икасаэдрическая доктрина » «красной нитью» проходит через всю науку. Ещё Сократ высказал предположение, что Земля имеет форму додекаэдра. Затем эта идея была развита в работах Бимона, Пуанкаре и Кислицина и привела к возникновению весьма оригинальных теорий формы Земли, имеющих важные практические приложения в геологии.

В XVII в. Иоганн Кеплер, используя «Тела Платона», построил оригинальную геометрическую модель Солнечной системы ( «Космический кубок » Кеплера).

Таким образом:

1. 
   Бесконечная повторяемость одной и той же геометрической фигуры вызывает эстетическое чувство ритма и гармонии.
   
2. 
   Роль «Платоновых тел» в развитии науки настолько велика, что «додекаэдро-икасаэдрическая доктрина » проходит через всю науку «красной нитью».
   

2. 
   Загадки древних построек
   
   1. 
      Египетские пирамиды
      

Правильная четырехугольная пирамида является одной из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремлением вверх.

Отношения сторон пирамиды Хеопса равно:

AB:BD=FB:AD=1,272=AB:BD=Ф

Отношение поверхности граней к площади основания также равно «золотой» пропорции. Гениальные создатели пирамиды Хеопса стремились поразить далеких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого. Следует лишь удивляться высокому знанию и искусству древних математиков и архитекторов Египта, которые смогли воплотить в пирамиде две иррациональные величины – π и Ф- со столь поразительной точностью, оперируя исходными отношениями целых чисел – стороной основания и высотой пирамиды.

2. 
   Древнерусское зодчество
   

Архитектурные памятники Древней Руси поражают нас своей соразмерностью и пропорциональностью. Но древние мастера не знали дробей и не умели извлекать квадратные корни. В древнерусской числовой системе архитектурного пропорционирования в качестве единицы измерения использовался некоторый набор инструментов под названием «саженей» (рис.4), в основе которых также прослеживается «золотое сечение». По мнению А.Ф. Черняева, инженера, академика Международной Академии информатизации сажени «нестатические линейки, а остановленные длиною продолжающиеся динамические процессы». Именно поэтому архитектурные памятники Древней Руси превосходят «коробки » XIX и XX вв.

Вывод:

1. 
   В пирамидах Хеопса древние египтяне воплотили две иррациональные величины - π и Ф, оперируя исходными отношениями целых чисел – стороной основания и высотой пирамиды.
   
2. 
   Уникальная числовая система архитектурного пропорционирования – «сажени», которую использовали древнерусские мастера, основаны на «золотой пропорции».
   
3. 
   Проявление «Золотой пропорции» в науке
   
   1. 
      «Золотая» спираль
      

Спиральность или винтовая структура является характерной чертой строения растений и их развития. Спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов. Движение протоплазмы в клетке часто спиральное. Ученый Кастл доказал, что рост клеток также может быть спиральным. В жидкой среде клетки встречаются спиральные нити волокон – цитонем. И, наконец, носители информации – молекулы ДНК – также скручены в спираль (рис. 5).

Более глубокие исследования показали, что винтовое расположение атомов наблюдается и в некоторых кристаллах и выражается в образовании, так называемых, винтовых дислокаций. Такие кристаллы состоят из единственной винтообразной изогнутой атомной плоскости. При каждом обороте вокруг оси эта плоскость поднимается на один шаг винта, равный межатомному расстоянию. Следует добавить, что кристаллы с такой винтовой структурой обладают сверхпрочностью.

В современной технике сегодня широко применяется спираль Архимеда (рис.6).

2. 
   «Золотая» частота
   

Ученый В.Д.Цветков установил, что у человека и у других млекопитающих имеется оптимальная («золотая») частота сердцебиения (рис.7). Работа сердца в отношении временных циклов, изменения давления крови и объемов желудочков, оптимизирована по одному и тому же принципу – по правилу «золотой» пропорции.

Многочисленные исследования показали, что в мозге взрослого человека при различных его состояниях преобладают электрические колебания определенных частот. Изменение активации мозга происходит не непрерывно, а только дискретно, скачками от одного уровня к другому. Каждому состоянию мозга соответствуют свои специфические волны электрических колебаний. Граничные частоты ритмов и здесь почти точно отвечают числам Фибоначчи.

3. 
   Научные факты
   

Когда Дан Шехтман привел экспериментальное доказательство существования квазикристаллов, обладающих икосаэдрической симметрией, физики в поисках теоретического объяснения феномена квазикристаллов взяли за основу плитки английского математика и физика Роджера Пенроуза, представляющие собой оригинальное решение «проблемы паркета», основанное на «золотых» ромбах.

Открытие квазикристаллов является еще одним научным подтверждением, что, возможно, именно «золотая пропорция», проявляющая себя в мире живой природы и минералов, является главной пропорцией Мироздания.

Благодаря «золотой пропорции» были созданы открытия:

- обнаружен пояс астероидов между Марсом и Юпитером;

- точка компенсации струны (возбуждение струны в точке, делящей её в отношении «золотого сечения », не вызовет колебаний);

-на летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии создаются прямоугольные ячейки с «золотой пропорцией».

Выводы:

1. 
   «Золотая пропорция» является основной пропорциональностью мира.
   
2. 
   «Золотая пропорция» применяется в различных областях искусства и переносится в научную деятельность. Круг её применения невероятно широк.
   
3. 
   «Золотая пропорция» способствует новым открытиям и фактам.
   

4. Результаты исследования «золотой пропорции»

4.1 «Золотой прямоугольник»

Мною были проведены анкетирование и эксперимент на тему «Золотая пропорция и восприятие». Респонденты отдали предпочтение книге, имеющей форму близкую к «золотому прямоугольнику», оставляя без внимания другие книги, имеющие форму вытянутого прямоугольника и форму, близкую к квадратной. А участники эксперимента, предпочитали садиться на свободную лавочку в том месте, точка которого соответствовала пропорции «золотого отрезка» (рис.8). Это объясняется тем, что бесконечные повторения одних и тех же геометрических фигур вызывает у нас неосознанное эстетическое чувство гармонии и красоты. Поэтому многие предметы прямоугольной формы, с которыми мы имеем дело, зачастую имеют форму «золотого» прямоугольника.

Выполненные замеры некоторых предметов прямоугольной формы, с которыми мы ежедневно имеем дело подтвердили форму «золотого» прямоугольника.

Отношение сторон спичечного коробка: 50/30=1,(6)

Отношение сторон учебного пособия: 210/120-1,75

4.2 «Золотые пропорции» в телосложении человека

Чтобы проверить гармоничность в строении (телосложении) учащихся нашей школы, мною были произведены некоторые измерения: рост, высота от стопы до пупочной линии, расстояние от ключицы до локтя и от локтя до кончиков пальцев, длина запястья. Для эксперимента были взяты учащиеся 7А класса. В 8 замерах из 18 подтверждается «золотая пропорция». Таким образом, 40% обследуемых учащихся подтвердили гармонию красоты своего тела (рис.9).
4.3 Экспериментальная часть изучения «золотого сечения»

респондент	рост	высота от стопы до пупочной линии	расстояние от ключицы до локтя	расстояние от локтя до кончиков пальцев	длина запястья
Респондент 1	170см	102см	33см	46см	20см
Респондент 2	168см	100см	32см	42см	18см
Респондент 3	180см	120см	37см	50см	20см
Респондент 4	155см	95см	27см	40см	16см
Респондент 5	160см	97см	31см	42см	16см
Респондент 6	170см	100см	35см	43см	22см
Респондент 7	147см	92см	33см	37см	19см
Респондент 8	150см	93см	35см	38см	20см

4.4 «Золотая спираль» в формообразованиях природы

Спиральность отчетливо проявляется и в закономерностях листорасположения. Винтовое расположение листьев выражают дробью, числитель которой равен числу оборотов по стеблю воображаемого винта одного листового цикла, а знаменатель – числу листьев в данном цикле, совпадающему с числом ортостихи (вертикальных рядов) на стебле. При внимательном изучении можно определить, что у липы листорасположение описывается формулой ½, у вишни – 2/5, у малины -3/8, у облепихи – 5/13. В формулах листорасположения встречаются числа Фибоначчи, расположенные через одно.

Если посмотреть на сосновую шишку, то легко заметить, что чешуйки на её поверхности расположены строго закономерно – по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом (рис.10). Число спиралей у сосновой шишки равно 8 и 13. Такие же спирали видны в поперечнолм разрезе почки сирени. Здесь числа спиралей относятся как числа5/8.

В корзиночках подсолнечника и кактуса семена также расположены по двум спиралям, их число составляет 34 и 55, 55 и 89. Здесь вновь мы видим закономерное сочетание чисел Фибоначчи, расположенных рядом. Их отношение в пределе стремится к числу Ф=1, 61803…

Такая закономерность расположения листьев, чешуек, и семян называется филлотаксисом (рис.10)

Выводы:

1. 
   Бесконечное повторение одних и тех же геометрических фигур, основанное на «золотом сечении», вызывает у нас неосознанное эстетическое чувство гармонии и красоты. Поэтому многие предметы прямоугольной формы зачастую имеют форму «золотого прямоугольника»: книги, коробки, здания. Точка деления отрезка в «золотом отношении» подсознательно притягивает наше внимание.
   
2. 
   Рост человека правильного телосложения естественно делится в «золотом сечении». 40№ обследуемых 7А класса моей школы подтвердили гармонию красоты своего тела.
   
3. 
   Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев, семян подсолнечника, в шишках сосны, кактусах подчиняются закономерному сочетанию чисел Фибоначчи.
   

Заключение.

В результате проведенной работы было выявлено:

1. 
   «Золотая пропорция» проявляет себя как в мире живой природы, так и в мире минералов.
   
2. 
   «Золотая пропорция» применяется в различных областях искусства и переносится в научную деятельность. Круг её применения невероятно широк.
   
3. 
   Сделаны выводы:
   

• 
  40№% обследуемых учащихся подтвердили гармонию красоты своего тела;
  
• 
  Участники эксперимента предпочитали садиться на свободную лавочку в том месте, точка которого соответствовала пропорции «золотого отрезка»;
  
• 
  Отношение размеров предметов прямоугольной формы, привлекающие наше внимание близки к «золотому сечению»;
  
• 
  Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев, семян подсолнечника, в шишках сосны, кактусах подчиняется закономерному сочетанию чисел Фибоначчи.
  

4. 
   «Золотая пропорция» действительно является универсальной мировой константой
   

В ходе работы гипотеза о том, что «золотая пропорция» уникальна, универсальна, является мировой константой, нашла свое подтверждение