Технологии обработки документов





НазваниеТехнологии обработки документов
страница7/9
Дата публикации20.05.2015
Размер1.43 Mb.
ТипУчебное пособие
100-bal.ru > Информатика > Учебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9
ТЕМА 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКА
1.1. Перестановки, размещения, сочетания
В практической деятельности часто приходится иметь дело с самыми разнообразными ситуациями. Умение анализировать сложившуюся обстановку, адекватно ее оценивать и делать правильные выводы является важным качеством каждого профессионала. Во многих случаях практика приводит к так называемым комбинаторным задачам.

Комбинаторные задачи связаны:

а) с выбором из некоторой группы предметов тех, которые обладают заданными свойствами;

б) с расположением этих предметов в определенном порядке;

в) с расчетом числа возможных комбинаций. Ниже приведен пример задачи и обсуждение способа ее решения.

При решении комбинаторных задач мы имеем дело с комбинациями из числа некоторых предметов. Эти комбинации могут отличаться одна от другой числом предметов, их составом или порядком. Алгоритм решения подобного класса задач следующий. Пусть требуется выполнить последовательно два действия (например, первое действие – выпадение четного числа, второе – выпадение четного числа). Если первое действие выполняется m различными способами, а второе – n различными способами, то оба действия можно выполнить m n различными способами. Это утверждение называется правилом умножения.

Пусть дано множество из n элементов. Занумеруем все элементы каким-нибудь способом от 1 до n.

Определение 1. Перестановкой из n элементов называется всякий способ нумерации этих элементов.

Теорема. Число всех различных перестановок из n элементов равно n! (факториал). Число всех перестановок из n элементов обозначают Рп = п!.

Задача 1. Количество различных пятибуквенных комбинаций, которые можно составить из букв слова книга (все буквы в комбинации различны), равно 5! или 120.

Задача 2. Количество перестановок из букв слова свитер, в которых буква «р» на первом месте, а буква «с» – в конце слова, равно 24, т. к. меняются 4 средние буквы и составляют 4! перестановок.

Определение 2. Размещением из n элементов по k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из дан­ных n. Число всех размещений из n элементов по k обозначается .

Теорема. Число всех размещений из n элементов по k вычисляется по формуле:

Задача 3. Количество различных трехбуквенных комбинаций, кото­рые можно составить из букв слова книга (все буквы в комбинации раз-

личны), равно 60, т. к.

Пример. Согласно древнему обычаю, самый главный праздник в Солнечном – День Солнца, проводится за счет средств городского бюджета и празднуется столько дней, сколько депутатов проголосует за то, чтобы праздник состоялся. Из десяти депутатов «за» проголосовали семь. Каково число всех возможных вариантов голосования?

Решение. Мы должны найти число всех возможных групп из семи депутатов. Здесь порядок выбора не играет никакой роли, поэтому рассматриваемые комбинации отличаются одна от другой только составом лиц. Комбинации такого типа называются сочетаниями.

Определение 3. Сочетанием из n элементов по k называется всякая совокупность k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов. Число всех сочетаний из n элементов по k обозначается .

Теорема. Число всех сочетаний из n элементов по k вычисляется по формуле:
или
Задача 4. Количество различных способов выбора 6 томов из 9-томного собрания сочинений равно 84, т. к. 9–6+1=4, значит

Число сочетаний обладает свойством:
.
Числа также называют биномиальными коэффициентами, с их помощью записывается так называемая формула бинома Ньютона:
.

1.2. Понятие случайного события, вероятность события. Сумма, произведение и разность событий
Случайным называется событие, которое может произойти или нет в результате стохастического опыта.

Достоверным называется событие, если оно происходит в результате появления любого элементарного события.

Невозможным называется событие, не наступающее ни при каком элементарном событии.

Два события называются несовместными, если их одновременное появление в опыте невозможно.

Событием, благоприятствующим событию А называется событие, при наступлении которого событие А обязательно происходит.
Задача 5 ( – выберите несколько вариантов ответа). Из приведенных событий несовместными являются:


1)

Выбивание менее 5 очков при стрельбе по ми­шени и Выбивание четно­го числа очков при стрель­бе по мишени

2)

Наступление ночи и Вос­ход солнца

3)

Появление 6 при бросании игральной кости и По­явление 4 при бросании игральной кости

4)

Выбивание менее 5 очков при стрельбе по ми­шени и Выбивание от 7 до 10 очков при стрельбе по мишени


Верными являются ответы под № 2, 3 и 4.

Математической вероятностью называется числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях.

Вероятностью события А называется сумма вероятностей элементарных событий, благоприятствующих А:

Если событию А благоприятствуют m элементарных событий из множества всех n элементарных исходов опыта, тогда

Суммой (объединением) двух событий А и В называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В.

Произведением (пересечением) двух событий А и В называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда происходит и А, и В.

Разностью событий А\В называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В.

Относительной частотой события А в проведенной серии экспериментов называется величина , где n – число проведенных экспериментов, m(А) – число экспериментов, в которых событие А произошло. При увеличении n величина v(A) стремится к некоторому фиксированному числу, называемому вероятностью события p(A):

Задача 6. В ящике 15 качественных и 10 бракованных деталей. Опыт состоит в выборе одной детали. Событие А – «Вынули качественную деталь». Событие В – «Вынули бракованную деталь». Тогда для этих событий верным будет утверждение Событие А и В несовместны (вероятность события А – 15/25, вероятность события В – 10/25).
Задача 7. В урне 10 красных и 8 синих шаров. Наугад вынимают один. Какова вероятность того, что вынут шар красного цвета?

Решение. Это испытание имеет 18 равновозможных исходов. Каждый исход означает выбор одного шара. Пусть событие А означает выбор красного шара. Число исходов, благоприятствующих событию А, равно 10. Итак, т(А) = 10, п = 18 и

Задача 8. Монета подбрасывается два раза. Найти вероятность того, что выпадут и решка и орел.

Решение. Обозначим событие, состоящее в выпадении орла, буквой О, решки – буквой Р. Испытанием здесь является двукратное подбрасывание монеты. Всего может быть 4 исхода: ОО, РР, ОР, РО, поэтому п = 4. Событие А, состоящее в выпадении и орла и решки имеет два благоприятных исхода: РО и ОР. Следовательно, т(А) = 2, п = 4 и

Задача 9. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Их них 15 выигры­вают по 50 000 руб., 25 – по 10 000 руб., 60 – по 5 000 руб. Играющий при­обрел один билет. Какова вероятность выиграть не менее 10 000 руб.?

Решение. Испытание состоит в выборе наугад одного билета из 1000. Поэтому число всех равновозможных исходов равно п = 1000. Пусть событие А состоит в том, что участник лотереи приобрел билет, который выигрывает либо 5 000, либо 10 000 рублей. Число всех таких билетов равно т(А) = 40. Поэтому

Задача 10. Программа экзамена содержит 30 вопросов. Студент знает 20 из них. Каждому студенту предлагают 2 вопроса, которые выбираются случайным образом. Положительная оценка ставится в том слу­чае, если студент правильно ответил хотя бы на один вопрос. Какова вероятность успешной сдачи экзамена?

Решение. Рассмотрим испытание, состоящее в выборе двух из 30 вопросов. Исходом испытания является пара вопросов. Поскольку порядок, в котором выбираются вопросы, несуществен, то число всех п исходов равно числу сочетаний из тридцати по два или

Пусть событие А состоит в том, что студент знает хотя бы один вопрос из двух выбранных. Благоприятные событию А исходы разделим на две группы. В первую включим пары с одним известным студенту вопросом, во вторую – пары с двумя известными ему вопросами. Пары первого типа составляются так: один вопрос выбирается из двадцати знакомых, другой – из десяти незнакомых. По правилу умножения число таких пар равно 20 · 10 = 200. Пары второго типа получаются выбором двух из двадцати знакомых вопросов. Их число равно:

Следовательно, число всех благоприятствующих исходов будет 200 + 190 = 390 и

Рассмотрим некоторое случайное событие А, вероятность которого p(A) известна. Тогда вероятность противоположного события определяется по формуле:

Задача 11. ( – выберите один вариант ответа). Вероятность наступления некоторого события не может быть равна...


1)

0

2)

1

3)



4)

2


Решение. Вероятность принимает значения в диапазоне [0,1], поэтому выбираем ответ под № 4.

Задача 12. В урне 8 белых, 5 синих и 2 красных шара. Какова вероятность того, что вынутый шар будет синего или красного цвета?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что вынут синий шар, а событие В – вынут красный шар. Тогда

Событие + В) означает, что вынут шар синего или красного цвета. Так как события А и В несовместны, то вероятность события + В) вычисляется по формуле:


1.3. Условная вероятность. Вероятность произведения.

Независимость событий
В некоторых случаях необходимо определить вероятность случайного события B при условии, что произошло случайное событие А, име­ющее ненулевую вероятность. Обозначим условную вероятность через p(B/A). Пусть событию А благоприятствуют m(A) исходов из n, а событию АВ – m(АВ) исходов. По определению:
,
.
Если А произошло, то реализован один из m(A) исходов, и событие В может произойти, только если произойдет один из m(AB) исходов, бла­гоприятствующих АВ. Поэтому, естественно предположить условную ве­роятность события В при условии, что произошло событие А, равное:


Итак, условной вероятностью события В при условии, что событие А с ненулевой вероятностью произошло, называется:

Теорема о вероятности произведения двух событий. Соотношение для условной вероятности в предположении, что p(A) или p(B) не равны нулю можно записать в виде:
p(AB) = p(A)  p(B/A) = p(B)  p(A/B).
Задача 13. Из колоды карт выбирают две. Какова вероятность того, что будут вынуты 2 туза?

Решение. Пусть событие В состоит в том, что первая карта туз, а событие А – вторая карта туз. Нужно найти вероятность произведения АВ. По формуле:

Случайные события А и В называются независимыми, если:
p(AB) = p(A)  p(B).
Независимость событий означает, что наступление события А не изменяет вероятности появления события В, то есть условная вероятность равна безусловной:
Р(В) = Р(В/А).
Систему событий A1, A2, …, An называют независимой в совокупности, если каждое из Ai не зависит от произведения остальных Ai (= = 1..n). Известно, что вероятность произведения событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей для любой комбинации сомножителей из этой системы. В этом случае:
p(A1 A2 … An) = p(A1)  p(A2)…  p(An).
Задача 14. ( – выберите один вариант ответа).

Игральный кубик бросают два раза. Вероятность того, что на верх­ней грани два раза выпадет четное число очков, равна:


1)



2)

1

3)



4)



5)










Решение. Каждая грань содержит число от 1 до 6, т. е. 3 четных и 3 нечетных числа. Вероятность того, что выпадет четное или нечетное число равна 3/6 или 1/2. Вероятность повторного выпадения этого же варианта равна произведению вероятностей каждого из событий, т. е. 1/2 · 1/2 = 1/4.

Задача 15. Два стрелка независимо один от другого делают по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком – 0,5, вторым – 0,6. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что мишень поразил первый стрелок, а событие В – в том, что мишень поразил второй стрелок. По условию Р(А) = 0,5 и Р(В) = 0,6. Рассмотрим противоположные события: промах первого стрелка, промах второго. По теореме получаем Р = 1 – 0,5 = 0,5 и Р = 1 – 0,6 = 4. Произведение событий означает промах обоих стрелков. По смыслу задачи события А и В являются независимыми, поэтому и противоположные события и также будут независимыми. По формуле мы получаем вероятность того, что оба стрелка промахнутся: Р( · ) = 0,5 · 0,4 = 0,2. Нас же интересует вероятность противоположного события, состоящего в том, что мишень поражена. Поэтому искомую вероятность мы находим по формуле: 1 – 0,2 = 0,8.

Для несовместных событий вероятность суммы вычисляется по формуле:
p(A + B) = p(A) + p(B).
Случайная величина – величина, принимающая, в зависимости от случая, те или иные значения с определенными вероятностями. Так, число очков, выпадающее на верхней грани игральной кости, представляет собой случайную величину, принимающую значения от 1 до 6 с вероятностью 1/6 каждая.

Математическим ожиданием случайной величины х (обозначим как M[x]) называется сумма произведений всех возможных значений слу­чайной величины на вероятность этих значений:

При этом сумма вероятностей случайной величины

При большом числе испытаний среднее арифметическое наблюда­емых значений случайной величины стремится к ее математическому ожи­данию.

Дисперсией D[x] случайной величины х называется математическое ожидание квадрата разности случайной величины x и ее математического ожидания:

Дисперсия является числовой характеристикой разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания. В вычислениях удобно пользоваться другой формулой дисперсии, а именно дисперсия равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата математического ожидания случайной величины.

Средним квадратическим отклонением σ[x] случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

Модой М0 случайной величины называется ее значение, имеющее наибольшую вероятность.

Медианой Мe называется возможное значение случайной величины, для которого вероятность того, что случайная величина будет мень­ше медианы равна вероятности того, что случайная величина будет боль­ше медианы и равна 1/2, т. е. равновероятно, что случайная величина при­мет значение меньшее медианы и большее медианы.

Задача 16. ( – выберите один вариант ответа).

Дискретная случайная величина х имеет закон распределения вероятностей:


x

2

3

4

p

0,3

0,4

0,3


Математическое ожидание М[х] этой случайной величины равно:


1)

2,2




2)

2,8

3)

5




4)

1


Решение. 1 · 0,4 + 4 · 0,6 = 2,8.

Задача 17. Случайная величина х задана следующим законом распределения:


x

2

3

4

pk

0,3

0,4

0,3


Найти ее математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение.

Решение.

M[x] = 2  0,3 + 3  0,4 + 4  0,3 = 3.

D[x] = (2 – 3)2  0,3 + (3 – 3)2  0,4 + (4 – 3)2  0,3 = 0,6.


Рассмотрим задачи демонстрационного варианта экзамена ФЭПО:

Ф.1. ( – выберите один вариант ответа).

График плотности вероятностей для нормального распределения изображен на рисунке 2:

1) 





2) 



3) 





4) 







Ф.2. ( – выберите один вариант ответа).

В результате некоторого эксперимента получен статистичес­кий ряд:


xi

2

4

5

8

9

pi

0,3

0,3



0,1

0,1


Тогда значение относительной частоты при x = 5 будет равно... (построив график плотности вероятностей для нормального распределения, получим ответ 0,4):

1)

0,3

2)

0,2

3)

0,5

4)

0,4







Ф.3. ( – выберите один вариант ответа).

Объем выборки, заданной статистическим распределением:


xi

1

2

4

ni

3

4

7


равен (14 = 3 + 4 + 7):

1)

30

2)

14

3)

39

4)

13




Ф.4. ( – введите ответ).

Среднее выборочное вариационного ряда 1, 2, 2, 3, 3, 4, 6 равно...

Решение. Выборка состоит из 7 значений, поэтому среднее выборочное равно (1+2+2+3+3+4+6)/7 = 21/7 = 3.

Ф.5. ( – выберите один вариант ответа).

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50, полигон частот которой имеет вид:

Число вариант xi = 4 в выборке равно:

1)

50

2)

17

3)

18

4)

16




Решение. Выборка состоит из 50 событий, из которых известно, что значение 1 выпало 4 раза, 2 – 22 раза, 3 – 8 раз. Оставшиеся 16 раз выпало значение 4 или 50 – (4 + 22 + 8) = 50 – 34 = 16.

Ф.6. ( – выберите один вариант ответа).

В результате 10 опытов получена следующая выборка:

2; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 4; 6; 6.

Для нее законом распределения будет:

1)

xi

1

2

3

4

pi

0,3

0,2

0,3

0,2




2)

xi

2

3

4

6

pi

0,3

0,3

0,3

0,2




3)

xi

2

3

4

6

pi

0,3

0,2

0,3

0,2




4)

xi

2

3

4

6

pi

0,6

0,4

0,6

0,4







Решение. Вероятность каждого из событий в 10 опытах: 2 выпала 3 раза из 10, 3 – 2 раза из 10, 4 – 3 раза из 10, 6 – 2 раза из 10. Другими словами, их вероятности равны 3/10, 2/10, 3/10 и 2/10.

Ф.7. ( – выберите один вариант ответа).

Дана выборка: 10; 11; 12; 11; 11; 14; 10.

Ее выборочная мода равна:

1)

11,29

2)

14

3)

10

4)

11




Решение. Значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность, называется модой, поэтому ответ: 14.

Ф.8. ( – выберите один вариант ответа).

Дана выборка: 1; 1,3; 2,1; 1,2; 1,2; 1,4; 1,5; 1,2; 1,4.

Ее выборочная медиана равна…

1)

2,1

2)

1,3

3)

1,5

4)

1,367




Решение. Для вариационного ряда медиана является статистичес­кой средней, поэтому ответ (1+1,3+2,1+1,2+1,2+1,4+1,5+1,2+1,4)/9=1,367, где 9 – мощность выборки или количество событий.

1   2   3   4   5   6   7   8   9

Похожие:

Технологии обработки документов iconУчебное пособие Технологии обработки информации. Технологии хранения,...
Технологии обработки информации. Технологии хранения, поиска и сортировки информации в бд. Учеб. Пособие. М. МиигаиК, 2014. 31с
Технологии обработки документов iconСовершенствование процессов профилирования винтовых канавок и обработки...
Специальность 05. 02. 07 – Технологии и оборудование механической и физико-технической обработки
Технологии обработки документов iconРабочая программа по технологии ориентирована на освоение обучающимися...
«Технология», составленной на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования, рекомендованной...
Технологии обработки документов iconРабочая программа учебной дисциплины «технологии обработки материалов»
Направление подготовки: 261400. 62 Технология художественной обработки материалов
Технологии обработки документов iconУрок технологии в 5 классе по теме «Технология обработки изделия»
Цели: обобщить знания учащихся по теме: «Технология обработки изделия», защитить презентацию
Технологии обработки документов iconУрок по разделам «Технология обработки ткани, изготовление поясного изделия»
Цели: повторение и систематизация знаний, закрепление умений и навыков по технологии обработки тканей и изготовлению поясного изделия,...
Технологии обработки документов iconПояснительная записка Тематический план дисциплины
Курс Практические работы по технологии обработки металлов дает студентам теоретические знания и помогает овладеть практическими умениями...
Технологии обработки документов iconТехнологии для организации внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся
Но одновременно начинают широко использоваться компьютерные технологии, как для поиска нужной информации педагогами и обучающимися,...
Технологии обработки документов iconДокументирование управленческой деятельности
Делопроизводство составляет полный цикл обработки и движения документов с момента их создания (или получения) до завершения исполнения...
Технологии обработки документов iconЛабораторная работа №3
«Технологии обработки, автоматизированного реферирования и аннотирования текстов на естественном языке»
Технологии обработки документов iconОткрытые образовательные технологии
Технология совокупность приемов и способов получения, обработки и переработки сырья, материалов
Технологии обработки документов iconРабочая программа по технологии в 5-8 классах Учитель технологии: Писцова
М.: Мнемозина, 2012. Она рассматривает подготовку учениц основной школы по разделам «Кулинария», «Создание изделий из текстильных...
Технологии обработки документов iconВопросы к Государственному экзамену
Использование программ обработки текстов, компьютерной графики, макетирования и верстки при составлении рабочих документов, презентационных...
Технологии обработки документов iconСовременные автоматизированные технологии обработки разнородных информационных потоков
Акимова Г. П., Богданов Д. С., Мусатов И. В., Пашкин М. А., Солдатов Д. В., Сомин Н. В
Технологии обработки документов iconМосковский энергетический институт (технический университет)
Профиль(и) подготовки: Машины и технологии высокоэффективных процессов обработки материалов
Технологии обработки документов icon«Технологии изготовления и обработки художественных изделий»
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры «Литейно-металлургические процессы и сплавы»


Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
100-bal.ru
Поиск