Решение неравенств второй степени
Неравенством второй степени называется неравенство вида ax2 + bx + c > 0 (или ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c  0 , ax2 + bx + c  0).
В зависимости от знака дискриминанта квадратного трехчлена D=b2— 4ac нужно рассмотреть два случая:
Если D<0, а старший коэффициент а положителен, то при всех значениях х выполняется неравенство ах2 + bх + с > 0.
Если D > 0, то для решения неравенства ах2 + bх + с > 0 нужно разложить квадратный трехчлен на множители ах2 + bх + с по формуле ах +bх + с = а(х-х1)(х-х2), затем разделить обе части неравенства а(х-х1)(х-х2) > 0 на число а, сохранив знак неравенства, если а>0, и изменив знак неравенства на противоположный, если а<0, и перейти к неравенству (х-х1)(х-х2) > 0.
Дальше используют тот факт, что произведение двух чисел положительно, если сомножители имеют одинаковые знаки (если (х-х1)(х-х2) < 0, то сомножители имеют противоположные знаки).
Пример 1. Решить неравенство x2 - 5x + 6 > 0.
Р е ш е н и е.
x2 - 5x + 6 = 0 ↔ x1 = 2, x1 = 3 → x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).
Отсюда x2 - 5x + 6 > 0 ↔ (x - 2)(x - 3) > 0 ↔
↔ ↔ ↔ ↔ x  (- ;2) (3;).
Ответ: x (-;2)(3;).
Замечание. Рассмотренное выше неравенство второй степени обычно решают либо графически, либо методом интервалов, которые рассмотрены ниже. Однако приведенные выше способы также имеют право на существование, т. к. они достаточно просты и наглядны.
Графическое решение неравенств второй степени:
Графиком квадратичной функции y = ах2 +bх + с является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0 (иногда говорят, что парабола направлена выпуклостью вниз, если а > 0 и выпуклостью вверх, если а < 0).
При этом возможны три случая:
Парабола пересекает ось 0х (т. е. уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня):
 
Парабола имеет вершину на оси 0х (т. е. уравнение ах2 + х + с = 0 имеет один корень, так называемый двукратный корень):
 
Парабола не пересекает ось 0х (т. е. уравнение ах2 +bх + с = 0 не имеет действительных корней):
 
Пример 2. Решить неравенство x2 > 0.
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию у = x2. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (парабола направлена выпуклостью вниз). Парабола пересекает ось Ох в точке с абсциссой х = 0, так как х2 = 0 ↔ х = 0. Изобразив схематически параболу у = x2, найдем, что у > 0 при x (-;0) (0;). На чертеже искомое множество заштриховано.
Ответ: x (-;0) (0;). .
Пример 3. Решить неравенство -2x2 + 3x + 2 > 0.
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию у = -2x2 + 3x + 2. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (парабола направлена выпуклостью вверх), т. к. а = —2 < 0.
-2x2 + 3x + 2 = 0 ↔ x1 = -(1/2), x2 = 2.
Изобразив схематически параболу у = -2х2 + 3х + 2, находим, что у < 0 в каждом из бесконечных промежутков: (-;1/2), (2;+). Искомое множество заштриховано на чертеже.
Ответ: x (-;1/2) (2;+). |
