Секция “Краевые задачи механики сплошной среды, численные и численно-аналитические методы решения”
УДК 532.517.4
Мошкин Н.П., Фомина А.В., Черных Г.Г.
Suranaree University of Technology, Institute of Science, Nakhon Ratchasima, Thailand
Кузбасская государственная педагогическая академия, г. Новокузнецк
Институт вычислительных технологий СО РАН, г. Новосибирск
ДИНАМИКА ПАССИВНОГО СКАЛЯРА В ТУРБУЛЕНТНЫХ СЛЕДАХ ЗА ТЕЛАМИ, ДВИЖУЩИМИСЯ В ЛИНЕЙНО СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ СРЕДЕ
Представлены результаты численного моделирования характеристик пассивного скаляра в турбулентных следах за телами в линейно стратифицированной среде.
Введение
Турбулентные следы за телами, движущимися в линейно стратифицированной жидкости, рассматривались в целом ряде работ. Обзор исследований можно найти в [1]. Задача о переносе пассивного скаляра в свободных турбулентных течениях является классической задачей гидродинамики [2]. Цикл исследований [3] посвящен численному моделированию распространения пассивного скаляра от мгновенного локализованного источника в плоской зоне турбулентного смешения в устойчиво стратифицированной среде. В настоящей работе изучается динамика пассивного скаляра в турбулентных следах за самодвижущимся и буксируемым телами в линейно стратифицированной среде. Работа является продолжением исследований [1,4].
Постановка задачи
Для описания течения в дальнем турбулентном следе за телом вращения в стратифицированной среде используется параболизованная система осредненных уравнений Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска [1]:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
В уравнениях (1)-(5) -скорость набегающего невозмущенного потока; - дефект осредненной продольной компоненты скорости; - компоненты скорости осредненного движения в направлении осей соответственно; - отклонение давления от гидростатического, обусловленного стратификацией ; -ускорение силы тяжести; -осредненный дефект плотности: - плотность невозмущенной жидкости: (устойчивая стратификация),; штрихом обозначены пульсационные компоненты; символ - осреднение.
Система уравнений (1)-(5) незамкнута. Для ее замыкания привлекается модифицированная модель турбулентности. В этой модели неизвестные значения рейнольдсовых напряжений турбулентные потоки определяются из алгебраических соотношений (Rodi [5]):
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
С учетом физических особенностей рассматриваемого течения выражения (6) упрощаются следующим образом:
(12)
(13)
Для нахождения энергии турбулентности , скорости диссипации и рейнольдсова напряжения используются дифференциальные уравнения переноса этих величин [1,5]:
(14)
(15)
(16)
Коэффициенты турбулентной вязкости определяются из упрощенных соотношений (6):
,
Так, что
Величины являются эмпирическими константами [5]. Их общепринятые значения соответственно равны .
В дополнение к уравнениям (1) - (5), (14) – (16) привлекаются уравнения переноса осредненной концентрации пассивного скаляра и дисперсии флуктуаций концентрации пассивного скаляра [1]:
(17)
(18)
В этих уравнениях
Переменная в уравнениях (1)-(5), (14) – (18) играет роль времени. На расстоянии от тела задаются следующие начальные условия:
Здесь -функции, согласующиеся с экспериментальными данными Линя и Пао [6,7] в однородной жидкости; -некоторые финитные колоколообразные функции (в настоящих расчетах При ставились условия невозмущенного потока: Из соображений симметрии решение отыскивается лишь в первом квадранте плоскости . Граничные условия на осях симметрии принимаются следующими:
При численном решении задачи краевые условия, соответствующие , сносились на границы достаточно большого прямоугольника ; .
Безразмерные переменные вводятся следующим образом:
где - диаметр тела, - скорость невозмущенного потока, - характерная осредненная концентрация.
Алгоритм решения задачи [8] основан на применении неявного метода расщепления по пространственным переменным в уравнениях (1), (4), (14) – (16) и на применении явного метода расщепления по физическим процессам к уравнениям (2),(3),(5). Интегрирование дифференциальных уравнений (17), (18) проводится также по неявной схеме расщепления с центрально-разностными аппроксимациями конвективных членов. Конечно-разностные уравнения решаются с использованием метода прогонки.
Результаты расчетов
Динамика пассивного скаляра в турбулентных следах в однородной жидкости иллюстрируется рисунками 1 – 4. На рисунке 1 представлены найденные в численных экспериментах автомодельные распределения энергии турбулентности, осредненной концентрации, дисперсии флуктуаций осредненной концентрации и скорости выравнивания неоднородностей пассивного скаляра:
Здесь
осевые значения величин. Можно видеть, что функции , в отличие от , носят немонотонный характер, что обусловлено наличием членов порождения за счет градиентов осредненной концентрации в уравнении (18). Отличие в форме на рисунке 1 (а), (б) обусловлено существенно разной структурой турбулентных следов за самодвижущимся и буксируемым телами. В безымпульсном турбулентном следе [9] уже на расстоянии порядка 10D реализуется практически бессдвиговый режим течения, в котором компоненты скорости осредненного движения равны компонентам скорости набегающего потока, и касательные турбулентные напряжения равны нулю. В следе за буксируемым телом дефект осредненной продольной компоненты скорости убывает значительно медленнее, и имеется порождение энергии турбулентности за счет градиентов .
Вырождение осевых значений осредненной концентрации на оси следа приведено на рисунке 2 (а), (б). В соответствии с законом сохранения
в автомодельном режиме вырождения безымпульсного турбулентного следа Для следа за буксируемым телом также имеем Соответствующие законы автомодельного вырождения изображены на рисунке 2 (а), (б) пунктирными линиями, характеризующими степень убывания. Можно также видеть более быстрый выход на автомодельность в случае безымпульсного следа. Штрихпунктирные линии на этом рисунке соответствуют линейной стратификации Их поведение будет обсуждаться ниже.
Отметим также, что в [10] аналитически с применением асимптотического анализа изучалось автомодельное вырождение осредненной концентрации пассивного скаляра в безымпульсном турбулентном следе в однородной жидкости. При этом, с использованием экспериментальной информации о законе расширения следа, получен аналогичный представленному на рисунке 2 (а) закон убывания Простейший численный анализ асимптотического вырождения характеристик пассивного скаляра, выполненный в настоящей работе и основанный на обработке результатов численных экспериментов, не требует никакой дополнительной информации и исследований.
Изменение в зависимости от расстояния от тела и изображено на рисунке 2 (в) – (е). Так же, как и на рисунке 2 (а), безымпульсный след характеризуется более быстрым выходом на автомодельность.
Динамика пассивного скаляра в турбулентных следах за телами, движущимися в линейно стратифицированной среде, иллюстрируется рисунком 3. Число Фруда полагалось равным 280 [6]. Изолинии
представлены на рисунке 3 (а) – (з); Линии равной энергии иллюстрируют динамику турбулентных следов. Видно, что след за буксируемым телом характеризуется существенно большими размерами, что обусловлено наличием порождения энергии турбулентности за счет градиентов осредненной продольной компоненты скорости. Поскольку турбулентные коэффициенты диффузии и вязкости связаны друг с другом, внешние очертания следа, определяемые по энергии турбулентности и осредненной концентрации пассивного скаляра, достаточно близки (рисунок 3 (а), (в); рисунок 3 (б), (г)).
Осевые значения
приведены на рисунке 2 (штрихпунктирные линии). Можно видеть, что в случае стратифицированной жидкости течение в следах характеризуется более медленным вырождением характеристик пассивного скаляра. Последнее, по-видимому, обусловлено подавлением турбулентной диффузии за счет воздействия силы тяжести.
С использованием предложенного в [11] подхода можно осуществить моделирование по плотностному числу Фруда [1]. В работе [11] был предложен также подход к построению упрощенных моделей дальнего турбулентного следа. Он реализован [12,13] применительно к характеристикам собственно турбулентного следа и генерируемых следом внутренних волн. Подход основан на расщеплении течения в следах при больших значениях времени вырождения на волновой и диффузионный процессы. В условиях линейной стратификации при взаимное воздействие следа и генерируемых внутренних волн практически прекращается. Ниже в таблицах 1, 2 представлены результаты численных экспериментов, в которых первоначально расчеты проводились по полной модели. Далее при характеристики собственно турбулентного следа и пассивного скаляра в нем рассчитывались по диффузионной модели Представленные в таблицах 1, 2 результаты расчетов наглядно демонстрируют применимость упрощенной диффузионной модели к расчету характеристик пассивной примеси в дальнем следе. Индекс 1 в этих таблицах соответствует расчету по упрощенной модели при ; индекс 2 – при . Применение упрощенной диффузионной модели позволяет по меньшей мере на порядок сократить время расчета. Таблица 1 - Осевые значения , рассчитанные с применением полной (индекс p) и упрощенной моделей (индексы 1,2) в следе за буксируемым телом Таблица 2 - Осевые значения , рассчитанные с применением полной (индекс p) и упрощенной моделей (индексы 1,2) в следе за буксируемым телом В работе построена численная модель динамики пассивного скаляра в дальних турбулентных следах за телами, движущимися в однородной и линейно стратифицированной средах. Результаты расчетов в однородной жидкости демонстрируют автомодельное поведение характеристик пассивного скаляра на больших расстояниях от тела. Результаты численных экспериментов в линейно стратифицированной среде иллюстрируют воздействие силы тяжести. Построена упрощенная диффузионная модель переноса характеристик пассивного скаляра в дальних турбулентных следах в линейно стратифицированной среде. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 07-01-00363)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мошкин Н.П. Численное моделирование динамики турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде / Н.П. Мошкин, А.В. Фомина, Г.Г. Черных // Математическое моделирование, 2007. – Т. 19, №1. – С. 29-56.
2. Хинце И.О. Турбулентность. Ее механизм и теория / И.О. Хинце // М.: ГИФМЛ, 1963.
3. Chashechkin Yu.D., Chernykh G.G., Voropayeva O.F. The propagation of a passive admixture from a local instantaneous source in a turbulent mixing zone / Yu.D. Chashechkin, G.G. Chernykh, O.F. Voropayeva // Int. J. of Comput. Fluid Dynamics, 2005. - V. 19, No.7. - P. 517-529.
4. Фомина А.В. Численная модель динамики пассивного скаляра в турбулентных следах за телами, движущимися в линейно стратифицированной среде / А.В. Фомина // Сб. тр. 7-й Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование», 4-5 декабря 2004, Новокузнецк. НФИ КемГУ.- С. 22-24.
5. Rodi W.J. Examples of calculation methods for flow and mixing in stratified fluids / W.J. Rodi // Geophys. Res., 1987. - V.92, No.C5. - P.5305-5328.
6. Lin J.T., Pao Y.H. Wakes in stratified fluids. / J.T. Lin, Y.H. Pao // Annu. Rev. Fluid Mech., 1979. - V.11. - P. 317-336.
7. Hassid S. Collapse of turbulent wakes in stable stratified media / S. Hassid // J. Hydronautics, 1980. - V. 14, N 1. - Р. 25-32.
8. Мошкин Н.П. О численном моделировании динамики турбулентного следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде / Н.П. Мошкин, А.В. Фомина, Г.Г. Черных // Вестник НГУ, Серия: матем., механика, информ., 2004. - T.4. - ¾ - C. 63–92.
9. Алексенко Н.В. Экспериментальное исследование осесимметричного безымпульсного турбулентного струйного течения / Н.В. Алексенко, В.А. Костомаха // ПМТФ, 1987. - N 1. - С. 65-69.
10. Шашмин В.К. Гидродинамика и теплообмен в турбулентных безымпульсных следах / В.К. Шашмин // Инженерно-физический журнал, 1983. - Т 42, N 4. - С 640-647.
11. Лыткин Ю.М. Подобие течения по плотностному числу Фруда и баланс энергии при эволюции зоны турбулентного смешения в стратифицированной среде / Ю.М. Лыткин, Г.Г. Черных // Матем. Проблемы механики сплошных сред, Динамика сплошной среды, Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1980.-вып. 47. - С. 70-89.
12. Мошкин Н.П. О численном моделировании турбулентных следов / Н.П. Мошкин, Н.Н. Федорова, Г.Г. Черных // Вычислительные технологии, Новосибирск ИВТ СО РАН, 1992. - Т. 1, N 1. - C. 70-92.
13. Chernykh G.G., Voropayeva O.F. Numerical modelling of momentumless turbulent wake dynamics in a linearly stratified medium / G.G. Chernykh, O.F. Voropayeva // Computers and Fluids, 1999. - Vol. 28, No. 3. - С. 281-306.
|