Программа дисциплины История и методология математики

1Область применения и нормативные ссылки

• 
  ГОС ВПО
  
• 
  Образовательной программой 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
  
• 
  Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденным в 2010 г.
  

2Цели освоения дисциплины

3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

• 
  Знать основные события и основных персонажей истории математики.
  
• 
  Уметь работать с источниками, в том числе и с научными текстами.
  
• 
  Иметь навыки критического осмысления исторического процесса в целом и истории науки в частности, определять достоверность исторической информации.
  
  Одной из важнейших задач современного ученого является задача критического
  
  осмысления окружающей реальности, в которой большинство источников информации заражено коммерческими влияниями. Математика как часть мировой культуры на протяжении всей своей истории неразрывно связана с реалиями жизни, а судьбы математиков вплетены в истории их народов и государств. С другой стороны, изучения истории и методологии математики необходимо для будущих ученых в их собственной научной работе.
  

4Место дисциплины в структуре образовательной программы

5Тематический план учебной дисциплины

6Формы контроля знаний студентов

6.1Критерии оценки знаний, навыков

7Содержание дисциплины

7.1 Раздел 1. Математика в древности

Лекция 1 (2 часа): Введение в курс. Древний Египет и Вавилон.

Конспект: Задачи и методы исторической науки. Источники и работа над ними. Достоверная и

апокрифическая информация. Математика Древнего Египта – источнки и задачи. Математика Вавилон – истоники и задачи.

Семинар 1 (2 часа): Сравнительный анализ задач и методов, практиковавшихся в Древнем Египте и Вавилоне. Персоны и персонажи. Выбор тем рефератов. Дискуссия.

Лекция 2 (2 часа): Древняя Греция. Эллинистические страны и Римская империя.

Конспект: Греческое чудо. Математика Древней Греции – источники. Великие математики древности и их открытия. Связь с астрономией и инженерией. Эллинистические страны. «Начала» Евклида как источник и образец. Архимед – величайший ученый и инженер.

Семинар 2 (2 часа): Сравнительный анализ методов вычислений Архимеда и современных аналитических методов интегрирования. Астрономические вычисления.

Задачи по истории математики. Дискуссия.

Основная литература: [1], первая часть.

7.2 Раздел 2. Математика в средние века.

Лекция 3 (2 часа): Китай и Индия.

Конспект: Предыстория. Великие открытия. Источники. Китайская нумерация. Интерполирование и суммирование рядов. Индийская нумерация. Теорема Пифагора.

Площади и объемы. Тригонометрия.

Семинар 3 (2 часа): Задачи Китая и Индии. Персоны и персонажи.

Задачи по истории. Дискуссия.

Лекция 4 (2 часа): Страны ислама. Средневековая Европа. Возроэждение.

Конспект: Арабская математика как наследница предыдущей эпохи. Источники. Рождение языка. Кубические уравнения. Средневековая Европа – пробуждение. Византийское наследие. Первые университеты. Эпоха Возрождения начинается с нового взгляда на науку.

Семинар 4 (2 часа): Задачи средневековья. Математика и богословие – дискуссия.

Задачи по истории науки. Сообщения по рефератам.

Основная литература: [1], вторая часть.

7.3 Раздел 3. Математика в 17 веке.

Лекция 5 (2 часа): Алгебра, геометрия и теория чисел.

Конспект: Научная революция Нового времени и Реформация в Европе. Расширение понятия числа. Проблема решения числа в радикалах. Логарифмы, логарифмическая линейка. Простые числа. Великие и малые теоремы. Алгебраические методы в геометрии. Алгебраи и геометрия Декарта. Возникновение проективной геометрии из теории перспективы.

Семинар 5 (2 часа): Задачи математики 17 века. Сравнение методов Декарта, Ферма и Ньютона. Сообщения по рефератам. Дискуссия.

Лекция 6 (2 часа): Рождение анализа бесконечно малых. Ньютон и Лейбниц.

Конспект: Возрождение методов Архимеда. Ньютон и классическая механика. Философские взгляды Ньютона основа его методологии. Обыкновенные дифференциальные уравнения – запись и решения. Лейбниц и его школа. Исчисление анализа бесконечно малых.

Семинар 6 (2 часа): Ньютон и Лейбниц – сравнительное жизнеописание.

Сообщения по рефератам. Сравнение методов Ньютона и Лейбница и современных методов решения дифференциальных уравнений.

Основная литература: [2], главы 1 – 8.

4. 
   Раздел 4. Математика в 18 веке.
   

Лекция 7 (2 часа): Век просвещения. Алгебра, геометрия и теория чисел.

Конспект: Системы счисления. Комплексные числа. Основная теорема алгебры. Эйлер и его работы. Элементы топологии. Школа Эйлера. Рождение дифференциальной геометрии.

Семинар 7 (2 часа): Эйлер и Лагранж – сравнительное жизнеописание.

Сообщения по рефератам. Задачи по истории науки. Дискуссия.

Лекция 8 (2 часа): Дифференциальное и интегральное исчисление.

Дифференциальный уравнения. Вариационное исчисление.

Конспект: Дальнейшее развитие анализа. Теория пределов. Формулы Эйлера и спор о логарифмах. Бесконечные произведения и суммы. Техника интегрирования. Решение задачи о брахистохроне. Уравнение Эйлера – Лагранжа. Создание метода вариаций.

Семинар 8 (2 часа): Школа и творческое наследие Эйлера. Сообщения по рефератам. Задачи по истории науки. Дискуссия.

Основная литература [3], главы 1 -10

4. 
   Раздел 5. Математика в 19 веке.
   

Лекция 9 (2 часа): Карл Фридрих Гаусс.

Конспект: Общие биографические сведения. Источники – рукописное наследие, дневник. Работы по астрономии: теория возмущений. Геодезическая съемка. Физика: электродинамика Гаусса и Вебера, теория потенциала. Математические работы: ранние работы, квадратичные формы, эллиптические функции, основная теорема алгебры, неевклидова геометрия.

Семинар 9 (2 часа): Математические работы Гаусса. Сообщения по рефератам.

Лекция 10 (2 часа): Механика и анализ: французская политехническая школа.

Конспект: Создание и структура Политехнической школы. Работы Пуассона и Фурье.

Коши: биографические данные, работы по механике и оптике, обоснование анализа бесконечно малых, дифференциальные уравнения, функции комплексной переменной. Теория Галуа.

Семинар 10 (2 часа): Математические работы Коши. Сообщения по рефератам.

Лекция 11 (2 часа): Расцвет чистой математики в Германии.

Конспект: Создание журнала Крелля. Дирихле: работы по теории чисел и анализу, работы по механике и физике. Абель: биография, теорема Абеля, состязание с Якоби. Якоби и кенигсбергская школа.

Семинар 11 (2 часа): Обсуждение материалов курсовых работ. Консультации к дальнейшей работе.

Лекция 12 (2 часа): Классическая алгебраическая геометрия – начала.

Конспект: Геометры креллевского журнала. Мебиус, Плюккер, Штейнер. Создание чисто проективной геометрии. Штаудт: введение общих проективных координат. Шаль и его школа. Кэли, Клейн, Бельтрами, Клиффорд.

Семинар 12 (2 часа): Задачи проективной геометрии. Развитие методов. Дискуссия.

Лекция 13 (2 часа): Классическая алгебраическая геометрия – продолжение.

Конспект: Построение теории алгебраических многообразий. Риман: биографические данные.

Римановы поверхности и алгебраические функции. Вейерштрасс: биографические данные. Теория эллиптических функций.

Семинар 13 (2 часа): Задачи алгебраической геометрии. Развитие методов. Дискуссия.

Лекция 14 (2 часа): Дальнейшее развитие алгебраической геометрии.

Конспект: Клебш и его школа. Алгебраические кривые. Гордан, Бриль и Нетер. Пространственные алгебраические кривые. Алгебраические поверхности.

Семинар 14 (2 часа): Задачи алгебраической геометрии.

Основная литература: [4], главы 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

7.6 Раздел 6. Современная математика.

Лекция 15 (2 часа): Анри Пункаре.

Конспект: Биографические данные. Работы по физике. Математические работы. Философские взгляды. «О науке».

Семинар 15 (2 часа): Дискуссия на тему книги А. Пуанкаре «О науке»

Лекция 16 (2 часа): Развитие алгебраической геометрии в 20 веке. Теорема Ферма.

Конспект: Итальянская школа. Развитие алгебраической топологии. А. Гротендик.

Гипотеза Морделла и доказательство теоремы Ферма. Московская школа алгебраической геометрии.

Семинар 16 (2 часа): Промежуточное рассмотрение материалов курсовых работ.

Лекция 17 (2 часа): Дифференциальная геометрия и топология в 20 веке. Связь с физикой.

Конспект: Риманова геометрия и общая теория относительности. Топологическая и гладкая классификация многообразий. М. Фридман и С. Дональдсон. Калибровочные теории как источники инвариантов гладких структур.

Семинар 17 (2 часа): Задачи дифференциальной геометрии. Новые методы. Дискуссия.

Лекция 18 (2 часа): Симплектическая геометрия и математическая физика.

Конспект: Создание симплектической геометрии. Работы В.И. Арнольда. Симплектическая топология. Основные проблемы. Гипотеза о зеркальной симметрии.

Семинар 18 (2 часа): Перспективы и основные направления развития математики в 21 веке. Дискуссия. Осбуждение курсовых работ.

Основная литература: [5], [6].

8Образовательные технологии

8.1Методические рекомендации преподавателю

1. 
   подробное изложение основных принципов исторической науки, в первую очередь принципа первенства источника;
   

2. 
   знакомим с наиболее значимыми источниками;
   

3. 
   используем индивидуальный подход в зависимости от склонностей студента
   

8.2Методические указания студентам

9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1Тематика заданий текущего контроля

9.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

9.3Примеры заданий промежуточного /итогового контроля

1. Биографические данные и основные научные работы Р. Декарта.

2. Биографические данные и основные научные работы Э. Виттена.

10Порядок формирования оценок по дисциплине

11Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

11.1Базовый учебник

11.2Основная литература

11.3Дополнительная литература

1. 
   “A brief history of mathematics”, Wooster, Smith translation of an original Prof. Kink
   

2. 
   Ж. Адамар, «Исследование психологии процесса изобретения в области математики»,
   

3. 
   Г. Вейль, «Полвека математики», Москва, «Знание», 1969
   
4. 
   Г. Вилейтнер, «История математики от Декарта до середины 19 столетия», Москва, Гос. Издательство физ – мат литературы, 1960
   
5. 
   I. Newton, “Philosophiae naturalis principia mathematica”, Imprimatur S. Pepy, Reg. Soc. Praeses, 1686
   

11.4Справочники, словари, энциклопедии