Кострома





Скачать 100.95 Kb.
НазваниеКострома
Дата публикации24.12.2014
Размер100.95 Kb.
ТипДокументы
100-bal.ru > Математика > Документы

Г
ОРОДСКОЙ МЕТОДИЧЕСКИЙ ЦЕНТР УПРАВЛЕНИЯ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ ГОРОДА КОСТРОМЫ




Теорема Виета в задачах с параметрами.



КОСТРОМА

2006

Теорема Виета в задачах с параметрами: В помощь учителю / Составитель С. А. Сорокина. – Кострома, 2006. – 8 с.
Составитель пособия «Теорема Виета в задачах с параметрами» - Почётный работник Российской Федерации, учитель математики высшей квалификационной категории МОУ лицея №17 города Костромы Сорокина Светлана Анатольевна. Светлана Анатольевна работает в классах углублённого изучения математики. Её учащиеся – призёры и победители математических олимпиад различных уровней.

В пособии представлен практикум «Теорема Виета в задачах с параметрами» и один из способов решения заданий практикума.

Задания расположены в порядке возрастания сложности и носят обучающий характер.

Рецензент:

Л. К. Борткевич – методист ГМЦ

Ó С.А. Сорокина

Ó Оформление и вёрстка Л. К. Борткевич

Теорема Виета в задачах с параметрами.

Теорема. Если квадратное уравнение ax2+bx+c=0 имеет корни x1 и x2 ,то для них справедливы соотношения - , .

Задачи.

1. При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения равно нулю?

2. При каких значениях k сумма корней квадратного уравнения равна нулю?

3. В уравнении сумма квадратов корней равна 16.Найдите а.

4. Найдите все значения а, при которых сумма квадратов корней уравнения равна 10.

5. В уравнении квадрат разности корней равен 16.Найдите а.

6. Найдите все значения а, для которых разность корней уравнения равна 1.

7. При каких значениях а сумма корней уравнения равна сумме квадратов его корней?

8. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения наименьшая?

9. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения наибольшая?

10. При каких значениях коэффициента b сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?

11. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения .

12. При каких значениях p и q корни уравнения равны и ?

13. Не решая уравнения найти, при каком значении а один из корней в 2 раза больше другого.

14. В уравнении определить а так, чтобы отношение корней равнялось 2.

15. При каких значениях параметра а разность корней уравнения равна их произведению?

16. Известно, что корни уравнения на 1 меньше корней уравнения . Найдите а и корни каждого из этих уравнений.

17. Известно, что корни уравнения равны соответственно квадратам корней уравнения . Найдите a и b и корни каждого из уравнений.

18. При каких значениях коэффициента с один из корней уравнения равен квадрату другого корня?

19. При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно три корня?

20. При каком а уравнение имеет два отрицательных корня?

Решения и ответы.

1. При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения равно нулю?

Решение.

По теореме Виета имеем = и по условию =0. Корнями уравнения =0 являются числа 3 и 4. При k=3 и k=4 получим уравнение , произведение корней которого равно 0.

Ответ:3;4.
2. При каких значениях k сумма корней квадратного уравнения равна нулю?

Решение.

По условию =0, по теореме Виета имеем =.

Корнями уравнения являются числа 1 ,-5. При k=1 получим уравнение , сумма корней которого равна 0. При k = -5 получим уравнение , которое не имеет корней.

Ответ:1.
3. В уравнении сумма квадратов корней равна 16.Найдите а.

Решение.

По теореме Виета имеем =4, = а. По условию =16.





42-2а=16, а=0

При а = 0 уравнение имеет корни, сумма квадратов которых равна 16.

Ответ: 0.
4. Найдите все значения а, при которых сумма квадратов корней уравнения равна 10.

Решение.

Для того, чтобы сумма квадратов корней уравнения равнялась какой-либо величине, эти корни должны существовать. Значит, дискриминант нашего уравнения должен быть неотрицательным, т.е. а2-4(а+7). При таких а у исходного уравнения найдутся (возможно, совпадающие) корни x1 и x2. Запишем для них теорему Виета: = а, = а+7 . Теперь, не вычисляя корней, можно найти сумму их квадратов через а:

== а2-2(а+7) Согласно условию, эта сумма квадратов равна 10, откуда получаем квадратное уравнение а2-2(а+7)=10, корнями которого являются числа 6 и -4. При а = 6 дискриминант исходного уравнения отрицательный, а при а = -4 положительный.

Ответ: а = -4.


5. В уравнении квадрат разности корней равен 16.Найдите а.

Решение.

По теореме Виета имеем =2, = а. Чтобы корни существовали, дискриминант нашего уравнения должен быть неотрицательным, 4-4а, т.е. а. По условию





4-4а=16

а = -3, -3.

Ответ: а = -3.
6. Найдите все значения а, для которых разность корней уравнения равна 1.

Решение.



По теореме Виета =; =. Следовательно, =.

По условию =1. Значит, а1=9, а2=-3. При данных значениях параметра а дискриминант исходного уравнения больше нуля.

Ответ: 9, -3.
7. При каких значениях а, сумма корней уравнения равна сумме квадратов его корней?

Решение.

По теореме Виета =2а, =2а-1. По условию =.

=

2а=(2а)2-2(2а-1),

а=1, а =.

При а =1 уравнение имеет корень 1 , при а = уравнение имеет корни 1 и 0.

Ответ: 1 , .
8. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения наименьшая?

Решение.

По теореме Виета имеем = m-2, = -m-3

==(2-m)2-2(-m-3)=m2-2m +10=(m-1)2+9.

Сумма квадратов корней наименьшая при m =1. При m=1 уравнение имеет два корня.

Ответ: 1.
9. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения наибольшая?

Решение.

По теореме Виета имеем = -m+1, = m2-1,5.

==(-m+1)2-2(m2-1,5)= -m2-2m+4= -(m+1)2+5

При m= -1 выражение -(m+1)2+5 принимает наибольшее значение. При m = -1 уравнение имеет корни.

Ответ: -1.
10. При каких значениях коэффициента b сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?

Решение.

Выразим сумму квадратов корней данного уравнения через его коэффициенты при помощи теоремы Виета следующим образом:

==b2-2.

Выражение b2-2 принимает наименьшее значение при b=0. При этом значении b сумма квадратов корней отрицательна. Надо обязательно добавить условие неотрицательности дискриминанта b2-4. Теперь уже нетрудно заключить, что сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение при b=

Ответ:
11. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения .

Решение.

Пусть = t. Рассмотрим уравнение . >0, по теореме Виета t1+t2=3, =1.

Уравнение имеет два положительных корня, следовательно, исходное уравнение имеет 4 корня. Причем t1=, t2=

+==2(=2((t1+t2)2-2t1t2)=2(9-2)=14

Ответ: 14.
12. При каких значениях p и q корни уравнения равны и ?

Решение.

Пусть . По теореме Виета имеем = -p, =q, =p2-4q, следовательно, ;

q= -6p

q.
Если q=0, то p=0, =0, если p=1, то q= -6, >0. Уравнение имеет корни.

Ответ: p=q=0 или p=1, q= -6.
13. Не решая уравнения найти, при каком а один из корней в 2 раза больше другого.

Решение.

По условию . По теореме Виета имеем .



Значит, При а = 4 уравнение имеет корни 6 и 3.

Ответ: 4.
14. В уравнении определить а так, чтобы отношение корней равнялось 2.

Решение.

Пусть х - корень уравнения. Тогда второй корень 2х.




При a= получим уравнение , корни которого -3 и -6.

Ответ:
15. При каких значениях параметра а разность корней уравнения равна их произведению?

Решение.

Имеем ;




По условию



При а=1 уравнение имеет корни 1 и ,

при а = уравнение имеет корни и , разность которых равна их произведению.

Ответ: 1, .
16. Известно, что корни уравнения на 1 меньше корней уравнения . Найдите а и корни каждого из этих уравнений.

Решение.

Пусть и - корни уравнения .

По условию +1 и +1 корни уравнения .

По теореме Виета имеем
Отсюда a+5+1=3a-6, a=6.

При а = 6 уравнение имеет корни 2 и 3, а уравнение имеет корни 3 и 4.

Ответ: а = 6, 2 и 3 - корни первого уравнения, 3 и 4 - корни второго уравнения.
17. Известно, что корни уравнения равны соответственно квадратам корней уравнения . Найдите a и b и корни каждого из уравнений.

Решение.

По условию и теореме Виета имеем

Отсюда b=36, ==



При b = 36 уравнение имеет корни 9 и 4.

При а = 5 уравнение имеет корни -2 и -3.

При а = -5 уравнение имеет корни 2 и 3.

Ответ: при а = -5, b=36 корни первого уравнения 2 и 3,

корни второго уравнения 4 и 9

при а =5 , b=36 корни первого уравнения -2 и -3,

корни второго уравнения 4 и 9
18. При каких значениях коэффициента с корень уравнения равен квадрату другого корня?

Решение.

Пусть числа и являются корнями этого уравнения.

Тогда по теореме Виета должны выполнятся равенства и .

Поскольку корень должен быть равен квадрату корня , то подставим выражение =2 в эти два уравнения.

Получим систему .

Первое уравнение этой системы является квадратным и имеет два корня и .

Подставляя эти значения во второе уравнение системы, получаем два уравнения

и . Решая эти уравнения, получим с =1 и с = -27.

При этих значениях с дискриминант больше 0.

Ответ:- 27,1.
19. При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно три корня?
Решение.

Чтобы заданное уравнение имело три корня, необходимо, чтобы корни одного из сомножителей заданного уравнения совпадали.

Итак, имеем , если дискриминант равен нулю.

Значит а = -3. Но если а = -3, то при любом x, второй сомножитель отрицателен, что невозможно.

Рассмотрим равенство нулю второго сомножителя: Его корни совпадают, если а+1=0 , т.е. а = -1.

При а = -1 первый сомножитель имеет два корня .

Ответ: -1.
20. При каком а уравнение имеет два отрицательных корня?

Решение.

=(2а-3)2 -4(а+5)(а-10)=8а+209>0

Корни будут иметь одинаковые знаки, если

Оба корня будут отрицательны, если при этом

Таким образом, задача свелась к решению системы неравенств 8а+209>0




Ответ:





Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Кострома iconУстный журнал «Кострома гимназическая» Ромашук Н. А. 24. 02. 2014...
Шитикова Н. А., Хабибуллина Ю. С., Исакова Е. Р., Масленникова Л. И., Богданова О. Н., Молотилова Т. В
Кострома iconII. Организация встреч с ветеранами космических войск и представителями...
В. В. Терешковой и рекомендаций Департамента государственной политики в сфере общего образования Минобрнауки России для проведения...
Кострома iconРабочая программа по предмету «русский язык» Класс 5 2011-2012 учебный...
Моу лицея №41, Региональной программы по русскому языку / сост. Мелерович А. М., Тихова В. В., Власова Т. И., Силина Л. И., под ред....
Кострома iconИ. А. Самолыга г. Кострома, фгквоу впо «Военная академия радиационной,...
...
Кострома iconМуниципальное общеобразовательное учреждение
Индивидуальные выезды детей с родителями в г. Кострома, в места проведения областной акции «Белый цветок»
Кострома iconРеферат Нравственные ценности семьи Российского императора Николая
Емакова Наталия Владимировна, Российская Федерация, Костромская область, город Кострома
Кострома iconПетрук Юлия Алексеевна Учитель немецкого языка мбоу сош №10 Г. Кострома
Торжественная линейка, посвященная празднику Последнего звонка, объявляется открытой
Кострома iconМетодические указания по написанию и оформлению рефератов кострома 2014
Реферат является одной из форм учебной и научно-исследовательской работы студен­тов
Кострома iconСочинение «Чем дорог мне мой город»
Золотое кольцо России. Колыбель царской семьи Романовых. Родина Снегурочки. Это всё – Кострома!
Кострома iconКраткий курс
Сборник заданий к типовому расчету по математической статистике: учебно-методическое пособие/ Л. А. Секованова, Т. А. Андревкина,...
Кострома iconПрограмма по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...
Отдел гражданско-патриотического воспитания гу ко цпвм «Методика музейной работы» Кострома, 2006, 44 с
Кострома iconНоменклатура органических соединений
Сборник заданий к типовому расчету по математической статистике: учебно-методическое пособие/ Л. А. Секованова, Т. А. Андревкина,...
Кострома iconПрограмма кружка «Юный собаковод»
Сборник заданий к типовому расчету по математической статистике: учебно-методическое пособие/ Л. А. Секованова, Т. А. Андревкина,...
Кострома iconПрограмма вступительного экзамена по химии
Сборник заданий к типовому расчету по математической статистике: учебно-методическое пособие/ Л. А. Секованова, Т. А. Андревкина,...
Кострома iconРабочая программа по предмету «алгебра» Класс 9 2011 2012 учебный...
Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №4
Кострома icon«Кинология – наука о воспитании служебных собак»
Сборник заданий к типовому расчету по математической статистике: учебно-методическое пособие/ Л. А. Секованова, Т. А. Андревкина,...


Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
100-bal.ru
Поиск