Учебно-методическое пособие для специальностей : 240136 Коксохимическое производство, 150401 Металлургия черных металлов





Скачать 226.38 Kb.
НазваниеУчебно-методическое пособие для специальностей : 240136 Коксохимическое производство, 150401 Металлургия черных металлов
страница1/3
Дата публикации30.07.2013
Размер226.38 Kb.
ТипКонспект
100-bal.ru > Математика > Конспект
  1   2   3


УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ЛИПЕЦКОЙ ОБЛАСТИ

Г(О)БОУ СПО «Липецкий металлургический колледж»



УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Для специальностей: 240136 Коксохимическое производство,
150401 Металлургия черных металлов


Утверждено научно-методическим советом ФГОУ СПО "Липецкий металлургический колледж" в качестве учебного пособия

Липецк, 2012

Конспект лекций для студентов

по дисциплине «Математика»

ОДОБРЕНО

Цикловой комиссией
математических и общих естественнонаучных дисциплин

Председатель:

_______________ /Болдырева Т.В./





Заместитель директора
по учебной работе:

_________________
/Высочкина Л. Т./


Автор:

Саргсян Г.В.

Рецензенты:

Учебно-методическое пособие составлено в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта.

Настоящее пособие является руководством к решению задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка и содержит теоретические сведения в краткой справочной форме в объеме, необходимом для понимания сути методов решения дифференциальных уравнений. Изучение дифференциальных уравнений имеет важнейшее значение в математической подготовке для студентов, обучающихся по специальностям 240136 и 150401. Объясняется это тем, что дифференциальные уравнения представляют собой математические модели самых разнообразных процессов и явлений, так как их решения позволяют описать эволюцию изучаемого процесса, характер происходящих с материальной системой изменений в зависимости от первоначального состояния системы.

Данное пособие рекомендуется студентам ССУЗов для самообразования , в нем даны 15 вариантов самостоятельных работ по данной теме. Пособие также может быть использовано преподавателями для проведения практических работ.

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее пособие посвящено важному разделу математики: обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка. Объясняется это тем, что дифференциальные уравнения представляют собой математические модели самых разнообразных процессов и явлений, так как их решения позволяют описать эволюцию изучаемого процесса, характер происходящих с материальной системой изменений в зависимости от первоначального состояния системы.

С выводом и применением дифференциальных уравнений к решению тех или иных прикладных задач студенты встречаются при изучении различных общеобразовательных и специальных курсов (физики, физхимии, теоретической механики, электротехники и др.). Предметом настоящего пособия является изучение аналитических методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Пособие имеет многоцелевое назначение. Оно объединяет в себе функции конспекта теоретического материала и руководства к решению задач и содержит всю информацию, достаточную для получения в конечном итоге практических навыков решения задач по рассмотренному разделу. Для удобства в пособие включен справочный материал.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Если производные от неизвестной функции, входящие в уравнение, берутся только по одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Уравнения, содержащие производные по нескольким независимым переменным, называются дифференциальными уравнениями в частных производных . В данном пособии будут рассматриваться только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядок наивысшей (старшей) производной, входящей в дифференциальное уравнение, определяет порядок дифференциального уравнения.

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка в самом общем виде записывается так:

, (1)

где неизвестная функция, x – независимая переменная,

- производные от неизвестной функции.

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

. (2)

Обычно обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано или в форме, разрешенной относительно производной

(3)

или в форме, содержащей дифференциалы

. (4)

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется  интегрированием  дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Отличительное свойство дифференциальных уравнений состоит в том, что при их интегрировании обычно получается бесчисленное множество решений. Для уравнения первого порядка это множество описывается одной произвольной постоянной. Чтобы выделить из бесконечного множества решений то, которое описывает именно данный процесс, необходимо задать дополнительную информацию, например, знать начальное состояние процесса. Такое дополнительное условие называется  начальным условием. Оно ставится так: требуется, чтобы при некотором начальном значении независимой переменной   искомая функция равнялась заданному числу

  или . (5)

Задача интегрирования дифференциального уравнения первого порядка совместно с начальным условием называется начальной задачей или задачей Коши.

Для дифференциальных уравнений первого порядка различают общее, частное и особое решения, а также общий, частный и особый интегралы.

Общим решением  дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной, называется такое семейство функций зависящих от x и произвольной постоянной C, что

1) при любом допустимом значении постоянной C функция является решением уравнения;

2) каково бы ни было начальное условие (5), можно подобрать такое значение постоянной , что решение  будет удовлетворять условию Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется решение, которое получается из общего при каком-либо конкретном значении произвольной постоянной , то есть функция вида .

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения можно определить как множество всех частных решений уравнения.

Особым решением дифференциального уравнения называется решение, которое не может быть получено из общего решения ни при одном частном значении произвольной постоянной.

Часто при интегрировании уравнения первого порядка не удается найти общее решение в явном виде, а получается конечное (не дифференциальное) соотношение вида

, (6)

содержащее решение y в неявной форме. Такое соотношение называется общим интегралом дифференциального уравнения. Частным интегралом называется соотношение, которое получается из общего интеграла при конкретном значении произвольной постоянной.

Геометрически общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка изображается семейством интегральных кривых на плоскости, зависящих от одного параметра C. Частному интегралу соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через начальную точку
2. Дифференциальные уравнения с разделенными

и разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение с разделенными переменными имеет вид

. (7)

В уравнении с разделенными переменными перед дифференциалом стоит функция только одной переменной x, а перед дифференциалом стоит функция переменной y. Такие уравнения можно почленно интегрировать. В результате получим



или

(8)

где

.

Конечное (не дифференциальное) соотношение (8) и является общим интегралом уравнения (7).

  Пример. Решить уравнение

Очевидно, это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, получим



Следовательно, общий интеграл уравнения будет



Дифференциальное уравнение вида

, (9)

в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, каждый из которых зависит только от одной переменной, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Уравнение (9) делением обеих частей на произведение функций  приводится к уравнению с разделенными переменными



общий интеграл которого



Пример. Решить равнение .

Разделяем переменные делением на выражение :

.

Интегрируем полученное уравнение с разделенными переменными



Тогда



Так как C1 - произвольная постоянная, принимая ее для упрощения полученного выражения в виде



представим общий интеграл уравнения в виде

3. Однородные дифференциальные уравнения

Если уравнение или не

меняется при замене x на kx, а y на ky, то оно называется однородным.

Однородное дифференциальное уравнение подстановкой



приводится к уравнению с разделенными переменными.

 Пример. Решить уравнение



Преобразуем уравнение к виду

.

Так как

, то исходное уравнение однородное.

Полагаем

и

Тогда уравнение примет вид

или

Разделив обе части уравнения на   приходим к уравнению с разделенными переменными



Интегрируя его, находим  



или



Возвращаясь к старой переменной, получим общий интеграл исходного уравнения в виде



4. Дифференциальные уравнения,

приводящиеся к однородным

Дифференциальное уравнение вида



 называется приводящимся к однородному. В частности, к этому классу относится уравнение вида

  (10)

Некоторые из коэффициентов (но не одновременно и ) могут быть равны нулю.

Следует различать два случая: 

1). Если определитель , то уравнение (10) приводится к однородному подстановкой

, (11)
где постоянные  и определяются из системы уравнений:



Действительно, учитывая, что следовательно, , и подставляя (11) в (10), получим однородное уравнение относительно новой функции

.

Полагая далее



приводим последнее уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. 

2) Если определитель

,

то уравнение (10) сразу приводится к уравнению с разделенными переменными заменой



 Пример. Решить уравнение

В этом уравнении Поэтому 

.   Полагая находим  и из системы

системы уравнений:



Следовательно, и формулы перехода от старых переменных к новым и обратно примут вид:



В результате уравнение приводится к однородному  



Полагая далее приходим к уравнению с разделяющимися переменными относительно функции t:



Возвращаясь к старой переменной, получим





5. Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

(12)

содержащее искомую функцию и ее производную в первой степени. Функции P(x) и Q(x) предполагаются непрерывными.

Если правая часть уравнения то уравнение (12) называется линейным однородным уравнением, в противном случае - линейным неоднородным.

Рассмотрим интегрирование этого уравнения методом вариации  про-извольной постоянной (методом Лагранжа). В соответствии с этим методом сначала ищется решение соответствующего линейного однородного уравнения: . Разделяя в нем переменные, получим его общее решение в виде

 

. (13)

Далее ищется общее решение исходного уравнения с ненулевой правой частью в виде (13), но произвольная постоянная в (13) заменяется неизвестной функцией:

. (14)

Подставляя (14) в (12), получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно варьируемой функции v(x), интегрируя которое, находим эту функцию.

В результате, общее решение уравнения (12) может быть представлено в виде

(15)

Формула (15) дает общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка в форме Коши.

  Пример. Решить задачу Коши для уравнения при начальном условии y(0)=1.

Находим сначала общее решение линейного однородного уравнения .

Оно имеет вид



Заменяем произвольную постоянную C в этом решении неизвестной функцией v(x):



Вычисляем производную



 и подставляя и в исходное уравнение, получим




Общее решение уравнения примет вид



Находим произвольную постоянную C из начального условия:

при

Следовательно, решение задачи Коши будет



Решение линейного дифференциального уравнения (12) может быть также получено, если искомую функцию представить в виде произведения двух произвольных функций (метод Бернулли [4]):

. (16)

Тогда (17)

Подставляя (16) и (17) в (12), получим

(18)

Функцию u(x) подбираем так, чтобы она была одним из решений уравнения

.

После разделения переменных получим

(19)

Тогда уравнение (18) примет вид

.

Следовательно,



Интегрируя это уравнение с разделенными переменными, находим функцию v:

  . (20)

Подставляя (19) и (20) в (16), получим общее решение уравнения (12) в виде (15).

6. Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

(21)

где

Уравнение Бернулли является нелинейным, но оно приводится к линейному следующим преобразованием:

1) Обе части уравнения умножаются на , тогда



2) Далее применяется подстановка



Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим

, следовательно,

В результате уравнение становится линейным относительно функции z:

. (22)

Уравнение (22) может быть решено методом вариации произвольной постоянной или методом Бернулли.

 Пример. Решить уравнение



Умножим обе части уравнения на

Положим и уравнение преобразуется в линейное:

  (23)

Находим сначала решение соответствующего линейного однородного уравнения





Решение неоднородного уравнения (1.23) отыскиваем в виде



тогда


После интегрирования получим



поэтому общее решение исходного уравнения будет иметь вид


  1   2   3

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Учебно-методическое пособие для специальностей : 240136 Коксохимическое производство, 150401 Металлургия черных металлов iconПриложение 1 к рабочей программе дисциплины «Наследственность в литых...
«Литейное производство черных и цветных металлов» направления подготовки 150400. 62 «Металлургия». Дисциплина реализуется на физико-технологическом...
Учебно-методическое пособие для специальностей : 240136 Коксохимическое производство, 150401 Металлургия черных металлов iconПриложение 1 к рабочей программе дисциплины «Наследственность в литых...
«Литейное производство черных и цветных металлов» направления подготовки 150400. 62 «Металлургия». Дисциплина реализуется на физико-технологическом...
Учебно-методическое пособие для специальностей : 240136 Коксохимическое производство, 150401 Металлургия черных металлов iconПриложение 1 к рабочей программе дисциплины «Проблемы металлургической...
«Литейное производство черных и цветных металлов» направления подготовки 150400. 62 «Металлургия». Дисциплина реализуется на физико-технологическом...
Учебно-методическое пособие для специальностей : 240136 Коксохимическое производство, 150401 Металлургия черных металлов iconУчебно-методическое пособие для студентов всех специальностей технического вуза
Краткий курс лекций по философии: Учебно-методическое пособие / А. С. Балакшин, А. А. Владимиров. – Н. Новгород: Изд-во фгоу впо...
Учебно-методическое пособие для специальностей : 240136 Коксохимическое производство, 150401 Металлургия черных металлов iconУчебно-методическое пособие для студентов специальностей «История»...
Шинаков Е. А., Поляков Г. П., Чубур А. А. Основы восточноевропейской археологии (учебно-методическое пособие). – Брянск, рио бгу,...
Учебно-методическое пособие для специальностей : 240136 Коксохимическое производство, 150401 Металлургия черных металлов iconУчебно-методическое пособие к самостоятельной работе Специальность 020208. 65 Биохимия
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов биологических и медико-биологических специальностей университетов
Учебно-методическое пособие для специальностей : 240136 Коксохимическое производство, 150401 Металлургия черных металлов iconУчебно-методическое пособие по курсу «Ксенобиохимия» составлено в...
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов биологических и медико-биологических специальностей университетов
Учебно-методическое пособие для специальностей : 240136 Коксохимическое производство, 150401 Металлургия черных металлов iconУчебно-методическое пособие для практических занятий Специальность 020208. 65 Биохимия
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов биологических и медико-биологических специальностей университетов
Учебно-методическое пособие для специальностей : 240136 Коксохимическое производство, 150401 Металлургия черных металлов iconУчебно-методическое пособие для практических занятий Специальность 020208. 65 Биохимия
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов биологических и медико-биологических специальностей университетов
Учебно-методическое пособие для специальностей : 240136 Коксохимическое производство, 150401 Металлургия черных металлов iconУчебно-методическое пособие для практических занятий Специальность 020208. 65 Биохимия
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов биологических и медико-биологических специальностей университетов
Учебно-методическое пособие для специальностей : 240136 Коксохимическое производство, 150401 Металлургия черных металлов iconУчебно-методическое пособие для практических занятий Специальность 020208. 65 Биохимия
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов биологических и медико-биологических специальностей университетов
Учебно-методическое пособие для специальностей : 240136 Коксохимическое производство, 150401 Металлургия черных металлов iconУчебно-методическое пособие предназначено для студентов специальностей...
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов специальностей 270102 «Промышленное и гражданское строительство», 270100...
Учебно-методическое пособие для специальностей : 240136 Коксохимическое производство, 150401 Металлургия черных металлов iconУчебно-методическое пособие для студентов специальностей: 080109...
Данное учебно-методическое пособие целостно воспроизводит современную теорию спора и содержит конспективное изложение учебного материала,...
Учебно-методическое пособие для специальностей : 240136 Коксохимическое производство, 150401 Металлургия черных металлов iconУчебно-методическое пособие Тольятти 2011 удк ббк ахметжанова Г....
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов магистров, обучающихся на педагогическом факультете тгу по направлению «Педагогика»....
Учебно-методическое пособие для специальностей : 240136 Коксохимическое производство, 150401 Металлургия черных металлов iconУчебно-методическое пособие к изучению немецкого языка для студентов...
Учебно-методическое пособие предназначено для работы со студентами заочного отделения факультета сервиса, специальностей «Сервис»,...
Учебно-методическое пособие для специальностей : 240136 Коксохимическое производство, 150401 Металлургия черных металлов iconУчебно-методическое пособие для студентов экономических специальностей
Печатается по рекомендации учебно-методического совета Института управления на транспорте мгу им адм. Г. И. Невельского


Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
100-bal.ru
Поиск