Как самостоятельно готовиться к сложным задачам егэ





Скачать 120.61 Kb.
НазваниеКак самостоятельно готовиться к сложным задачам егэ
Дата публикации17.06.2013
Размер120.61 Kb.
ТипЗадача
100-bal.ru > Математика > Задача
Как самостоятельно готовиться к сложным задачам ЕГЭ

В настоящее время написано немало пособий, преследующих одну и ту же цель: помочь школьнику научиться решать сложные экзаменационные задачи по математике. Данные книги имеют схожую структуру: сначала на одном или нескольких примерах демонстрируются подходы, применяемые к решению задач, а потом предлагаются задания для самостоятельного решения.

Очень хорошо, если, занимаясь по одному из таких пособий, вы достигаете желаемых результатов. Но как быть, если, несмотря на большие усилия с вашей стороны, дело не продвигается? В большинстве случаев это означает, что у вас пока что нет достаточно полного набора тех базовых знаний и умений, которые приходится применять при решении соответствующих сложных задач.

Давайте откажемся от попыток учиться решать сложные экзаменационные задачи, читая лишь пособия, в которых излагаются методы решения таких задач, и попытаемся достичь цели поэтапно, начиная с самых основ.

Первый этап – ознакомление с теоретическими фактами и их выводами.

Сначала знакомимся с теоретическими фактами (аксиомами, теоремами, формулами), используемыми при решении задач. А для того, чтобы данные факты со временем не забылись, давайте сразу приучать себя запоминать их вместе с выводами, то есть процессом мышления к этим фактам приводящим. К тому же необязательно помнить весь процесс мышления, достаточно наметить лишь этапные пункты, по которым должна идти наша мысль. В математике следует помнить не факты, а процесс мышления.

Второй этап – применение знаний в относительно несложных ситуациях.

Далее учимся применять полученные на предыдущем этапе теоретические знания при решении относительно несложных заданий, которые, впрочем, могут оказаться сложнее задач из обычного школьного учебника и потребовать немалых усилий.

Третий этап – изучение методов решения сложных задач.

Наконец переходим к решению относительно сложных (нестандартных) задач из сборников ЕГЭ (уровень С) или пособий по математике для поступающих в ВУЗ.

Продемонстрирую, как такой поэтапный подход применяется для подготовки к наиболее сложным заданиям ЕГЭ, а именно: заданиям С5 и С6.

Подготовка к заданию С6.

Задача С6 относится к разряду целочисленных. Она предполагает от выпускника хорошее понимание свойств делимости целых чисел и умение применять их на практике.

Но что такое свойства делимости целых чисел? К ним можно, в частности, отнести признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5 и 9, пройденные на уроках математики в пятом или шестом классах. Например, число делится на 9 (или 3) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 (или на 3). Но эти признаки являются следствием более фундаментальных утверждений, которые и ложатся в основу так называемой теории делимости. И с этими фундаментальными свойствами для начала нужно познакомиться и научиться применять их при решении несложных задач.

Для этого воспользуемся книгой
Сборник задач по алгебре: учебное пособие для 8-9 классов с углубленным изучением математики / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич

Откроем § 3. Делимость целых чисел.

В этом параграфе приведено восемь пунктов теоретических сведений, связанных со свойствами делимости целых чисел. А далее идут упражнения (3.1-3.140), сгруппированные по разделам так, что упражнения из одного раздела соответствуют одному или нескольким пунктам теории. Например, задания 3.1-3.15 соответствуют пункту 1.Определение и свойства делимости.

Изучаем один или сразу несколько пунктов. Пытаемся понять на конкретных примерах, что означают приведенные в них утверждения. Выводим эти утверждения. И, наконец, приступаем к решению упражнений, соответствующих данным теоретическим сведениям.

Например, прочитаем утверждение, приведенное в пункте 2.Теорема о делении с остатком:
«Для любого целого числа a и натурального числа b существует единственная пара чисел q и r таких, что a = bq + r , где a – целое, b – натуральное или нуль, причем r может принимать лишь b различных значений 0; 1; 2; …и b – 1».

Задумаемся, что это утверждение означает и как к нему можно прийти.

Вспомним, что результат деления некоторого целого числа на натуральное всегда задается двумя числами: частным и остатком (который будет равен нулю, если деление выполняется нацело). Например,

17 : 8 = 2 (ост. 1)

При этом справедливо правило: делимое равно произведению делителя и частного плюс остаток. То есть, для приведенного выше примера

17 = 8∙2 + 1.

Учитывая сказанное, можно сформулировать такое утверждение: «Результат деления произвольного целого числа a на натуральное число b можно однозначно задать парой чисел q и r (частным и остатком) таких, что a = bq + r, где q – целое, r – натуральное или нуль, причем остаток меньше делителя, то есть r < b». Но нетрудно увидеть, что данное утверждение и приведенное в пункте 2, есть по сути одно и то же, они отличаются лишь внешне.

Итак, разобравшись с сутью теоремы, посмотрим, как она применяется при решении задач. Для этого разберем решение задачи 3.28.

    1. Число a не делится ни на 2, ни на 3. Найдите остаток от деления числа a2 на 6.

Решение. Заметим, что число a можно представить в виде

a = 6n + r,

где n и r – это соответственно частное и остаток от деления a на 6, причем остаток r может принимать шесть значений 0; 1; 2; 3; 4; 5. Однако лишь при r = 1 и r = 5 условие задачи будет выполняться. Действительно,

если r = 0, то a = 6n = 2(3n) – значит, число a делится на 2;

если r = 1, то a = 6n + 1 = 2(3n) +1 = 3(2n) + 1 – значит, число a не делится ни на 2, ни на 3;

если r = 2, то a = 6n + 2 = 2(3n + 1) – значит, число a делится на 2;

если r = 3, то a = 6n + 3 = 3(2n + 1) – значит, число a делится на 3;

если r = 4, то a = 6n + 4 = 2(3n + 2) – значит, число a делится на 2;

если r = 5, то a = 6n + 5 = 2(3n + 2) +1 = 3(2n +1) + 2 – значит, число a не делится ни на 2, ни на 3

(к данным выводам можно было прийти и быстрее, если заметить, что числа a = 6n + r и r дают одинаковые остатки как при делении на 2, так и при делении на 3).

Теперь, записав выражение для квадрата числа a и выполнив некоторые преобразования

a2 = (6n + r)2 = 36n2 + 12nr + r2 = 6(6n2 + 2nr) + r2,

можно заметить, что a2 и r2 дают одинаковые остатки при делении на 6.

Если r = 1, то r2 = 1; если r = 5, то r2 = 25 = 4∙6 + 1.

В обоих случаях число a2 при делении на 6 дает остаток 1.

Имеет значение не столько количество решенных задач (можно ограничиться решением половины из приведенных ста сорока упражнений), сколько качество. Важно открыть для себя как можно больше идей и приемов, используемых при решении задач, и научиться их применять в разных ситуациях.

Другие книги, по которым можно познакомиться с теорией делимости и методами решения задач на целые числа:

● Алгебра. 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев. Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. – 11-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2011. (§ 5 Делимость чисел)

● Алгебра. Углубленный курс с решениями и указаниями (ЕГЭ, олимпиады, экзамены в вуз) / Золотарева Н.Д., Попов Ю.А. и др. – М.: Изд-во Московского Университета, 2011.

* * *

Потренировавшись в решении разнообразных несложных задач на делимость, можно приступать к изучению методов решения заданий С6 по соответствующим книгам. Воспользуемся книгой, в которой приводятся примеры решения данных заданий, но не будем решения этих примеров просто просматривать механически, а поступим следующим образом. Прочитав условие задачи, сначала подумаем, что можно было бы из него узнать. Проделаем соответствующие шаги. Если после этого ситуация прояснится, то выполним самостоятельно другие шаги. Если же увидим, что на определенном этапе ситуация зашла в тупик, то изучим по книге часть решения задачи и снова примемся размышлять самостоятельно.

Возможно, что решение какого-то задания С6 придется изучить полностью, ничего самостоятельно не сделав. Но может получиться и так, что после изучения части решения всё станет ясным и дело можно будет довести до конца уже своими силами. Так или иначе, но после разбора каждой задачи было бы неплохо решить аналогичную, взяв ее из числа предложенных для самостоятельного решения.

Вот некоторые из книг, по которым можно самостоятельно изучать методы решения задания С6:

● ЕГЭ. Математика. Задание С6 / А.В. Шевкин, Ю.О. Пукас. – М.: Издательство «Экзамен», 2011.

● Панферов В.С., Сергеев И.Н. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач; ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2010.

● Математика: учебное пособие (Сдаем ЕГЭ) / М.А. Ляшко, С.А. Ляшко, О.В. Муравина. – М.: Дрофа, 2011.

● Алгебра. Углубленный курс с решениями и указаниями (ЕГЭ, олимпиады, экзамены в вуз) / Золотарева Н.Д., Попов Ю.А. и др. – М.: Изд-во Московского Университета, 2011.

Подготовка к заданию С5.

Задание С5 – это задача с параметром.

Для того чтобы понять, что такое задача с параметром и что такое параметр, разберем конкретный пример.

Рассмотрим обычную задачу: решить уравнение 3х = 2. После деления обеих частей уравнения на 3 получим ответ: х = 2/3.

Теперь заменим коэффициент 3 при переменной х буквой а и решим уравнение ах = 2, предполагая, что буква а обозначает какое-то известное число. После деления обеих частей уравнения на а получим х = 2/а. Однако выполнять деление обеих частей уравнения на а можно лишь при а ≠ 0. Поэтому случай а = 0 придется рассмотреть отдельно: тогда уравнение принимает вид 0х = 2 и не имеет решений. Итак, уравнение не имеет решений при а = 0 и имеет решение х = 2/а при а ≠ 0.

Буква, обозначающая в математической задаче известное число (то есть, буква, значение которой предполагается заданным), называется параметром. Задача же в этом случае будет называться задачей с параметром.

Решение задачи с параметром, как правило, связано с грамотным перебором возможных значений параметра.

Пусть, например, требуется решить неравенство с параметром: (а – 2)х < –5. Решать линейные неравенства мы привыкли путем деления их обеих частей на коэффициент при переменной х, который в данном случае равен а – 2. Но, если этот коэффициент равен нулю, то делить на него обе части неравенства нельзя. Таким образом, придется рассмотреть два случая: а – 2 = 0 и а – 2 ≠ 0. Пусть теперь а – 2 ≠ 0. Тогда вспомним, что при делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется, а при делении на отрицательное число – меняется на противоположный. Значит, случай а – 2 ≠ 0 разбивается ещё на два: а – 2 > 0 и а – 2 < 0.

Итак, у нас получились три варианта возможных значений параметра. Для каждого из этих вариантов получим ответ.

1. а – 2 = 0, то есть, а = 2.

Тогда неравенство приобретает вид 0х < –5 и не имеет решений.

2. а – 2 > 0, то есть, а > 2.

Тогда после деления обеих частей неравенства на а – 2 получаем х < –5/(а – 2).

3. а – 2 < 0, то есть, а < 2.

Тогда после деления обеих частей неравенства на а – 2 получаем х > –5/(а – 2).

Окончательный ответ к задаче собирается из ответов, полученных при рассмотрении каждого из случаев. К каждому ответу обязательно указываются соответствующие ему значения параметра.

Ответ: если а = 2, то решений нет; если а > 2, то ; если а < 2, то .
* * *

Подготовку к заданию С5 следует вести в трех направлениях:

I. Изучение модуля.

II. Изучение методов решения типичных заданий с параметром.

III. Изучение методов решения экзаменационных (конкурсных) заданий с параметром

Под изучением модуля подразумевается овладение методами решения неравенств, уравнений, систем, а также методами построения графиков уравнений, в аналитической записи которых присутствует знак модуля. В условиях многих задач с параметром встречается модуль. И поэтому изучение методов решения заданий с модулем является необходимым элементом подготовки к задачам с параметром.

Типичные задания с параметром – это задания, решаемые в 8-9 классах школ с углубленным изучением математики. Они служат своего рода промежуточным этапом для овладения методами решения реальных экзаменационных заданий.

Экзаменационные (конкурсные) задания с параметром – это задания, характерные для ЕГЭ или вступительного экзамена по математике в ВУЗ. Решение экзаменационного задания заключается в сведение его к какому-либо типичному заданию с параметром (или нескольким таким заданиям). При этом сам процесс сведения к типичному заданию может быть связан с весьма нестандартными и неочевидными умозаключениями, что предполагает довольно высокий уровень подготовки и абстрактного мышления абитуриента.

* * *

Для изучения методов решения заданий с модулем и типичных заданий с параметром воспользуемся книгой
Алгебра. Нестандартные задачи. Экспресс-репетитор для подготовки к ГИА. 9-й кл. / Г.В. Сычёва, Н.Б. Гусева, В.А. Гусев. – М.: Астрель, 2010.

Соответствующий материал найдем в главах «Уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля» (с. 5-37) и «Уравнения, неравенства и системы с параметром» (с. 38-89).

Рекомендуется следующий порядок изучения материала. Сначала знакомимся с методом решения какого-либо вида заданий и пытаемся этот метод обосновать. Далее изучаем, как данный метод применяется при решении демонстрационных примеров, а затем уже самостоятельно этим методом решаем подходящие упражнения из раздела «Задания для самостоятельного решения». Сверяем собственное решение с приведенным в разделе «Решение заданий для самостоятельного решения». В случае ошибочности своего решения или его очевидной нерациональности сделаем вывод на будущее. Полезно также сначала решать самостоятельно хотя бы некоторые демонстрационные примеры, а потом уже смотреть в книге их решение.

Много дополнительных упражнений для всестороннего закрепления методов решения заданий с модулем и параметром можно найти в книге
Сборник задач по алгебре: учебное пособие для 8-9 классов с углубленным изучением математики / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич.

При помощи таблицы, приведенной на следующей странице, вы сможете быстро найти в этом сборнике подходящие упражнения на каждый тип заданий с параметром.

Другие книги, по которым можно познакомиться с методами решения заданий с модулем и параметром:

● Алгебра. 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев. Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. – 11-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2011.

Также аналогичный учебник для 9 класса.

● Готовимся к экзамену по математике: учебное пособие / В.С. Крамор. М.: ООО «Издательство Оникс», ООО «Издательство «Мир и Образование», 2006. – 544 с.

● Математика. ЕГЭ: сборник заданий: методическое пособие для подготовки к экзамену / Ю.А. Глазков, Т.А. Корешкова, В.В. Мирошин, Н.В. Шевелева. – 3-е изд., испр. – М.: Издательство «Экзамен», 2010.

● Сначала немного подумайте. Пособие по математике для абитуриентов / Е.В. Шикин, А.А Григорян, Г.Е. Шикина. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. (главы 6 и 7).


Тип задания

Номера упражнений

Определение количества решений уравнения с параметром.

9.18-9.21

9.39-9.45

Решение квадратного уравнения с параметром путем подбора его корней.

5.32-5.34

5.77

Решение уравнений с параметром, сводящихся к квадратному.

5.68

9.13

Соотношение между переменными. Разложение на множители.

5.35-5.36

8.5, 8.9-8.10

Дробно-рациональное уравнение с параметром.

5.60

Задачи на исследование линейного уравнения с параметром.

6.150-6.153

Системы линейных уравнений с параметром и задачи к ним сводящиеся.

9.101-9.107

Задачи на исследование систем линейных уравнений с параметром.

6.179-6.181

Системы нелинейных уравнений с параметром и задачи к ним сводящиеся.

9.119-9.120

9.195-9.215

Линейное неравенство с параметром.

6.143

6.200

Исследование системы линейных неравенств с параметром.

6.158-6.163

Простейшее исследование квадратного уравнения с параметром.

6.146-6.148

6.225-6.226

Задачи на расположение корней квадратного трехчлена на координатной прямой.

6.170-6.178

8.42-8.46

8.110

8.117-8.119

8.126

Задачи на расположение чисел, заданных в параметрической форме, на координатной прямой.

8.92-8.95

Исследование квадратного неравенства с параметром.

8.111-8.112

Решение квадратного или дробно-рационального неравенства с параметром.

8.113-8.115

Разные задачи на квадратное неравенство с параметром.

6.224, 6.230

8.56, 8.64-8.71

8.116, 8.120-8.125

Решение неравенства с параметром методом интервалов.

6.231

8.115

Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметром.

11.133

11.147



* * *

Заключительный этап подготовки – это изучение методов решения экзаменационных (конкурсных) заданий с параметром. Встречающиеся на ЕГЭ задания с параметром можно классифицировать в соответствии с методами (или идеями), применяемыми при их решении. Поэтому, изучив основательно эти методы по специальным книгам и решив достаточно большое количество соответствующих каждому из данных методов задач, можно с большой вероятностью рассчитывать на успех в решении задания С5 на экзамене.

Вот некоторые из книг, по которым можно самостоятельно изучать методы решения задания С5:

● Панферов В.С., Сергеев И.Н. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач; ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2010.

● Математика: учебное пособие (Сдаем ЕГЭ) / М.А. Ляшко, С.А. Ляшко, О.В. Муравина. – М.: Дрофа, 2011.

● Алгебра. Углубленный курс с решениями и указаниями (ЕГЭ, олимпиады, экзамены в вуз) / Золотарева Н.Д., Попов Ю.А. и др. – М.: Изд-во Московского Университета, 2011.

● Математика. ЕГЭ: сборник заданий: методическое пособие для подготовки к экзамену / Ю.А. Глазков, Т.А. Корешкова, В.В. Мирошин, Н.В. Шевелева. – 3-е изд., испр. – М.: Издательство «Экзамен», 2010.

● ЕГЭ 2011. Математика. Задача С5. / Козко А.И., Панферов В.С., Сергеев И.Н., Чирский В.Г. – М.: МЦНМО, 2010.

● Субханкулова С.А. Задачи с параметрами. – М.: ИЛЕКСА, 2010.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Как самостоятельно готовиться к сложным задачам егэ iconУрок в 11 классе
Цель: учить самостоятельно мыслить, уметь сопоставлять свою точку зрения с мнением критика, учителя, учащихся, готовиться к сочинению...
Как самостоятельно готовиться к сложным задачам егэ iconКак правильно готовиться к исповеди, каких ошибок не свершить, и как достигать покаяния?
Покаяние, по изначальному смыслу греческого слова, означает внутреннюю перемену
Как самостоятельно готовиться к сложным задачам егэ iconЗадачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета,...
Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам...
Как самостоятельно готовиться к сложным задачам егэ iconРеферат «Текстовые задачи»
В связи с этим было решено включить в итоговую аттестацию в форме Единого Государственного Экзамена (егэ) предмет математики, где...
Как самостоятельно готовиться к сложным задачам егэ iconИнструкция для выпускников XI (XII) классов общеобразовательных учреждений,...
Егэ может проводиться по русскому языку, математике, физике, химии, биологии, истории России, обществознанию, географии, литературе,...
Как самостоятельно готовиться к сложным задачам егэ iconУважаемые участники егэ, родители, учителя!
Егэ (например, вам предлагают купить «задания егэ» и даже «готовые ответы» егэ). Рособрнадзор предостерегает вас от обращений к услугам...
Как самостоятельно готовиться к сложным задачам егэ iconИнформация для участников егэ 2013 года о сроках, местах и порядке...
Егэ (например, вам предлагают купить «задания егэ» и даже «готовые ответы» егэ). Рособрнадзор предостерегает вас от обращений к услугам...
Как самостоятельно готовиться к сложным задачам егэ iconПрограмма по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...
Гиа, как и любого другого экзамена, можно бесконечно долго, но давайте будем относиться к ним как данности: мы ведь не можем отменить...
Как самостоятельно готовиться к сложным задачам егэ iconУрока: систематизировать сведения об основных видах тропов и их использование...
Умение находить средства художественной выразительности в тексте считается сложным заданием для наших выпускников. Поэтому практикуем...
Как самостоятельно готовиться к сложным задачам егэ iconПроектно-исследовательская деятельность как способ реализации и формирования гражданской позиции
Оведческого знания, наиболее широко представленная в егэ. Преподавание «Права» как самостоятельного отдельного предмета в классах...
Как самостоятельно готовиться к сложным задачам егэ iconПрограмма по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...
...
Как самостоятельно готовиться к сложным задачам егэ iconОтчет по результатам егэ-2009 (скачать)
Русский язык. Егэ 2012. Демонстрационный вариант Демо; Спецификация; Кодификатор; Изменения ким егэ 2012
Как самостоятельно готовиться к сложным задачам егэ iconУроки с образовательно-познавательной направленностью имеют и другие особенности
При этом уроки по своим задачам и направленности учебного материала могут планироваться как комплексные (с решением нескольких педагогических...
Как самостоятельно готовиться к сложным задачам егэ iconПрограмма по трудовому обучению по системе Л. В. Занкова Пояснительная записка
Труд, как вид человеческой деятельности представляется очень богатым и сложным процессом, в котором так или иначе участвуют основные...
Как самостоятельно готовиться к сложным задачам егэ iconБолезни вен. Это серьезно?!
Подобное отношение к собственному здоровью, как правило, ничего хорошего не приносит и в большинстве случаев оканчивается серьезным...
Как самостоятельно готовиться к сложным задачам егэ iconАпелляцией признается аргументированное письменное заявление
Егэ (например, вам предлагают купить «задания егэ» и даже «готовые ответы» егэ). Рособрнадзор предостерегает вас от обращений к услугам...


Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
100-bal.ru
Поиск