Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100. 68 «Математика» подготовки магистра





Скачать 119.25 Kb.
НазваниеПрограмма дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100. 68 «Математика» подготовки магистра
Дата публикации16.10.2013
Размер119.25 Kb.
ТипПрограмма дисциплины
100-bal.ru > Математика > Программа дисциплины



Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра





Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет математики

Программа дисциплины Дополнительные главы динамических систем


для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

 и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Автор программы:

Буфетов А.И., д. ф.-м. н., bufetov@mi.ras.ru

Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 201_ г.

Председатель С.М. Хорошкин

Утверждена УС факультета математики «___»_____________2013 г.

Ученый секретарь Ю.М. Бурман_____________________

Москва, 2012

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями универси­тета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки


Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к зна­ниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных асси­стентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.

Программа разработана в соответствии с:

  • ГОС ВПО;

  • Образовательной программой 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра;

  • Образовательной программой 010100.68 «Математика» подготовки магистра;

  • Рабочими учебными планами университета по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, специализации «Математика» и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации «Математика», «Алгебра», «Математическая физика», утвержденными в 2012 г.

2Цели освоения дисциплины


Целями освоения дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» является более глубокое знакомство с понятиями, результатами и подходами различных разделов теории динамических систем, в том числе получение базовых знаний по эргодической теории.

3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисцип­лины


В результате освоения дисциплины студент должен:

  • Знать основные понятия теории динамических систем (фазовое пространство, поток и каскад, инвариантная мера, теорема Пуанкаре о возвращении, эргодичность, перемешивание, энтропия, символическая модель)

  • Знать основные модельные примеры динамических систем (удвоение окружности, поворот окружности, подкова Смейла, аффинный автоморфизм Аносова двумерного тора, сдвиг в символическом пространстве)


В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:

Компетенция

Код по ФГОС/ НИУ

Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)

Формы и методы обучения, способствующие формиро­ванию и развитию компе­тенции

умение формулировать результат

ПК-3

Правильно воспроизводит чу­жие результаты, правильно фор­мулирует собственные ре­зультаты

Формируется в ходе про­слушивания лекций и по­следующего продумыва­ния изложенных результа­тов в ходе самостоятель­ной работы, подготовки к зачёту

умение грамотно пользоваться языком предметной области

ПК-7

Знает и свободно использует наименования основных поня­тий, результатов, модельных примеров, может при­вести соответствующие определения и формули­ровки

Формируется в ходе про­слушивания лекций и по­следующего продумыва­ния изложенных результа­тов в ходе самостоятель­ной работы, подготовке к зачёту

умение ориентироваться в постановках задач

ПК-8

Умеет дать математическую интерпретацию задач по дисци­плине, предложить подходы к их решению из числа обсуждавшихся на лекции

Формируется в ходе решения даваемых на лекциях задач для самостоятельного решения

выделение главных смы­словых аспектов в доказа­тельствах

ПК-16

Умеет выделить основные шаги в доказательствах основных ре­зультатов курса, указать их взаимосвязи, объяснить исходя из доказательства необходи­мость тех или иных условий в формулировках результатов

Формируется при изуче­нии лекционного курса и последующем самостоя­тельном продумывании доказательств и при ре­шении задач для самостоятельного решения.

4Место дисциплины в структуре образовательной программы


Для обучающихся по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, специа­лизации «Математика» настоящая дисциплина является дисциплиной по выбору.

Для обучающихся по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специа­лизации «Математика», «Алгебра», «Математическая физика» настоящая дисциплина является дисциплиной по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

  • Математический анализ

  • Динамические системы

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

  • уверенное использование базовых понятий математического анализа: предел, производ­ная, интеграл, равномерная и поточечная сходимость; знание их основных свойств; решение основных типов задач, связанных с этими объектами;

  • знакомство с понятием меры множества (на примере меры Лебега на прямой или в n-мерном пространстве)

  • знакомство с базовыми понятиями, относящимися к гладким динамическим системам (векторное поля на гладком многообразии, его поток)

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

  • Динамические системы и эргодическая теория

    НИС «Вокруг асимптотической теории представлений»

5Тематический план учебной дисциплины




Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лек­ции

Семи­нары

Практи­ческие занятия

1

Введение в эргодическую теорию

28

10





18

2

Энтропия динамических систем

24

8





16

3

Групповые действия

24

8





16

4

Спектральная теория

12

4





8




Итого часов:

90

32

0

0

58

6Формы контроля знаний студентов


Тип кон­троля

Форма кон­троля

1 год

Кафедра

Параметры

1

2

3

4

Текущий


Контрольная работа

8











Письменные работы,
90 минут

Промежу­точный

















не производится

Итого­вый

Зачёт




V








Письменная работа
90 минут



6.1Критерии оценки знаний, навыков



Текущий контроль проводится в форме письменной контрольной работы в конце 1-го модуля. При её написании разрешается пользование конспектами лекций и справочной литературой. Работа состоит из 4—5 задач, охватывающих все изученные к моменту контрольной темы курса. Оценка выставляется из расчёта 2,5 балла за каждую решённую задачу. При составлении варианта работы возможно указа­ние другого числа баллов за некоторые задачи. Дробные баллы округляются в пользу студента.

При решении задач контрольной работы студент должен продемонстрировать уверенное владение основными понятиями и теоремами курса, методами решения задач.
Промежуточный контроль по дисциплине не проводится.
Итоговый контроль — зачёт во 2-м модуле — проводится в форме письменной работы. При его написании разрешается пользование конспектами лекций и справочной литературой. Работа состоит из 8 задач и теоретических вопросов, охватываю­щих все темы курса. Каждое задание оценивается в 2 очка. Оценка за зачёт вычисляется по фор­муле Oзачёт = S – 3, где S —число очков за решённые задачи (дробные баллы округляются в пользу студента). Указанная оценка заменяется на 10 или 1 в случае, если величина Oзачёт оказывается, соответственно, больше 10 или меньше 1.

Для получения положительной оценки на экзамене студент должен продемонстрировать ус­воение основных понятий и теорем курса, хорошее знакомство с методами решения задач.

6.2Порядок формирования оценок по дисциплине


Оценка Oсам.работа за самостоятельную работу выставляется исходя из количества сданных студентом задач, предлагаемых на лекции для самостоятельного решения.

Порядок формирования оценки Отекцщий за текущий контроль (письменную контрольную работу) указан в разделе 6.1.

Накопленная оценка за работу в семестре вычисляется по формуле

Онакопленная= 0,3 Оаудиторная + 0,7 Отекцщий

Порядок формирования оценки за итоговый зачёт указан в разделе 5.1.
Результирующая оценка по дисциплине выставляется по формуле

Орезульт =0,7 Онакопленная + 0,3·Озачёт

Округление производится до ближайшего целого, 0,5 балла округляется вверх.
Результирующая оценка выставляется в диплом.
Студенту не предоставляется возможность повысить на зачёте накопленную оценку, за исключением того случая, когда накопленная оценка является неудовлетворительной. В этом случае студент может получить 1—2 задачи или теоретических вопроса для устной сдачи преподавателю. Накопленная оценка при этом не может быть поднята выше оценки «4».

7Содержание дисциплины


    Раздел 1. Введение в эргодическую теорию

    Общее число часов по разделу:

    лекции – 10 ч., самостоятельная работа — 18 ч.

    Литература по разделу: [1], [2] гл. 4, [3] гл. 2

    Тема 1. Динамические системы с инвариантной мерой. (3 ч. + 6 ч.)

    Тема 2. Эргодические теоремы Биркгофа—Хинчина и фон Неймана (4 ч. + 6 ч.)

    Тема 3. Эргодичность. Метод Хопфа. Автоморфизмы тора, потоки на гиперболических поверхностях (3 ч. + 6 ч.)

    Раздел 2. Энтропия динамических систем

    Общее число часов по разделу:

    лекции – 10 ч., самостоятельная работа — 18 ч.

    Литература по разделу: [1], [2] гл. 4, [3] гл. 3

    Тема 4. Топологическая энтропия. Энтропия в фундаментальной группе. Оценки энтропии через топологические данные. (4 ч. + 7 ч.)

    Тема 5. Метрическая энтропия. Проблема различения схем Бернулли. (4 ч. + 7 ч.)

    Тема 6. Вариационный принцип (2 ч. + 4 ч.)

    Раздел 3. Групповые действия

    Общее число часов по разделу:

    лекции – 6 ч., самостоятельная работа — 11 ч.

    Литература по разделу: [1], [3] гл. 5

    Тема 7. Эргодические действия групп. (4 ч. + 7 ч.)

    Тема 8. Лемма Маутнера. (2 ч. + 4 ч.)




    Раздел 4. Спектральная теория динамических систем

    Общее число часов по разделу:

    лекции – 6 ч., самостоятельная работа — 11 ч.

    Литература по разделу: [1], [3] гл. 4

    Тема 9. Введение. Действие динамической системы в пространстве L2. (2 ч. + 6 ч.)

    Тема 10. Спектральная теорема для унитарных операторов. (4 ч. + 5 ч.)

8Образовательные технологии


На лекциях даётся достаточно большое число задач разного уровня сложности. Некоторая часть времени лекций может отводиться под обсуждение решений этих задач.

8.1Методические рекомендации преподавателю


Рекомендуется проводить несколько раз в течение семестра в начале лекций и/или семинаров мини-контрольные работы (продолжительностью 10—15 мин.) на усвоение базовых понятий курса

8.2Методические указания студентам


нет

9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1Тематика заданий текущего контроля


Примерные вопросы заданий для письменной контрольной работы.

  1. Приведите пример эргодичного, но не строго эргодичного отображения.

  2. Докажите, что однородный поток на торе с направляющим вектором v эргодичен тогда и только тогда, когда его компоненты линейно независимы над Q.

9.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины


Примерный перечень вопросов к зачёту.


  1. Инвариантные меры динамических систем. Эргодичность

  2. Эргодическая теорема Биркгофа—Хинчина

  3. Эргодическая теорема фон Неймана

  4. Метод Хопфа. Автоморфизмы тора, потоки на гиперболических поверхностях

  5. Топологическая энтропия. Определение, примеры

  6. Энтропия в фундаментальной группе. Оценки энтропии через топологические данные

  7. Метрическая энтропия. Проблема различения схем Бернулли. Изоморфизм Мешалкина

  8. Вариационный принцип

  9. Эргодические действия групп

  10. Лемма Маутнера

  11. Действие динамической системы в пространстве L2

  12. Спектральная теорема для унитарных операторов



9.3Примеры заданий итогового контроля (зачёта)


  1. Пусть gt — однопараметрическая подгруппа SL(2, R) такая, что её замыкание не компактно. Докажите, что gt действует эргодично на факторе Г\SL(2, R) конечной меры, где Г — какая-то дискретная подгруппа.

  2. Приведите пример преобразования с бесконечной топологической энтропией.

  3. Найдите все инвариантные конечные борелевские меры северо-южного отображения окружности.

10Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

10.1Базовый учебник


[1] Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980

10.2Основная литература


[2] А.Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Изд-во «Факториал», 1999.

[3] Karl E. Petersen. Ergodic Theory. Cambridge university press, 1989

10.3Дополнительная литература


[4] T. Bedford, M. Keane and C. Series (eds.) Ergodic Theory and Symbolic Dynamics in Hyperbolic Spaces. Oxford Univ. Press 1991.

10.4Справочники, словари, энциклопедии


Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю.В. Прохоров. М.: Сов. энцик­лопе­дия, 1988.

Также рекомендуется использование онлайн-энциклопедии Wikipedia на английском и рус­ском языках (http://en.wikipedia.org, http://ru.wikipedia.org).

10.5Программные средства


не предусмотрены

10.6Дистанционная поддержка дисциплины


не предусмотрена

11Материально-техническое обеспечение дисциплины


не используется

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100. 68 «Математика» подготовки магистра iconПрограмма дисциплины История философии для направления 010100. 62 «Математика»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину для направления 010100. 62 “Математика” для подготовки студентов...
Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100. 68 «Математика» подготовки магистра iconПрограмма дисциплины Философия 1 для направления «Математика»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки бакалавра...
Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100. 68 «Математика» подготовки магистра iconПрограмма дисциплины «Динамические системы и эргодическая теория»...
Л. Я. Гайдаржийская; зав экспериментальным дошкольным учреждением №41 км. Вахтель
Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100. 68 «Математика» подготовки магистра iconРабочая программа для студентов направления 010100. 62 Математика....
Девятков А. П. Граничные свойства аналитических функций. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления...
Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100. 68 «Математика» подготовки магистра iconПрограмма дисциплины История и методология математики
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100. 68 «Математика»...
Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100. 68 «Математика» подготовки магистра iconПрограмма дисциплины История и методология математики
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100. 68 «Математика»...
Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100. 68 «Математика» подготовки магистра iconПрограмма дисциплины История и методология математики для направления...
...
Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100. 68 «Математика» подготовки магистра iconРабочая программа для студентов очной формы обучения, направления...
...
Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100. 68 «Математика» подготовки магистра iconПрограмма по формированию навыков безопасного поведения на дорогах...
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100. 62 «Математика»...
Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100. 68 «Математика» подготовки магистра iconУчебно-методический комплекс рабочая программа для студентов направления...
Рассмотрено на заседании умк института Математики и компьютерных наук «13» мая 2011 г протокол №2
Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100. 68 «Математика» подготовки магистра iconПрограмма дисциплины для направления 010400. 62 «Прикладная математика...
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления для направления...
Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100. 68 «Математика» подготовки магистра iconПрограмма дисциплины [Введите название дисциплины] для направления/...
Программа предназначена для студентов направления 032100. 62 «Востоковедение, африканистика» подготовки бакалавра, изучающих Материальную...
Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100. 68 «Математика» подготовки магистра iconПрограмма дисциплины [Введите название дисциплины] для направления/...
Программа предназначена для студентов направления 032100. 62 «Востоковедение, африканистика» подготовки бакалавра, изучающих Материальную...
Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100. 68 «Математика» подготовки магистра iconПрограмма дисциплины [Введите название дисциплины] для направления/...
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов для направления 010300. 62...
Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100. 68 «Математика» подготовки магистра iconПрограмма дисциплины [Введите название дисциплины] для направления/...
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 032100. 62 «Востоковедение,...
Программа дисциплины «Дополнительные главы динамических систем» для направления 010100. 62 «Математика» подготовки бакалавра и направления 010100. 68 «Математика» подготовки магистра iconПрограмма дисциплины [Введите название дисциплины] для направления/...
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 032100. 62 «Востоковедение,...


Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
100-bal.ru
Поиск