1. Название дисциплины: Теоретическая механика
2. Лекторы.
2.1. Д.ф.-м.н. профессор Жуковский Владимир Чеславович, кафедра теоретической физики физического факультета МГУ, zhukovsk@phys.msu.ru, +7(495)939–31–77.
2.2. Д.ф.-м.н. профессор Кузьменков Леонид Стефанович, кафедра теоретической физики физического факультета МГУ, lsk@phys.msu.ru, +7(495)939–31–77.
2.3. Д.ф.-м.н. профессор Халилов Владислав Рустемович, кафедра теоретической физики физического факультета МГУ, khalilov@phys.msu.ru, +7(495)939–31–77.
3. Аннотация дисциплины.
Курс лекций предназначен для подготовки специалистов по всем физическим специальностям, а также бакалавров и магистров физики. Курс, читаемый в 4 и 5 семестрах после раздела "Механика" общего курса физики, представляет собой основу для всего дальнейшего обучения студента-физика. В нем вводятся основные методы теоретического описания, расчета, качественного и количественного анализа динамических систем, общие для любых физических систем.
4. Цели освоения дисциплины.
Приобретение фундаментальных знаний об основах описания динамических систем на основе общих канонических методов и вариационных принципов, используемых во всех остальных разделах теоретической физики.
5. Задачи дисциплины.
Обучение методам решения и исследования конкретных физических задач с использованием всего арсенала высшей математики и математической физики.
6. Компетенции.
7.1. Компетенции, необходимые для освоения дисциплины.
ПК-1
7.2. Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины.
ПК-2
7. Требования к результатам освоения содержания дисциплины
В результате изучения курса студент должен знать основы теории, уметь применять ее к решению конкретных задач, владеть современными методами исследования динамических систем и иметь опыт самостоятельного их применения.
8. Содержание и структура дисциплины.
Вид работы
|
Семестр
|
Всего
|
1
|
2
|
3
|
Общая трудоёмкость, акад. часов
|
108
|
144
|
–
|
252
|
Аудиторная работа:
|
68
|
72
|
–
|
140
|
Лекции, акад. часов
|
34
|
36
|
–
|
70
|
Семинары, акад. часов
|
34
|
36
|
–
|
70
|
Лабораторные работы, акад. часов
|
–
|
–
|
–
|
–
|
Самостоятельная работа, акад. часов
|
40
|
72
|
–
|
112
|
Вид итогового контроля (зачёт, зачёт с оценкой, экзамен)
|
зач.
|
экз.
|
–
|
|
N
раз-
дела
|
Наименование
раздела
Разделы могут объединять несколько лекций
|
Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий
Распределение общей трудоёмкости по семестрам указано в рабочих планах (приложение 7)
|
Форма
текущего
контроля
|
Аудиторная работа
|
Самостоятельная работа
Содержание самостоятельной работы должно быть обеспечено, например, пособиями, интернет-ресурсами, домашними заданиями и т.п.
|
Лекции
|
Семинары
|
Лабораторные работы
|
1
|
Введение
|
3 часа.
Материальная точка как математическая модель частицы в классической физике. Физические величины и их преобразования относительно группы вращений трехмерного пространства.
|
4 часа.
Кинематика материальной точки. Получение выражений для кинематических величин в различных криволинейных координатах, их применение при решении задач. Секторная скорость. Решение задач.
|
|
Работа с лекционным материалом; выполнение домашнего задания.
|
ДЗ, КР, Об
|
2
|
Уравнения движения частиц
|
4 часа.
Законы Ньютона. Уравнения движения в нерелятивистской механике. Преобразования Галилея. Релятивистские уравнения движения. Преобразования Лоренца. Инвариантность и ковариантность уравнений движения при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
|
4 часа.
Формулировка лагранжева формализма. Системы со связями. Виды связей, уравнения связей, примеры. Построение функций Лагранжа класиических механических систем. Уравнения Лагранжа. Учет диссипаций в рамках лагранжева формализма. Обобщенная диссипативная сила. Решение задач.
|
|
Работа с лекционным материалом; выполнение домашнего задания.
|
ДЗ, КР, Об
|
3
|
Взаимодействия частиц
|
4 часа.
Взаимодействие с физическими полями (гравитационным, электромагнитным). Модельные представления о взаимодействиях частиц. Центральные силы. Функция Лагранжа и уравнения Лагранжа в нерелятивистской и релятивистской механике. Функция Лагранжа заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле. Движение частиц в полях. Диссипативные силы. Интегралы движения. Законы сохранения импульса, момента импульса, энергии частицы.
|
4 часа.
Метод интегралов движения для нахождения закона движения систем в лагранжевом формализме. Обобщенная энергия и обобщенный импульс, условия их сохранения. Решение задач.
|
|
Работа с лекционным материалом; выполнение домашнего задания.
|
ДЗ, КР, Об
|
4
|
Одномерное движение
|
4 часа.
Общие свойства одномерного движения. Общее решение в квадратурах. Фазовая плоскость. Периодическое движение, финитное и инфинитное движение Закон движения частицы и период нелинейных одномерных колебаний. Приближение линейных колебаний. Метод функций Грина. Циклотронный резонанс при нерелятивистских и релятивистских скоростях частиц.
|
4 часа.
Описание движения заряженных частиц в электромагнитном поле. Функция Лагранжа заряженной частицы. Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля. Различные калибровки потенциалов и неоднозначность в определении функции Лагранжа. Однородные и постоянные электрическое и магнитное поля. Решение задач.
|
|
Работа с лекционным материалом; выполнение домашнего задания.
|
ДЗ, КР, Об
|
5
|
Движение в центральном поле
|
5 часов.
Общее решение уравнений движения в центральном поле. Финитное движение под действием притяжения. Законы Кеплера. Инфинитное движение под действием силы притяжения и силы отталкивания.
|
4 часа.
Качественное исследование движения. Случай систем с одной степенью свободы. Финитное и инфинитное движение. Нахождение периода финитного движения частиц в различных потенциальных полях. Время задержки при прохождении частицей пространственной области с потенциальным полем. Решение задач.
|
|
Работа с лекционным материалом; выполнение домашнего задания.
|
ДЗ, КР, Об
|
6
|
Система двух взаимодействующих частиц
|
4 часа.
Общее решение задачи двух тел. Классификация орбит.
|
4 часа.
Описание движения в центрально-симметричном поле. Функция Лагранжа и закон движения в центральном поле в квадратурах. Классификация орбит. Финитное и инфинитное движение. Условие замкнутости траектории. Расчет углового смещения перигелия и афелия планет.
|
|
Работа с лекционным материалом; выполнение домашнего задания.
|
ДЗ, КР, Об
|
7
|
Рассеяние частиц
|
4 часа.
Преобразование координат, импульсов и угла рассеяния частиц от системы центра инерции к лабораторной системе. Эффективное сечение рассеяния. Рассеяние жестких сфер. Формула Резерфорда.
|
4 часа.
Задача Кеплера. Интегралы движения. Вектор Лапласа-Рунге-Ленца. Вывод уравнений траекторий движения в случае притягивающего и отталкивающего силового центра. Решение задач.
|
|
Работа с лекционным материалом; выполнение домашнего задания.
|
ДЗ, КР, Об
|
8
|
Системы многих взаимодействующих частиц
|
4 часа.
Функция Лагранжа и уравнения движения системы многих взаимодействующих частиц. Законы сохранения. Движение тела с переменной массой. Теорема о вириале.
|
5 часов.
Задача рассеяния. Дифференциальное сечение рассеяния и способы его расчета. Рассеяние заряженных частиц в кулоновском поле, формула Резерфорда. Решение задач на вычисление дифференциального сечения рассеяния.
|
|
Работа с лекционным материалом; выполнение домашнего задания.
|
ДЗ, КР, Об
|
9
|
Механика систем со связями
|
4 часа.
Уравнения Лагранжа с реакциями связей. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Вывод уравнений Лагранжа из уравнений Даламбера.
|
3 часа.
Падение частиц на силовой центр. Сечение захвата частиц силовым центром. Решение задач на вычисление сечения падения.
|
|
Работа с лекционным материалом; выполнение домашнего задания.
|
ДЗ, КР, Об
|
10
|
Динамика твердого тела
|
4 часа.
Функция Лагранжа твердого тела. Тензор инерции и его свойства. Приведение тензора инерции к главным осям. Уравнения Эйлера. Прецессия симметричного твердого тела в ньютоновском поле тяготения.
|
6 часов.
Описание движения твердого тела в рамках лагранжева формализма. Функция Лагранжа и закон движения твердого тела. Тензор инерции. Решение задач на вычисление компонент тензора инерции и нахождения закона движения твердого тела.
|
|
Работа с лекционным материалом; выполнение домашнего задания.
|
ДЗ, КР, Об
|
11
|
Движение относительно неинерциальных систем отсчета
|
4 часа.
Функция Лагранжа системы частиц в неинерциальной системе отсчета. Уравнения движения, силы инерции. Маятник Фуко. Теорема Лармора.
|
6 часов.
Малые колебания. Функция Лагранжа и закон движения колебательных систем. Собственные частоты и моды колебаний. Случаи кратных и нулевых частот. Свободные и вынужденные колебания. Решение задач на нахождение закона движения различных колебательных систем. Нормальные координаты. Приведение функции Лагранжа колебательных систем к нормальному виду.
|
|
Работа с лекционным материалом; выполнение домашнего задания.
|
ДЗ, КР, Об
|
12
|
Вариационные принципы
|
4 часа.
Принцип Гамильтона. Уравнения Лагранжа. Законы сохранения и свойства симметрии пространства и времени. Теорема Эмми Нётер.
|
6 часов.
Формулировка гамильтонова формализма. Функция Гамильтона, уравнения Гамильтона. Метод интегралов движения в рамках гамильтонова формализма. Решение задач на построение функций Гамильтона и нахождение закона движения различных физических систем. Скобки Пуассона. Фундаментальные скобки Пуассона.
|
|
Работа с лекционным материалом; выполнение домашнего задания.
|
ДЗ, КР, Об
|
13
|
Колебания систем с многими степенями свободы
|
6 часов.
Нормальные координаты и нормальные колебания. Колебания систем с многими степенями свободы при наличии диссипативных сил. Вынужденные колебания. Колебания молекул.
|
6 часов.
Метод канонических преобразований. Производящая функция канонического преобразования. Необходимое и достаточное условие каноничности преобразования канонических переменных. Решение задач на нахождение производящих функций различных канонических преобразований.
|
|
Работа с лекционным материалом; выполнение домашнего задания.
|
ДЗ, КР, Об
|
14
|
Канонические методы. Метод Гамильтона-Якоби.
|
8 часов.
Канонические уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона. Канонические преобразования и их производящие функции. Теорема Лиувилля. Уравнение Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби. Разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. Переменные "действие-угол". Адиабатические инварианты.
|
6 часов.
Метод Гамильтона-Якоби. Нахождение интегралов движения и закона движения различных систем методом Гамильтона-Якоби.
|
|
Работа с лекционным материалом; выполнение домашнего задания.
|
ДЗ, КР, Об
|
15
|
Основы механики сплошных сред
|
8 часов.
Система многих взаимодействующих частиц как континуум. Физически бесконечно малый объем. Уравнения баланса числа частиц, импульса и энергии системы многих частиц. Системы с короткодействующим потенциалом взаимодействия. Гравитирующие и кулоновские системы. Уравнение Навье-Стокса. Уравнение состояния. Замкнутая система уравнений гидродинамики. Закон Фурье для плотности потока тепла. Идеальная жидкость. Уравнение Эйлера. Уравнение Бернулли. Потенциальное течение жидкости. Интеграл Коши. Несжимаемая жидкость. Звуковые волны. Ударные волны в идеальном газе. Вязкая жидкость. Закон подобия. Число Рейнольдса. Магнитная гидродинамика. Уравнения движения упругой среды. Продольные и поперечные волны в среде.
|
4 часа.
Переменные «действие-угол». Решение задач на построение переменных «действия» и нахождение собственных частот систем при использовании переменных «действие-угол». Описание эволюции систем с медленно меняющимися параметрами. Адиабатические инварианты. Решение задач на использование адиабатических инвариантов.
|
|
Работа с лекционным материалом; выполнение домашнего задания.
|
ДЗ, КР, Об
|
Предусмотрены следующие формы текущего контроля успеваемости.
1. Защита лабораторной работы (ЛР);
2. Расчетно-графическое задание (РГЗ);
3. Домашнее задание (ДЗ);
|
4. Реферат (Р);
5. Эссе (Э);
6. Коллоквиум (К);
|
7. Рубежный контроль (РК);
8. Тестирование (Т);
9. Проект (П);
|
10. Контрольная работа (КР);
11. Деловая игра (ДИ);
12. Опрос (Оп);
|
15. Рейтинговая система (РС);
16. Обсуждение (Об).
|
9. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Обязательная дисциплина.
Базовая часть, профессиональный блок, модуль «Теоретическая физика».
Курс дает введение в методы аналитического описания движения частиц и систем частиц. Данные методы в той или иной степени обобщаются и используются во всех теоретико-полевых моделях, включая гидро- и электродинамику. Знание гамильтонова формализма также является ключевым для понимания основ квантовой теории.
Механика, математический анализ, дифференциальные уравнения.
Квантовая теория, механика сплошных сред.
10. Образовательные технологии
11. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации
Образец домашнего задания:
Частица массой m и зарядом e движется по поверхности конуса с углом раствора  в однородных и постоянных поле тяготения  и магнитном поле  , направленных вдоль оси конуса. Построить функцию Лагранжа частицы и методом интегралов движения найти закон движения в квадратурах.
Составить функцию Лагpанжа частицы с зарядом e и массой m, движущейся в полости гладкой трубки исчезающе малого сечения, изогнутой в форме окружности радиуса R. Трубка вращается с постоянной угловой скоростью вокруг диаметра окружности. Вдоль оси вращения действуют однородные и постоянные поле тяжести  и магнитное поле  . Методом интегралов движения найти закон движения в квадратурах.
Частица массы m и зарядом e движется в магнитном поле и поле тяжести по поверхности параболоида  . Записать функцию Лагранжа частицы в цилиндрических координатах и найти закон движения в квадратурах (a – некоторая постоянная).
Образец варианта задания по контролю усвоения теоретического материала:
Запишите выражение, определяющее обобщенную энергию. Укажите условия, при выполнении которых она является интегралом движения.
Запишите функцию Лагранжа одномерного гармонического осциллятора. Как выглядит уравнение Лагранжа? Постройте выражение для обобщенного импульса. Сохраняется ли он? Почему?
Запишите функцию Лагранжа релятивистской частицы, движущейся в некотором центральном поле в полярных координатах плоскости Лапласа.
Запишите функцию Гамильтона двумерной свободной частицы. Является ли сама функция Гамильтона интегралом движения? Почему?
Запишите уравнение Гамильтона-Якоби нерелятивистской одномерной частицы, движущейся в однородном поле тяготения . Найдите полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби.
12. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
Основная литература:
1. Г. Голдстейн «Классическая механика» (2012, Москва, УРСС)
2. Ф. Гантмахер «Лекции по аналитической механике» (2005, Москва, Физматлит)
3. Ю. Г. Павленко «Лекции по теоретической механике» (2002, Москва, Физматлит)
4. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика» (2001, Москва, Физматлит)
5. И.И. Ольховский «Курс теоретической механики для физиков» (1978, Москва, Изд-во Моск.Универ-та)
6. В.В. Петкевич «Теоретическая механика» (1981, Москва, Наука)
Дополнительная литература:
1. В. И. Арнольд «Математические методы классической механики» (2003, Москва, УРСС)
Интернет-ресурсы:
1. www.arXiv.org.
Программное обеспечение современных информационных компьютерных технологий:
1. Wolfram Mathematica, версия 7.
13. Материально-техническое обеспечение
В соответствии с требованиями п.5.3. образовательного стандарта МГУ по направлению подготовки «Физика».
Мел, доска, цифровой проектор.
Стр. из
|
