Итак, обратимся к словарям. СИММЕТРИЯ (от греческого symmetria - соразмерность), в широком смысле - инвариантность (неизменность) структуры, свойств, формы (например, в геометрии, кристаллографии) материального объекта относительно его преобразований (т. е. изменений ряда физических условий)1. Симметрия лежит в основе сохранения законов. СИММЕТРИЯ, симметрии, (мн. нет, ж. (греч. symmetria) - пропорциональность, соразмерность в расположении частей целого в пространстве, полное соответствие (по расположению, величине) одной половины целого другой половине. Симметрия в планировке зданий на площади. Соблюдать симметрию2. Симметрия (ж. род) - соразмерное, пропорциональное расположение частей чего-л. по отношению к центру, середине.3 СИММЕТРИЯ (ж. греч) - соразмер, соразмерность, равно (или разно) подобие, равномерие, равнообразие, соответствие, сходность; одинаковость, либо соразмерное подобие расположенья частей целого, двух половин; сообразие, сообразность; противоравенство, противоподобие. Симметрическое расположенье дома, фасада, равнообразное на обе половины. Полная симметрия докучает, а изящное разнообразие красит и тешит вкус.4 Симметрия - см. согласие, соответствие5.
2. Симметрия в геометрии
Перейдем к знакомству с научными строго математическими понятиями, относящимися к симметрии.
2.1 Осевая симметрия
Определение. Осевая симметрия – это отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1, что отрезок ММ1 перпендикулярен прямой а (оси симметрии) и отрезок МР равен отрезку РМ1. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе6.
Рис. 5
Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией7.
 
Рис. 6 Рис.7
Приведём примеры геометрических фигур, обладающие осевой симметрией.
У неразвёрнутого угла одна ось симметрии - прямая, на которой расположена биссектриса угла. Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии, а равносторонний треугольник - три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две оси симметрии, а квадрат - четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много - любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии (Приложение 1).
2.2. Центральная симметрия
Определение. Центральная симметрия – это отображение плоскости на себя , при котором каждая точка М отображается в такую точку М1,что отрезок ОМ равен отрезку ОМ 1 (точка О - центр симметрии). Точка О считается симметричной самой себе8.
Рис. 8
Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией9.
 
Рис. 9 Рис. 10
Приведём примеры фигур, обладающие центральной симметрией.
Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма - точка пересечения его диагоналей. О симметрии графиков функций уместно говорить, когда функция является четной или нечетной. (Приложение 2)
2.3. Зеркальная симметрия
Зеркальная симметрия хорошо знакома каждому из повседневного наблюдения. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает некоторый предмет и его изображение в плоском зеркале.
В пространстве аналогом оси симметрии является плоскость симметрии.
Определение. Зеркальная симметрия – это отображение пространства на себя относительно плоскости. Название это оправдано тем, что обе части фигуры, находящиеся по разные стороны от плоскости симметрии, похожи на некоторый объект и его отражение в зеркале.
Фигура (или тело) зеркально симметрично, если существует плоскость, которая делит фигуру (или тело) на две симметричные части.
Обычно считают, что наблюдаемый в зеркале двойник является точной копией самого объекта. В действительности это не совсем так. Важно отметить, что два симметричных друг другу тела, вообще говоря, не могут быть «вложены друг в друга»; иначе, одно из таких тел не может занять место другого. Так, перчатка с одной руки не годится для другой.
«Что может быть больше похоже на мою руку или мое ухо, чем их собственное отражение в зеркале? И все же руку, которую я вижу в зеркале «нельзя поставить на место настоящей руки…» (Иммануил Кант).
Зеркало не просто копирует объект, а меняет местами (переставляет) передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. В сравнении с самим объектом его зеркальный двойник оказывается "вывернутым" вдоль направления перпендикулярного к плоскости зеркала.
Рис. 11
2.4. Поворот
Определение. Поворот плоскости вокруг точки О на угол α - это отображение плоскости на себя , при котором каждая точка М отображается в такую точку М1 , что ОМ=ОМ1, < МОМ1=α.
Рис. 12
Говорят, что объект обладает поворотной симметрией, если он совмещается сам с собой при повороте на угол 360˚/n, где n – натуральное число. Центр симметрии называют осью вращения n-го порядка.
В дальнейшем чаще всего мы будем иметь дело с тремя типами элементов симметрии: плоскость, оси, и центр. Для полноты картины следует, однако упомянуть и еще об одном типе элементов симметрии, а именно о так называемых «сложных» или «инверсионных» осях сейчас нам важно отметить что и центр и плоскость симметрии могут рассматриваться как частные случаи инверсионных осей. Центр симметрии является инверсионной осью первого порядка, а плоскость - инверсионной осью 2-го порядка.
Итак, мы познакомились с исчерпывающим перечнем элементов конечной симметрии. В нашем распоряжении имеется полный набор разных элементов симметрии для конечных фигур. Для полной характеристики таких фигур необходимо учитывать совокупности всех элементов симметрии, присутствующих на данном объекте.
3. Симметрия в живой природе
3.1. Симметрия в растительном мире
Совершенно иной характер носит связь математики с красотой в природе, где с помощью математики красота не создается, как в технике и в искусстве, а лишь фиксируя, выражается. Из прямого наблюдения мы можем вывести законы геометрии и почувствовать их несравненное совершенство.
В 5 веке до н. э. на явление симметрии в живой природе обратили внимание в Древней Греции пифагорейцы, в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 веке появлялись отдельные работы, касающиеся этой темы. А в 1961 году, как результат многовековых исследований, посвященных поиску красоты и гармонии окружающей нас природы, появилась наука биосимметрика.
У биологических объектов встречаются следующие типы симметрии:
осевая симметрия;
сферическая симметрия — симметричность относительно вращений в трёхмерном пространстве на произвольные углы;
симметрия n-порядка — симметричность относительно поворотов на угол 360°/n вокруг какой-либо оси;
двусторонняя (билатеральная, или зеркальная) симметрия — симметричность относительно зеркального отражения;
трансляционная симметрия — симметричность относительно сдвигов пространства в каком-либо направлении на некоторое расстояние.
В своей книге «Этот правый левый мир» М. Гарднер пишет: «На Земле жизнь зародилась в сферически симметричных формах, а потом стала развиваться по двум главным линиям: образовался мир растений, обладающих симметрией конуса, и мир животных с билатеральной симметрией». Термин «билатеральная симметрия» часто применяется в биологии. При этом имеется в виду зеркальная симметрия. Характерная для растений симметрия конуса хорошо видна на примере фактически любого дерева. Дерево при помощи корневой системы поглощает влагу и питательные вещества из почвы, то есть снизу, а остальные жизненно важные функции выполняются кроной, то есть наверху. В то же время направления в плоскости, перпендикулярной к вертикали, для дерева фактически неразличимы; по всем этим направлениям к дереву в равной мере поступает воздух, свет, влага. Дерево имеет вертикальную поворотную ось (ось конуса) и вертикальные плоскости симметрии. Отметим, что вертикальная ориентация оси конуса, характеризующего симметрию дерева, определяется направлением силы тяжести. Дерево при помощи корневой системы поглощает влагу и питательные вещества из почвы, т.е. снизу, а остальные жизненно важные функции выполняется кроной, т.е. наверху. Вертикальная ориентация оси корпуса характеризует симметрию дерева. Нарушение некоторых из условий определяющих симметрию дерева как симметрию конуса, приводит к искривлению стволов и однобоко развитой кроны дерева.
Ярко выраженной симметрией обладают листья, ветви, цветы, плоды. Зеркальная симметрия характерна для листьев, но встречается и у цветов. Для цветов также характерна поворотная симметрия. Часто поворотная симметрия сочетается с зеркальной или переносной.
В многообразном мире цветов встречаются поворотные оси разных порядков. Однако наиболее распространена поворотная симметрия 5-го порядка. Эта симметрия встречается у многих полевых цветов (колокольчик, незабудка, герань, гвоздика, зверобой, лапчатка), у цветов плодовых деревьев (вишня, яблоня, груша, мандарин и др.), у цветов плодово-ягодных растений (земляника, малина, калина, черемуха, рябина, боярышник).
Винтовая симметрия наблюдается в расположении листьев на стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются во все стороны и не заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений. Это интересное ботаническое явление носит название филлотаксиса (буквально «устроение листа»).
Другим проявлением филлотаксиса оказывается устройство соцветия подсолнечника или чешуи еловой шишки, в которой чешуйки располагаются в виде спиралей и винтовых линий. Такое расположение особенно четко видно у ананаса, имеющего более или менее шестиугольные ячейки, которые образуют ряды, идущие в различных направлениях.
В природе встречается взаимное расположение лепестков разных видов: зеркально равные, совместимо и зеркально равные, совместимо равные. Расположение лепестков относительно закономерно друг друга может быть: симметричным, хаотичным, асимметричным.
Переносная (трансляционная) симметрия. О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние кратное этой величине, она совмещается сама с собой. Веточка акации имеет зеркальную и переносную симметрию, а веточка боярышника обладает скользящей осью симметрии, с последующим зеркальным отражением. А цветок одуванчика обладает симметрией шара (сферической симметрией).
Центральную симметрию можно наблюдать на изображении следующих цветов: лук, цветок одуванчика, цветок кувшинки, цветок мать и мачехи. Цветок ромашки обладает центральной симметрией, только в случае четного количества лепестков. Её сердцевина представляет собой окружность, и поэтому центрально симметрична, так как мы знаем, что окружность имеет центр симметрии. В случае же нечетного количества лепестков, например анютины глазки, цветок обладает только осевой симметрией. Барвинок обладает поворотной симметрией пятого порядка и не обладает зеркальной симметрией.
Рассмотрим разрез любой из ягод. В поперечном разрезе она представляет собой окружность, а окружность, как нам известно, имеет центр симметрии. В продольном разрезе, например, ягода клубники обладает осевой симметрией. Поперечный разрез фруктов обладает центральной симметрией. Гриб в продольном разрезе обладает осевой симметрией, а шляпка гриба – центральной симметрией.
Таким образом, по нашим наблюдениям, в любом растении можно найти какую-то его часть, обладающую тем или иным видом симметрии.
Симметрия – общее свойство объектов окружающего мира, асимметрия же отражает индивидуальные свойства объектов.
3.2. Симметрия в мире животных
Эрнст Геккель (1834 - 1919) - немецкий естествоиспытатель, основоположник филогенетического направления дарвинизма. Основные его научные работы посвящены филогенезу (историческому развитию) растений и животных, зоологии беспозвоночных. Эрнст Геккель проводил свои зоологические исследования в лаборатории и в ходе экспедиций на остров Мадейра, на Цейлон, в Египет и Алжир. Он опубликовал монографии по радиоляриям, глубоководным медузам, сифонофорам, глубоководным рыбам-удильщикам и другим обитателям подводного мира. Умение рисовать помогло Геккелю в его работе по систематизации морских простейших. Рассматривая эти существа с помощью микроскопа, Геккель одновременно рисовал их внешний вид и строение. Первые организмы на Земле, плавающие в толще воды одноклеточные, имели максимально возможную симметрию – шаровую, они появились примерно 3.5 млрд. лет назад (например, радиолярии). Геккель описал новые виды, обитающие в индийском океане, настоящий размер радиолярии – менее миллиметра. Пораженный открывшейся ему красотой живых форм, он создал альбом под названием «Красота форм в природе». На рисунках можно увидеть плоскости и центры симметрии. Эти рисунки хорошо иллюстрируют многовековую идею о том, что красота и строение живых организмов непосредственно связаны с симметрией.
Следующий представитель простейших - пресноводная гидра. Тело достигает 1 - 1,5см. Ловчие щупальца короче тела. Гидру можно обнаружить на водной растительности. Для этого необходимо выловить водоросли и оставить их на некоторое время в банке с водой, чтобы гидра расправилась. На расправившейся гидре можно увидеть тело, щупальца, окружающие ротовое отверстие, подошву. Питается гидра, захватывая своими щупальцами мелких животных. Гидру относят к многоклеточным животным, так как её тело образовано большим количеством клеток. Биологи подтверждают, что через тело гидры можно провести несколько плоскостей симметрии. Такой тип симметрии тела животного в биологии называется лучевой. Лучевая симметрия способствует тому, что животное может ловить добычу и чувствовать приближение опасности с любой стороны. Именно поэтому животные, ведущие малоподвижный образ жизни, внешне похожи на зонтики, шары и цветки растений.
Для представителей подводного мира характерна центральная (поворотная) симметрия. Так, например, медуза обладает лучевой (центральной симметрией). Морская звезда, звездообразные или пятиугольные иглокожие. Их величина колеблется от 2 см до 1 м, хотя большинство имеют размеры 12—24 см. Многие виды ярко окрашены. Обнаружив двустворчатого моллюска, морская звезда обхватывает его раковину руками, присасывается к ней своими ножками и за счет мышечного напряжения раздвигает створки, для принятия пищи. Ось симметрии этих животных показывает направление силы тяжести. Морская звезда обладает поворотной симметрией пятого порядка.
Радиальная симметрия — форма симметрии, сохраняющаяся при вращении объекта вокруг определённой точки или прямой. Часто эта точка совпадает с центром тяжести объекта, то есть той точкой, в которой пересекается бесконечное количество осей симметрии. Подобными объектами могут быть круг, шар, цилиндр или конус. Тело морских ежей обычно почти сферическое, размером от 2—3 до 30 см; покрыто рядами известковых пластинок. Пластинки, как правило, соединены неподвижно и образуют плотный панцирь (скорлупу), не позволяющий ежу изменять форму. По форме тела (и некоторым иным признакам) морские ежи подразделяются на правильных и неправильных. У правильных ежей форма тела почти круглая, и построены они по строго радиальной пятилучевой симметрии. У неправильных ежей форма тела уплощённая, и у них различимы передний и задний концы тела.
Симметрия в животном мире диктуется условиями жизни. Это хорошо видно на примере рыбы камбалы. У камбалы, как и у других рыб, имеется вертикальная плоскость симметрии. Взрослая камбала лежит на дне. Ее глаза, рот, плавники переползают на одну сторону, и ее плоскость симметрии поворачивается на 90º. Камбала приобретает симметрию тела вращения, т.е. поворотную центральную симметрию.
Животные, которые способны передвигаться в каком-то избранном направлении, приобрели двустороннюю симметрию тела (осевую). На ее появление оказало влияние направление движения животного и направление силы тяжести. Однако, большинство животных нашей планеты, например, майский жук, речной рак, слон, имеют одинаковые парные органы на левой и на правой сторонах тела. Такие животные появились значительно позже кишечнополостных в процессе исторического развития. Через их тело можно мысленно провести только одну плоскость, делящую их на две зеркально одинаковые половины. Такая симметрия тела называется двусторонней. Она характерна для всех активно передвигающихся животных. Напомним, что двусторонняя (билатеральная) симметрия — симметричность относительно зеркального отражения. Асимметризация по оси «перед–зад» происходила при взаимодействии с пространственным полем, когда понадобилось быстрое движение (спастись от хищника, догнать жертву). В результате, в передней части тела оказались главные рецепторы и мозг. Билатерально симметричные организмы господствуют последние 650–800 млн. лет. Это ракообразные, рыбы, все прогрессивные формы: млекопитающие, птицы, насекомые. В этих направлениях животное устремляется за пищей или спасается от опасности. По нашим наблюдениям, осевая симметрия присуща большому количеству видов животных. Еж, сова, божья коровка, бабочка, паук и другие животные обладают осевой симметрией. Например, у бабочки симметрия проявляется с математической строгостью. Такая симметрия способствует поступательному движению живого организма. Почему же в природе царит симметрия? Чем обусловлена эта упорядоченность, пропорциональность?
По данным науки, первые многоклеточные животные появились в воде; они произошли от колониальных простейших – жгутиковых, похожих на вольвокс, и располагались в толще воды во взвешенном состоянии, и любое перемещение для них было безразлично. Поэтому первые многоклеточные имели форму шара. По мере развития и усложнения организмов под действием силы тяжести они стали различать «верх» и «низ» и потеряли симметрию шара. Животные, ведущие прикреплённый образ жизни, такие, как гидра, приобрели симметрию, которая способствует ловле добычи и защиты от врагов, появляющихся с любой стороны. Ось симметрии этих животных показывает направление силы тяжести. Те животные, которые способны были передвигаться в каком- то избранном направлении, приобрели двустороннюю симметрию тела. На её появление важное влияние оказало как направление силы тяжести, так и направление движения животного. Для двустороннесимметричных видов характерно наличие двух примерно одинаковых частей тела, что помогает им сохранять равновесие, прямолинейно передвигаться, быстрее находить пищу и т. д.
Владимир Николаевич Беклемишев советский зоолог, действительный член АМН СССР выделил три типа симметрии (шаровая, радиальная, билатеральная) расположив их в эволюционный ряд. Считая полностью асимметричную амёбу более примитивным существом, чем одноклеточные организмы шаровой симметрии (радиолярии), он поместил её в начало ряда. Билатерально симметричные организмы считались “венцом” эволюции.
Заключение
"...быть прекрасным значит быть
симметричным и соразмерным."
Платон
(древнегреческий философ, 428–348гг.до н.э.)
На симметрии держится мир, так как общие законы природы, характеризующие движение материи, связаны с симметрией пространства и времени. Когда мы видим проявление симметрии в форме тел живой и неживой природы, невольно испытываем чувство удовлетворения тем всеобщим порядком, который царит в природе.
Проведя наше исследование, мы выяснили, что симметрия принадлежит к числу широко и повсеместно распространенных явлений. Симметрия проникла в животный и растительный мир, стала там полновластной хозяйкой. Ее всеобщность служит эффективным инструментом познания природы. Симметрия в природе – следствие необходимости сохранять устойчивость.
Несмотря на всеобщий характер симметрии окружающего нас мира, в природе мы практически не встречаем примеров математически безукоризненной симметрии. Более того, кроме симметричных объектов в живой природе достаточно большое количество асимметричных организмов.
Например, нетрудно указать плоскость, относительно которой человеческое тело можно считать симметричным. Но столь же легко всегда указать и отклонение от полной симметрии. Именно эти небольшие отклонения от нее – родинка, волосы, расчесанные на косой пробор, или какая-нибудь деталь в одежде, нарушающая симметрию – и придают каждому человеку характерные только для него черты.
Таким образом, симметрия – общее свойство объектов окружающего мира, асимметрия же отражает индивидуальные свойства объектов.
Существующий вокруг нас мир тем и прекрасен, что он отражает единство симметрии и асимметрии, следовательно, симметрия и асимметрия должны рассматриваться совокупно в едином подходе.
«Симметрия и асимметрия есть одна из форм проявления общего закона диалектики – единства и борьбы противоположностей. Чем больше мы постигаем симметрию природы, тем шире проявляется асимметрия» (В.Ф.Готт).
Приложение 1
Геометрические фигуры, обладающие осевой симметрией
Равнобедренный Равносторонний Отрезок
треугольник треугольник
Равнобедренная Прямоугольник Правильный
трапеция шестиугольник
Угол Окружность Ромб
Приложение 2
Геометрические фигуры, обладающие центральной симметрией
Квадрат Равносторонний Отрезок
треугольник
Параллелограмм Прямоугольник Правильный
шестиугольник
Окружность Ромб
Приложение 3
Результаты исследования
Геометрия
|
Биология
|
Примеры
|
Центральная симметрия
|
Лучевая симметрия
|
Цветы подсолнечника, ромашки, календулы
|
Осевая симметрия
|
Осевая симметрия
|
Листья сирени, черемухи, ландыша, тюльпанов
|
Поворотная симметрия
|
Винтовая симметрия, поворотная симметрия 5-го порядка
|
Медуза Аурелия, морская звезда, веточка боярышника, веточка акации, лапчатка гусиная
|
Переносная симметрия
|
Переносная симметрия, симметрия конуса
|
Соты, построенные пчелами, шишки хвойных деревьев (сосны, ели), чешуя рыб, чешуйки на крыльях бабочки, мозаичное расположение листьев на ветках
|
Зеркальная симметрия
|
Билатеральная (зеркальная симметрия)
|
Насекомые, птицы, рыбы, млекопитающие, земноводные, пресмыкающиеся
|
Асимметрия
|
Дисимметрия
|
Цветки анютиных глазок, листья бегонии, раковина прудовика, листья липы
| |
