Глава I. ТЕОРИТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ .
§ 1. Особенности учебного комплекта по математике под редакцией Г.В. Дорофеева.
В учебный комплект по математике под редакцией Г.В. Дорофеева Г.В. Дорофеев - заведующий отделом математического образования Института общего и среднего образования Российской академии наук, профессор, родоначальник литературы для абитуриентов. входят учебники [20], [15], [18],[17], [16]. Это комплект нового поколения. В нем учтены результаты опыта преподавания математики последних десятилетий, а также отражены современные методические и педагогические тенденции. Содержание комплекта полностью соответствует современным образовательным стандартам. Он рекомендован Министерством общего и профессионального образования Российской Федерации для преподавания математики в средней школе.
Основные идеи этого курса - это общекультурная ориентация содержания, интеллектуальное развитие учащихся средствами математики на материале, отвечающем интересам и возможностям детей. Одним из главных отличий данного комплекта является то, что большое внимание уделяется арифметике, формированию вычислительной культуры в ее современном понимании. Это прикидка, оценка и проверка результатов действий. Сделан упор на обучение арифметическим, логическим приемам решения текстовых задач.
В учебниках комплекта принята следующая система подачи материала. Теоретический материал каждой главы разбит на пункты, которые завершаются перечнем упражнений. Предложенные упражнения имеют два уровня сложности: первый ориентирован на базовый уровень обучения, второй содержит развивающие задания. В конце главы выделен пункт «Для тех, кому интересно», в которых предлагается материал, не предусмотренный школьной программой, но предлагаемый на школьных олимпиадах. Это позволяет сделать знания учащихся более прочными, пробудить интерес к математике. Это уравнения с параметрами, делимость натуральных чисел, примеры использования комбинаторного правила умножения и другие вопросы математики. Для более успешного усвоения материала в каждую главу включены вопросы для повторения и задачи для самопроверки. К каждому учебнику разработан набор справочно-методической литературы (рабочие тетради, сборники дидактических материалов), облегчающих работу, как учителю, так и ученику.
Рабочая тетрадь применяется преимущественно на начальных этапах изучения темы. Туда включены задания, которые позволяют организовать разнообразную практическую деятельность (вычеркнуть, дорисовать, закрасить). Это освобождает детей от работы непринципиального характера, позволяет увеличить объем учебной работы и сосредоточить внимание на главном.
Дидактические материалы содержат дополнительный набор упражнений по арифметике, алгебре, анализу данных, организованных в виде самостоятельной работы с заданиями разного уровня сложности. Материал может быть использован на различных этапах изучения темы и для различных групп учащихся. В конце сборника помещены материалы для внеклассной работы.
Учебники [20], [15] заложили одну из первых «сквозных» линий, которую через все классы проводит один авторский коллектив (далее он несколько изменяется, но руководство Г.В. Дорофеева остается неизменным; последние учебники этой линии для X - XI класса еще ожидаются). Наличие «сквозной» авторской линии дает некоторые преимущества в плане сохранения авторских подходов и преемственности между блоками классов. В данных учебниках принят естественный порядок изучения дробей: сначала обыкновенные, потом десятичные. Вопрос о знаке числа изучается сначала на целых числах, что методически и педагогически правильнее. Особенно выделяется наглядно-деятельностная геометрия. Есть линия «Анализ данных». Не смотря на то, что арифметическая линия не завершена по сравнению с традиционно принятым объемом содержания, изучаемого в V - VI классах, это не препятствует обучению в рамках той же авторской линии.
Учебники [18], [17], [16] являются непосредственным продолжением комплекта [20], [15]. В них получают дальнейшее развитие арифметическая, алгебраическая и вероятностно-статистическая линии курса. Некоторый материал, изучавшийся раньше в V - VI классах перенесен в следующие классы. В рамках одной линии учебников такой подход не нарушает целостности изучения материала. В содержание курса алгебры VII - IX классов включен блок арифметических вопросов. Уделено внимание дальнейшему развитию вычислительной культуры школьников, обучению различным приемам выполнения действий с дробями, в том числе с использованием калькулятора, вычислению процентов и вероятностно-статистических характеристик. В VII классе рассмотрены также практически значимые вопросы об отношении, пропорции, прямой и обратной пропорциональности. В VIII классе уделено внимание формированию вычислительных умений извлечения квадратного корня и отработке его простейших свойств. Отработка этих умений проводится на арифметических выражениях без использования символики. После этого в качестве обобщения авторы предлагают алгебраический подход к понятию корня. При изучении прогрессий в IX классе сделан акцент на их практическое применение, поэтому для изучения предложена тема «Простые и сложные проценты ».
Отбор учебного материала и выбор методических подходов в учебниках осуществляется с учетом возможностей и особенностей детей данного возраста, что способствует более глубокому и осмысленному пониманию данных вопросов. В связи с этим авторы курса переносят рассмотрение некоторых тем на более поздние сроки. Это позволяет изучить практически значимый и интересный для детей материал, который позволяет говорить о математике, как о части общечеловеческой культуры.
В настоящее время в школе не распространен подход целостного изучения математики V - IX классов, поэтому этот комплект можно назвать комплектом нового поколения.
§ 2. Понятие процента , основные задачи на проценты .
Слово « процент » происходит от латинского pro centum, что буквально означает «на сотню», «со ста» или «за сотню». В популярной литературе возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV в. Но идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же величинах, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов , однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню.
По-видимому, процент возник в Европе вместе с ростовщичеством. Есть мнение, что понятие процент ввел бельгийский ученый Симон Стевин. В 1584 г. он опубликовал таблицы процентов. Употребление термина «процент» в России начинается в конце XVIII в. Долгое время под процентами понималось исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.
Интересно происхождение обозначения процента. Существует версия, что знак % происходит от итальянского pro cento (сто), которое в процентных расчетах часто сокращенно писалось cto. Отсюда путем дальнейшего сокращения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный знак процента (см. схему 1).
2
Схема 1
Также есть предположение, что знак % возник в результате опечатки. В Париже в 1685 г. была напечатана книга - руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик напечатал знак %.
Сейчас проценты употребляются для сравнения однородных положительных количеств. Один процент - это по определению одна сотая: 1%=. Соответственно, p%=. Один процент от количества А - это, по определению, одна сотая часть количества А:
1% от А равен А .Соответственно, p% от А равен А.
Все задачи на проценты можно разделить на две основные группы.
Первая группа задач относится к той ситуации, когда даны количество А и некоторый процент p. Требуется найти количество, которое этот процент выражает.
Вопрос К1. Каково количество, составляющее p% от А?
Формула ответа: А.
Обсуждение решения: нужно обсудить, что принимается за базу в 100% .
Пример:
В городе N состоялись выборы в городскую думу, в которых приняли участие 75% избирателей. Только 10% от числа принявших участие в выборах отдали свои голоса партии «зеленых». Сколько жителей проголосовали за эту партию, если всего в городе 1 миллион избирателей?
Решение. Здесь нужно дважды применить формулу ответа на вопрос К1. По условию, в выборах приняли участие чел. От них 10% - это .
Ответ: 75000.
Вопрос К2. Каково количество, p% от которого есть А?
Формула ответа: А.
Обсуждение. Вопросы К1 и К2 родственны. Пусть искомое количество (в данном случае стопроцентная база) есть x. Тогда мы находимся в ситуации вопроса К1: А=x. Отсюда получаем формулу ответа на вопрос К2. Можно воспользоваться другим способом рассуждения при ответе на вопрос К2: если на А приходится p%, то один процент от неизвестного количества есть , соответственно неизвестное количество есть 100.
Пример:
При помоле пшеницы получается 80% муки. Сколько пшеницы нужно смолоть, чтобы получить 480 кг пшеничной муки?
Решение:
По формуле К2 искомое количество пшеницы есть 480=600 кг
Ответ: 600 кг.
Вопрос К3. Каково количество, большее чем А, на p%?
Формула ответа: А.
Обсуждение. В данном случае стопроцентная база - это А. Разница между неизвестным количеством и базой по условию составляет p%, что по формуле ответа на вопрос К1 дает А. В результате искомое количество есть А+А=А.
Вопрос К4. Каково количество, меньшее чем А, на p%?
Формула ответа: А.
Обсуждение. Аналогично предыдущему случаю. Если ответ на данный вопрос приводит к отрицательному числу, то искомое количество считают несуществующим, а сам вопрос некорректным.
Вторая группа задач освещает обратную операцию - вычисление процентов по известным количествам.
Вопрос П1. Сколько процентов составляет А от В?
Формула ответа: %.
Обсуждение. Нужно обратить внимание на то, что является стопроцентной базой (в данном случае - это В).
Пример:
В одном городе Канады 70% жителей знают французский язык и 80% - английский язык. Сколько процентов жителей этого города знают оба языка (если учесть, что каждый житель города знает хотя бы один из двух языков)?
Алгебраическое решение: Пусть x жителей знают только английский, y - только французский, z - оба языка. Тогда можно дважды применить формулу, соответствующую вопросу П1.
Сложив оба эти равенства, получим
1+
Ответ: 50%.
Геометрическое решение. Разместим всех жителей города на отрезке так, что знающие английский язык стоят на отрезке слева, а знающие французский - справа. Если этот отрезок - 100%, то общая часть этих множеств есть отрезок [30%,80%] «протяженностью» в 50% (см. рис 1.).
Рис 1.
Вопрос П2. На сколько процентов А больше чем В?
Формула ответа: %.
Обсуждение. Как и при обсуждении вопроса П1 нужно определить стопроцентную базу (в данном случае - это В).
Вопрос П3. На сколько процентов А меньше, чем В?
Формула ответа: %.
Обсуждение. Конструкция ответа аналогична предыдущему случаю.
Следует отметить, что решение данной группы задач можно проводить как алгебраическим, так и геометрическим способом.
Таким образом, можно сказать, что задачи на проценты очень разнообразны, а понятие процента используется в различных областях науки и практики.
§ 3. Изучение темы « Проценты » в современной школе .
Понятие процента имеет широкое практическое применение, поэтому оно является обязательной частью школьной программы по математике. Школьники должны научится решать основные задачи на проценты , представлять их в виде десятичных и обыкновенных дробей.
Традиционно тема « Проценты » изучается в рамках младших классов среднего звена. Можно выделить несколько подходов к изучению данной темы.
Первый подход. Рассмотрение процентов ведется как отдельная тема, без опоры на дроби. Нахождение нескольких процентов от числа осуществляется в два действия. Изучение дробей ведется отдельной темой, гораздо позже задач на проценты . Таким образом, обучение идет от частного к общему, что менее эффективно и дает меньше возможностей для развития обучаемого.
Второй подход. Задачи на проценты осваиваются как частный случай задач на дроби и все приемы решения переносятся на них, то есть изучение идет от общего случая - задач на дроби, к частному. В большинстве современных учебников реализован второй подход.
Рассмотрим более подробно изучение данной темы в некоторых современных учебниках, рекомендованных Министерством Образования России на 2003/2004 учебный год для преподавания математики в основной школе .
По учебникам [19], [21] тема « Проценты » изучается в V классе. Перед введением понятия «процент» автор предлагает рассмотреть примеры:
«Сотую часть центнера называют килограммом, сотую часть метра - сантиметром, сотую часть гектара - акром. Принято называть сотую часть любой величины процентом».
Рассматриваются три основные задачи на проценты:
Задача вида К1.
Пример 1: Бригада рабочих за день отремонтировала 40% дороги, имеющей длину 120 м. Сколько метров дороги было отремонтировано бригадой за день?
Решение:
120 м составляет 100%
1) 120:100 =1,2 м составляет 1%.
2) м отремонтировано бригадой за день.
Ответ: За день бригада отремонтировала 48 м дороги.
Задача вида К2.
Пример 2: Ученик прочитал 72 страницы, что составляет 30% числа всех страниц книги. Сколько страниц в книге?
Решение:
Неизвестное число - 100%.
1) 72:30=2,4 страницы составляет 1%.
2) страниц составляет 100%.
Ответ: В книге 240 страниц.
Задача вида П1.
Пример 3: В классе из 40 учащихся 32 правильно решили задачу. Сколько процентов учащихся правильно решили задачу?
Решение:
40 учащихся составляют 100%.
1) 40:100=0,4 составляет 1%.
2) 32:0,4=80; 32 ученика составляют 80%.
Ответ: 80% учащихся правильно решили задачу.
Однако эти виды задач не выделяются, так как в качестве основного способа решения задач на проценты принят способ приведения к единице. Он обладает определенными преимуществами:
а) проще для выполнения вычислений;
б) приучает учащихся к выделению числа, принимаемого за 100%;
в) требует проведения в процессе решения конкретной задачи соответствующих рассуждений, которые не включают запоминания правил решения того или иного вида задач на проценты.
Учебник предполагает решать некоторые задачи на проценты с помощью уравнений. Эта рекомендация относится по существу к двум видам задач: нахождение числа по данному числу его процентов и нахождение процентного отношения двух чисел. Опыт преподавания математики в V классе показывает, что учащиеся сталкиваются с определенными трудностями в процессе решения задач на проценты, что связано в основном с недостаточной осознанностью учащимися способа приведения к единице. Поэтому отработка сущности этого способа в два действия имеет решающее значение в обучении решению задач на проценты, особенно на начальном этапе усвоения знаний. Задачи, рассмотренные в примерах 2 и 3, могут быть решены с помощью уравнений. В V классе решение задач с помощью уравнений вызывают у учащихся значительные трудности.
Эта тема является одной из последних в курсе V класса. Далее авторы специально к теме не возвращается. Это не очень удачно, так как тема объективно трудная.
Несколько другой подход к этой теме в учебниках [22] [23]. Изучение процентов начинается в конце V класса. Авторы определяют процент , как иное название одной сотой. «Мы знаем, что одна вторая иначе называется половиной, одна четвертая - четвертью, три четвертых - тремя четвертями. Особое название имеет и одна сотая: одна сотая называется процентом ». Учащиеся рассматривают только два вида задач:
Задача вида К1.
Пример 4. В школе 800 учащихся, 15% из них за четверть получили пятерки по математике. Сколько учеников получили пятерки по математике?
Решение:
Найдем вначале один процент , или одну сотую, от числа учащихся.
800: 100=8.
Чтобы найти 15%, нужно выполнить умножение:
=120.
Ответ: 120 учеников получили пятерки.
Большое внимание уделяется связи дробей (десятичных и обыкновенных) и процентов.
Задача вида П1.
Пример 5. Сколько процентов от 1 м составляет 1см, 9 см, 0,15 м?
В VI классе авторы снова возвращаются к этой теме. Учащиеся повторяют материал, изученный в V классе, и рассматриваются новые задачи. При этом для каждого вида задач проводится аналогия с действиями над десятичными и обыкновенными дробями, формулируется правило:
Для задачи вида К1.
«1) выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью;
2) умножить данное число на эту дробь»
А также для задачи вида К2.
«1) выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью;
2) разделить данное число на эту дробь»
Пример 6. За контрольную работу по математике отметку «4» получили 9 учеников. Это составляет 36% от всех учащихся класса. Сколько учащихся в классе?
Решение:
Выразим проценты обыкновенной или десятичной дробью: 36%= =0,36.
Воспользуемся правилом нахождения числа по его дроби:
9:==25 или 9:0,36=25
Ответ: в классе было 25 учащихся.
Далее рассматривается задача вида П1.
Сначала учащиеся рассматривают выражение частного двух чисел в процентах: «чтобы выразить частное в процентах, нужно частное умножить на 100 и к полученному произведению приписать знак процента».
Только после этого они переходят к решению задачи П1.
«Для этого нужно
1) первое число разделить на вторе;
2) полученное частное выразить в процентах»
Пример 7. В классе 25 учащихся, из них 20 пионеров. Сколько процентов составляют пионеры?
Решение:
Для решения нужно частное выразить в процентах. =0,8=80%.
Ответ: пионеры составляют 80%.
В конце темы рассматривается задача вида П2 и П3.
«… чтобы узнать, на сколько процентов увеличилась или уменьшилась данная величина, необходимо найти:
1) на сколько единиц увеличилась или уменьшилась эта величина;
2) сколько процентов составляет полученная разность от первоначального значения величины»
Пример 8. До снижения цен холодильник стоил 250р., после снижения - 230 р. На сколько процентов снизилась стоимость холодильника?
Решение:
Узнаем, на сколько рублей изменилась цена холодильника: 250-230=20 р.
Найдем, сколько процентов составляет полученная разность от первоначальной стоимости холодильника: =0,08=8%
Ответ: стоимость холодильника понизилась на 8%.
Правила ограничивают учащихся, не дают им рассуждать над решением. Поэтому каждая задача на проценты становится алгоритмом и вызывает затруднения, если правило забыто. Решение задач в данном курсе арифметическое. Использование уравнений при решении начинается лишь в конце года только в сложных задачах. Следовательно, не каждый ученик сможет овладеть этим умением. Поэтому нужно включить задачи на проценты при изучении уравнений.
В учебниках [7], [8] понятие процента также изучается в конце V класса. Перед введением определения рассматриваются примеры употребления понятия «процент»:
«Всхожесть семян составляет 98 процентов; в выборах президента России приняли участие 65 процентов избирателей… ». Процент определяется как обозначение сотой доли. В V классе авторы рассматривают только два вида задач: задачи вида К1 и К2. Решение этих задач осуществляется арифметическим способом. Большое внимание уделяется вопросу, какую величину взять за 100%.
Далее тема «Проценты» изучается в VI классе. Здесь рассматриваются те же виды задач, но решение осуществляется уже алгебраическим способом (составление линейных уравнений). Авторы формулируют правила нахождения части от целого и целого по его части:
«1) чтобы найти часть от целого, надо целое (соответствующее ему число) умножить на дробь (соответствующее этой части);
2) чтобы найти целое по его части, надо часть (соответствующее этой части число) разделить на соответствующую ей дробь».
После этого тема не рассматривается.
Несколько другой подход в учебниках [2], [3]. Проценты начинают изучаться в начале VI класса. Вводится понятие процента как одной сотой части числа (величины). Рассматриваются задачи трех типов:
а) нахождение процентов от данного числа К1.
Сначала рассматривается нахождение 1% от данного числа. Затем - нахождение произвольного числа процентов.
б) нахождение числа по данному числу его процентов К2.
Также в первую очередь обсуждается, как найти число, 1% которого известен. Затем эта задача рассматривается для любого произвольного числа процентов.
в) нахождение процентного отношения двух чисел П1. Авторы формулируют правило «Чтобы отношение двух чисел выразить в процентах, можно это отношение умножить на 100»
Все три типа задач решаются сначала арифметическим способом, а затем их решают, на основе свойств пропорциональности.
Пример 9. Найти 8% от 35.
Решение: Пусть x - искомое число, тогда:
, x=
Ответ: 2
Рассматриваются также задачи, в которых нужно увеличить (уменьшить) число на некоторое число процентов К3 и К4. Проценты также используются при изучении диаграмм.
В середине учебного года авторы снова предлагают вернуться к понятию процента . Они хотят установить связь между десятичными дробями и процентами, вспоминают ранее изученный материал и предлагают более сложные задачи.
Пример 10.
Цену товара увеличили на 10%, затем еще на 10%. На сколько процентов увеличили цену товара за два раза?
Здесь же рассматриваются задачи на смеси и сплавы (этот параграф отмечен, как параграф повышенной трудности). Мне кажется, что задачи такого типа для шестиклассников сложны. Поэтому не каждый учитель захочет рассматривать такие сложные задачи со всем классом и очень важный пласт задач останется не рассмотренным. Но это очень важные задачи, которым следует уделить должное внимание, возможно, в старшем возрасте.
В этом комплекте также уделяется внимание работе с калькулятором при решении задач на проценты . Данному вопросу посвящен отдельный параграф и разработана система упражнений.
В старших классах тема проценты рассматривается в рамках задач на повторение и задач повышенной трудности. В старших классах операции с процентами становятся прерогативой химии, которая внедряет свой взгляд на проценты. Поэтому вопросы универсальности процентов и разнообразия сфер их применения постепенно забываются учащимися.
Покажем, как предлагается изучать этот материал в учебных комплектах по математике для V-VI класса под ред. Г.В.Дорофеева и И.Ф. Шарыгина и для VII - IX класса под ред. Г.В.Дорофеева.
Прежде всего, нужно отметить, что при изложении темы «Проценты» реализуются многие общие методические особенности, характерные для курса в целом. Тема разворачивается по спирали и изучается в несколько этапов с VI по IX класс включительно. При каждом проходе учащиеся возвращаются к процентам на новом уровне, их знания пополняются, добавляются новые типы задач и приемы решений. Такое многократное обращение к понятию приводит к тому, что постепенно оно усваивается прочно и осознанно. Появляется возможность включать задачи, которые сейчас в действующих учебниках не могут рассматриваться просто в силу возрастных особенностей школьников.
Вопросы, связанные с процентами, позволяют сделать курс ориентированным на практику, показать учащимся, что приобретаемые ими математические знания применяются в повседневной жизни. Интерес в значительной степени поддерживается также и содержанием задач, фабулы которых приближены к современной тематике и к жизненному опыту детей, а затем и подростков. Это служит достаточно сильным мотивом для решения предлагаемых задач.
Введение процентов опирается на предметно-практическую деятельность школьников, на геометрическую наглядность и геометрическое моделирование. Широко используются рисунки и чертежи, помогающие разобраться в задаче и увидеть путь решения.
Как и во всех основных разделах курса при изложении этой темы реализованы широкие возможности для дифференцированного обучения учащихся. Задачи предлагаются в широком диапазоне сложности - от базовых, до достаточно трудных. Учитель может подобрать материал, соответствующий возможностям каждого школьника.
При обучении решению задач на проценты учащиеся знакомятся с разными способами решения задач, причем множество приемов шире, чем это бывает обычно. Ученик овладевает разнообразными способами рассуждения, обогащая свой арсенал приемов и методов. Но при этом также важно, что он имеет возможность выбора и может пользоваться тем приемом, который ему кажется более удобным.
|
