7. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины Задания для практических занятий
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Раздел 1. Статистическое оценивание
Контрольные вопросы
Основные понятия. Свойства точечных оценок.
Точечные оценки числовых характеристик.
Понятие об интервальном оценивании.
Построение доверительных интервалов для математического ожидания и среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины.
Раздел 2. Проверка статистических гипотез
Контрольные вопросы
Основные понятия теории статистической проверки гипотез.
Ошибки, допускаемые при проверке гипотез.
Применение критерия Пирсона χ для проверки гипотезы о виде закона распределения случайной величины.
Примерные практические задания
1. С целью определения среднего трудового стажа на предприятии методом случайной повторной выборки проведено обследование трудового стажа рабочих. Из всего коллектива рабочих завода случайным образом выбрано 400 рабочих, данные о трудовом стаже которых и составили выборку. Средний по выборке стаж оказался равным 9,4 года. Считая, что трудовой стаж рабочих имеет нормальный закон распределения, определить с вероятностью 0,97 границы, в которых окажется средний трудовой стаж для всего коллектива, если известно, что = 1,7 года.
2. С целью определения средней продолжительности рабочего дня на предприятии методом случайной повторной выборки проведено обследование продолжительности рабочего дня сотрудников. Из всего коллектива завода случайным образом выбрано 30 сотрудников. Данные табельного учета о продолжительности рабочего дня этих сотрудников и составили выборку. Средняя по выборке продолжительность рабочего дня оказалась равной 6,85 часа, а S = 0,7 часа. Считая, что продолжительность рабочего дня имеет нормальный закон распределения, с надежностью = 0,95 определить, в каких пределах находится действительная средняя продолжительность рабочего дня для всего коллектива данного предприятия.
3. В заочном вузе, где обучаются 2000 студентов, была образована случайная бесповторная выборка с целью определения стажа работы студентов по специальности. Полученные при этом результаты представлены в таблице:
Стаж работы по специальности (лет).
|
1-5
|
5-9
|
9-13
|
13-17
|
17-21
|
Итого
|
Количество студентов
|
15
|
20
|
45
|
12
|
8
|
100
|
а1: Найти границы, в которых с вероятностью 0,997 заключен средний стаж работы по специальности всех студентов вуза.
а2: Найти границы, в которых с вероятностью 0,9708 заключена доля всех студентов вуза, стаж работы которых по специальности не более 9 лет.
б1: Каким должен быть объем выборки, чтобы границы, найденные в пункте а1, гарантировать с вероятностью 0,9964?
б2: Каким должен быть объем выборки, чтобы границы, найденные в пункте а2, гарантировать с вероятностью 0,996?
в1: Найти вероятность того, что средний стаж работы по специальности всех студентов вуза отличается от среднего их стажа в выборки не более чем на 1 год (по абсолютной величине).
в2: Найти вероятность того, что доля студентов в вузе, имеющих стаж работы не менее 13 лет отличается от выборочной доли таких же студентов не более, чем на 2 года (по абсолютной величине).
г: Используя  -критерий Пирсона, при уровне значимости  проверить гипотезу о том, что случайная величина X – стаж работы студентов по специальности – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
4. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х с эмпирическим распределением выборки объема n = 100:
хi
|
2
|
4
|
6
|
8
|
10
|
ni
|
10
|
15
|
40
|
25
|
10
|
Раздел 3. Дисперсионный анализ
Контрольные вопросы
Основы дисперсионного анализа.
Однофакторный дисперсионный анализ.
Двуфакторный дисперсионный анализ.
Раздел 4. Корреляционный анализ
Контрольные вопросы
Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.
Условные средние.
Корреляционная зависимость.
Две основные задачи теории корреляции.
Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по несгруппированным данным.
Корреляционная таблица.
Примерные практические задания
1. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X и X на Y
Y
|
X
|
ny
|
3
|
9
|
15
|
21
|
27
|
23
|
25
|
-
|
-
|
-
|
1
|
-
|
1
|
2
|
35
|
-
|
-
|
1
|
5
|
4
|
5
|
15
|
45
|
-
|
-
|
2
|
18
|
10
|
2
|
32
|
55
|
-
|
6
|
14
|
2
|
2
|
-
|
24
|
65
|
-
|
6
|
3
|
-
|
-
|
-
|
9
|
75
|
10
|
8
|
-
|
-
|
-
|
-
|
18
|
nx
|
10
|
20
|
20
|
26
|
16
|
8
|
n =100
|
Раздел 5. Регрессионный анализ
Контрольные вопросы
Элементы регрессионного анализа.
Построение эмпирического уравнения регрессии.
Проверка адекватности построенного уравнения регрессии выборочным данным.
Примерные практические задания
1. Изучая зависимость между показателями X и Y, проведено обследование 10 объектов и получены следующие данные
x
|
120
|
70
|
100
|
55
|
75
|
85
|
110
|
80
|
60
|
95
|
y
|
4,6
|
2,6
|
4,3
|
2,4
|
3,1
|
3,8
|
4,2
|
2,9
|
2,7
|
3,4
|
Полагая, что между X и Y имеет место линейная корреляционная связь, определите выборочное уравнение регрессии  и выборочный коэффициент линейной регрессии  . Постройте диаграмму рассеяния и линию регрессии. Сделайте вывод о направлении и тесноте связи между показателями X и Y.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Раздел 1. Случайные события
Тема 1. Основные понятия теории вероятностей
Контрольные вопросы
Испытания и события.
Классическое определение вероятности.
Основные формулы комбинаторики.
Примеры непосредственного вычисления вероятностей. Классическая формула вычисления вероятностей.
Статистическая вероятность.
Геометрические вероятности.
Вероятностное пространство. Аксиомы теории вероятностей.
Примерные практические задания:
В меню ресторана имеется 12 видов безалкогольных напитков одинаковой стоимостью. Посетителям нужно предложить 4 вида напитков. Сколько существует комбинаций предложения видов напитков посетителям, если порядок подачи вида напитка имеет значение.
В холодильнике находятся 15 яблок, 14 апельсин, 8 банан. Сколькими разными способами можно приготовить фруктовое ассорти из 3 фруктов разных сортов.
Сколько разных 4-ех разрядных чисел можно составить из 10 цифр?
Экзамен сдают 12 студентов. Сколько различных вариантов последовательности сдачи экзамена студентами существует?
Найти количество перестановок букв в слове «модифицированный»
Из группы студентов в 28 человек: 22 – изучают англ. яз., 13 – изучают нем. яз., 15 – оба языка. Сколько человек не знают ни одного языка?
На плоскости дано п точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?
Сколькими способами можно составить букет из 17 цветков, если в продаже имеются гвоздики, розы, гладиолусы, ирисы, тюльпаны и васильки?
В колоде 32 карты (без единого туза). К колоде добавили 1 туз. Необходимо раздать карты до тех пор, пока не появится туз. Сколькими различными способами это можно сделать?
Имеется 7 орангутангов и 8 шимпанзе. Необходимо поставить шатер где они будут стоять в ряд. Известно что два орангутанга не могут стоять рядом. Сколько существует способов расстановки животных?
Тема 2. Теоремы сложения умножения
Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Полная группа событий.
Противоположные события.
Произведение событий.
Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Независимые события.
Формула полной вероятности.
Формулы Байеса.
Формула Бернулли.
Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Примерные практические задания:
1. Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) на обеих костях появятся шестерки; б) хотя бы на одной кости появятся шестерки.
2. В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее наугад вынимают два шара подряд. Найти вероятность того, что оба шара белые.
3. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены не потребует внимания рабочего первый станок, равна 0,7; второй - 0,8; третий – 0,9. Найти вероятность того, что в течение смены не потребуют внимания рабочего два станка.
4. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников в переплете.
5. В ящике 10 деталей, из которых 4 окрашены. Сборщик наудачу взял 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
6. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта.
7. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, во втором, третьем справочниках, соответственно равно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) только в двух справочниках; в) во всех трех справочниках.
8. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) на каждой из выпавших граней появится 5 очков; б) на всех выпавших гранях появится одинаковое количество очков.
9. На трех станках производят одинаковые детали, причем на первом станке производят 25%, на втором станке 35%, на третьем - 40% всех деталей. В продукции трех станков брак составляет 5%, 4%, и 2% соответственно. Все детали поступают на склад.
а) Найти вероятность того, что случайно взятая деталь окажется бракованной.
б) Случайно взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом станке?
10. В группе спортсменов 15 лыжников, 5 бегунов. Вероятность выполнить норму для лыжника равна 0,8, для бегуна 0,9: а) найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму; б) наугад вызванный спортсмен выполнил норму. Какова вероятность того, что он лыжник?
11. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность проявления события в каждом испытании равна 0,2.
17. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,02. Какова вероятность того, что из 50 билетов выигрышными будут 3 билета.
12. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков.
Раздел 2. Случайные величины
Тема 3. Дискретная случайная величина
Контрольные вопросы
Виды случайных величин.
Задание дискретной случайной величины.
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
Биномиальное распределение.
Распределение Пуассона.
Математическое ожидание дискретной случайной величины.
Дисперсия дискретной случайной величины.
Среднее квадратическое отклонение.
Примерные практические задания
1. Охотник, имеющий 3 патрона, стреляет по цели до первого попадания (или пока не израсходует все патроны). Найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х) числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна ¼.
2. Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения случайной величины Х - числа попаданий. Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), функцию распределения F(X) случайной величины Х.
3. В урне имеется четыре шара с номерами от 1 до 4. Вынули два шара. Случайная величина Х - сумма номеров вынутых шаров. Построить ряд распределения случайной величины Х. Найти среднее квадратическое отклонение 
4. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз вынимают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в урну и перемешивают. Величина Х – число вынутых белых шаров. Найти М(Х) и D(X).
5. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули шар. Случайная Х – число вынутых белых шаров. Построить функцию распределения F(x).
6. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобрали 3 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – число стандартных деталей среди отобранных. Найти М(Х), D(X), F(x).
7. В урне 2 белых и 1 черный шар. Наугад выбирают шар, если он не белый, снова возвращают в урну. После перемешивания наугад выбирают, если он не белый, снова возвращают и т.д. Х – число опытов до появления белого шара. Найти М(Х).
Тема 4. Непрерывная случайная величина
Контрольные вопросы
Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.
Закон больших чисел.
Определение функции распределения, её свойства и график.
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
Нормальное распределение.
Теорема Ляпунова.
Центральная предельная теорема.
Распределение Стьюдента.
Распределение Фишера-Снедекора.
Показательное распределение. Функция надёжности и показательный закон надёжности.
Примерные практические задания
1. Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью f(x), причем
Найти: а) коэффициент а; б) функцию распределения F(x); в) вероятность попадания Х в интервал (1;2).
2. При каком значении а функция  является плотностью вероятности случайной величины Х? найти  .
3. Случайная величина задана плотностью распределения   Найти коэффициент а и функцию распределения F(x).
4. Случайная величина Х задана функцией распределения  Найти М(Х), D(X). Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (1,5;2).
5. Случайная величина Х распределена по показательному закону  Найти F(x), М(Х), D(X).
6. Случайная величина Х задана функцией распределения  Найти М(Х).
7. Автобусы некоторого маршрута идут по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.
8. Поезда метро идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени, никак не связанный с расписанием поездов. Найти среднее время ожидания поезда. Найти вероятность того, что ждать придется не больше 0,5 минуты.
9. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02А.
10. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.
11. Найти математическое ожидание случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (2; 8).
12. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенную равномерно в интервале (2; 8).
13. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону  при  и  при  . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
14. Найти математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по показательному закону, если функция распределения имеет вид 
15. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение  . Найти вероятность того, что за  ч элемент: 1) откажет; 2) не откажет.
Вопросы для подготовки к экзамену
Свойства точечных оценок. Точечные оценки числовых характеристик.
Понятие об интервальном оценивании.
Построение доверительных интервалов для математического ожидания и среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины.
Основные понятия теории статистической проверки гипотез.
Ошибки, допускаемые при проверке гипотез.
Применение критерия Пирсона χ для проверки гипотезы о виде закона распределения случайной величины.
Основы дисперсионного анализа.
Однофакторный дисперсионный анализ.
Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.
Условные средние.
Корреляционная зависимость. Две основные задачи теории корреляции.
Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по несгруппированным данным.
Корреляционная таблица.
Элементы регрессионного анализа.
Построение эмпирического уравнения регрессии.
Проверка адекватности построенного уравнения регрессии выборочным данным.
Испытания и события.
Классическое определение вероятности.
Основные формулы комбинаторики.
Примеры непосредственного вычисления вероятностей. Классическая формула вычисления вероятностей.
Статистическая вероятность.
Геометрические вероятности.
Вероятностное пространство. Аксиомы теории вероятностей.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Полная группа событий.
Противоположные события.
Произведение событий.
Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Формула полной вероятности.
Формулы Байеса.
Формула Бернулли.
Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Виды случайных величин.
Задание дискретной случайной величины.
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
Биномиальное распределение.
Распределение Пуассона.
Математическое ожидание дискретной случайной величины.
Дисперсия дискретной случайной величины.
Среднее квадратическое отклонение.
Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.
Закон больших чисел.
Определение функции распределения, её свойства и график.
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
Нормальное распределение.
Теорема Ляпунова.
Центральная предельная теорема.
Распределение Стьюдента.
Показательное распределение. Функция надёжности и показательный закон надёжности.
|
