Презентация элективного курса по математике

Министерство образования и науки Российской Федерации. Муниципальное автономное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 1. Программа – презентация элективного курса по математике «Шифры и математика». Программу составила учитель 1 категории Кочнева Е. В. Забайкальск. 2009 – 2010 учебный год. Пояснительная записка Математике принадлежит ведущая роль в формировании алгоритмического мышления, развитии умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые. В процессе решения задач по кодированию и декодированию информации развиваются творческий и прикладной аспекты мышления. Курс рассчитан на 8,5 часов. Программа курса предполагает изучение таких вопросов, которые не входят в школьный курс математики, но закладывают основы для дальнейшего (вузовского) его изучения, а также повторяют на его основе знания о геометрических преобразованиях плоскости. Такой подбор материала преследует две цели. С одной стороны, это создание базы для развития способностей учащихся, с другой – восполнение некоторых содержательных пробелов основного курса. Содержание программы актуально с точки зрения задач пред профильной подготовки как пропедевтика математического и технологического образования в профильной старшей школе. Включенный в программу материал может применяться для разных групп школьников за счет обобщенности знаниевого компонента и его производности от базового уровня. Программа ориентирована на практическое применение и обладает достаточной контролируемостью. Ц е л ь: на популярном, практическом, игровом уровне познакомить учащихся с применением математики для решения задач кодирования и декодирования. З а д а ч и: – формирование элементарных навыков работы с матрицами; – знакомство с кодированием и декодированием при помощи само совмещений квадрата; – включение учащихся в поисковую деятельность как фактор личностного развития; – развитие коммуникативных навыков в процессе практической и игровой деятельности. Предусмотрены следующие виды деятельности учащихся: – анализ текстов художественной литературы, где приведены кодирование и декодирование информации; – составление собственного шифра на основе различных самосовмещений квадрата; – устные сообщения учащихся о своей работе; – практикум по кодированию и декодированию; – написание творческой работы; – подготовка карточек-заданий для одноклассников. Критериями успешности усвоения курса служат условия: – выполнение двух работ по кодированию и декодированию материала с помощью матрицы и решетки; – выполнение дополнительных заданий; – использование интернет - технологий. Формой итоговой отчетности является дидактическая игра “Расшифруй-ка”. Обязательные результаты обучения. В процессе обучения по курсу учащиеся могут: – научиться анализировать математическую задачу как способ кодирования и декодирования материала; – уметь замечать сходство и различие в ситуациях, текстах заданий, анализировать алгоритмический материал; – освоить один из методов кодирования и декодирования материала; – реализовать свои знания в практической ситуации. Структура курса. Т е м а 1. Матричный способ кодировании и декодирования. Матрицы. Произведение матриц. Т е м а 2. Само совмещение квадрата. Метод решеток. Центральная и осевая симметрия. Поворот. Двоичная система счисления. Т е м а 3. Другие методы кодирования и декодирования. Перегородчатые шифры. Метод перемешанных букв. Использование статистических характеристик языка. Тематическое планирование учебного материала Тема Кол-во часов Основные понятия Технология реализации Постановка задачи 1 Кодирование, декодирование, шифры Беседа Матричный способ 2 Матрица. Произведение матриц. Решение линейных систем уравнений. Комбинированный урок, урок-практикум. Самосовмещение квадрата. Метод решеток 2 Центральная и осевая симметрия, поворот, двоичная система счисления Эвристическая беседа, урок-практикум Знакомство с другими методами кодирования и декодирования 2 Статистические особенности языка. Способы “придумывания” шифров Семинар Дидактическая игра “Расшифруй-ка” 1 Игра Итоговое анкетирование. Оформление результатов деятельности учащихся 0,5 Семинар Примерные конспекты занятий. Занятие 1 Задачи кодирования и декодирования (Вводная беседа 1 час) Ц е л и: заинтересовать проблемами кодирования и декодирования информации; поставить перед учащимися задачи на весь курс. Х о д з а н я т и я I. Краткий исторический экскурс. Крипто- (греч. kryptos – тайный, скрытый) – часть сложных слов, указывающая на какое-либо скрытое, тайное действие или состояние. Криптография – тайная система изменения письма с целью сделать текст непонятным для непосвященных лиц. Начало криптографии совпадает с началом письменности, так как написанный текст мог понять только умеющий читать. Первым описал использование шифровального устройства Плутарх, первым дешифровальщиком был Аристотель. Расцвет криптографии приходится на средние века. Один из средневековых шифров продержался до Второй мировой войны. Некоторые историки считают одной из причин неудачного завершения для России Первой мировой войны некорректное отношение к шифрам. Очень интересен следующий случай, касающийся известного математика Франсуа Виета. XVI век. Война Испании и Франции. Франсуа Виет, будучи молодым офицером разведки, нашел ключ к шифру испанского короля, содержащего 500 символов. Испанцы, не поверив, что шифр можно было разгадать, обратились с жалобой к Папе Римскому, обвиняя французов в колдовстве. В XIX веке французский филолог Ж.-Ф. Шампольон расшифровал иероглифы древних египтян. В ХХ веке О. В Кнозоров, лингвист, историк и этнограф, расшифровал письменность древнего народа майя. Многие способы шифровки дал русский язык. Например, если выбросить букву “й”, а гласные буквы произвольным образом разбить на пары; сделать то же самое с согласными буквами; заменить в тексте одну букву другой, составляющей с ней пару, то получится шифрованный текст. Например, попробуйте прочитать детское стихотворение: Мяжя Дяма клёнгё брящэд, Юлёмыря ф лэщгю нащиг. Дыжэ, дямэщгя, мэ брящъ, Мэ юдёмэд ф лящгэ нащ. Наша Таня громко плачет, Уронила в речку мячик. Тише, Танечка, не плачь, Не утонет в речке мяч. Очевидно, что буквы заменены, как показано в таблице 1: Таблица 1 а ё э у ы б в г д ж л м с ц ч ь нет “й” я о е ю и п ф к т ш р н х з щ ъ II. Знакомство с современными методами кодирования. У ч и т е л ь. Мы с вами познакомимся с методами шифровки и дешифровки с помощью матриц и квадрата-решетки. На последнем занятии каждый из вас продемонстрирует свои шифрованные записи и расскажет о методе шифровки. Можно рассказать и о других способах. Например, азбуке Морзе, акростихе или способах, описанных у классиков детективного жанра (Э. По “Золотой жук”, А. Конан-Дойл “Пляшущие человечки” и т. д.). Можно написать мини-реферат об истории криптографии. З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о й р а б о т ы. З а д а н и е 1. На рисунке вы видите панель телефона. С помощью цифр зашифровано слово. Чтобы расшифровать его, нужно вместо каждой цифры написать одну из букв соответствующей клавиши. Например, 4161755 расшифровывается словом “марафон”. Пользуясь этим шифром, расшифруйте пословицы: 1) 1235174 414123674; 2) 222 7562592, 6143 742592; 3) 1 74553 126222 – 7415634 75369, 1 . 247553 – 3 6153 616626069; 4) 865 40204 553241289, 62 3614 554781289. О т в е т: 1) “Без наук как без рук”; 2) “Где хотенье, там и уменье”; 3) “В умной беседе – ума прикупить, а в глупой – и свой растерять”; 4) “Что людям пожелаешь, то и сам получаешь”. Занятие 2 Матричный способ кодирования и декодирования (2 часа) Занятие 2 Матричный способ кодирования и декодирования (2 часа) Ц е л и: познакомить с понятиями “матрица”, “матричный способ кодирования и декодирования”; представить возможность осуществить кодирование и декодирование самостоятельно. Х о д з а н я т и я У ч и т е л ь. Для того чтобы воспользоваться способом шифровки с помощью матриц, достаточно уметь считать на уровне 6 класса, знать порядок букв в алфавите и помнить всего 8 чисел. Расшифровать же его специалисты могут только с помощью компьютера. Матрица – это прямоугольная таблица, составленная из элементов, имеющих произвольную природу. Элементы матрицы расположены в строки и столбцы. Матрица, в которой одинаковое количество строк и столбцов, называется квадратной. Мы будем пользоваться квадратными матрицами размером 2  2. Для кодирования текста на русском языке пронумеруем все буквы по месту их расположения в алфавите – от 1 до 33, добавив знак “ (пробел, тире, точка, в общем знак, означающий все, что угодно, исходя из смысла послания) (см. табл.). Возьмем простое предложение “Я и Шифр”. Так можно было назвать данный элективный курс. Заменим каждую букву на число. Получим: 33, 34, 10, 34, 26, 10, 22, 18. Таблица а б в г д е ё ж з и й к л м н о п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я “ 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 Построим из этой последовательности две матрицы: и . Зашифруем это сообщение с помощью еще одной матрицы – назовем ее кодирующей матрицей, – по следующему правилу: и Тогда можно передать адресату следующий набор чисел: 96, 170, 53, 102, 118, 74, 70, 46. Но как адресат поймет, что за сообщение ему отправили? Для этого нужно знать декодирующую матрицу и проделать с полученным текстом следующее: Получим 33, 34, 10, 34, 26, 10, 22, 18, что после перевода в буквы будет означать “Я и Шифр”, то есть исходный текст. Таким образом, надо составлять фразы с числом букв, кратным 4, чтобы легко составлять матрицы, и знать кодирующую и декодирующую матрицы, а также правило умножения матриц. Причем для кодирующей матрицы надо подбирать свою декодирующую с помощью правил, которые нам предстоит узнать. – правило умножения матриц в общем виде: З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о в ы п о л н е н и я. З а д а н и е 1. Вычислите произведения: а) ; б) . Р е ш е н и е. а) ; б) . О т в е т: а) ; б) . Назовем матрицы равными, если на одинаковых местах у них стоят равные элементы. Очевидно, что ; это означает, что умножение матриц не подчиняется переместительному закону, действующему для любых чисел, то есть умножение матриц некоммутативно. З а д а н и е 2. Вычислите произведения: а) ; б) . Ответ: а) ; б) . В этом случае переместительный закон действует, то есть , поэтому хочется назвать матрицу – единичной матрицей по аналогии с числами . – единичная матрица. З а д а н и е 3. Вычислите произведения: а) ; б) . О т в е т: а) ; б) . Значит, произведение кодирующей и декодирующей матрицы должно быть равно единичной матрице. Этого и следовало ожидать, иначе мы бы не получили исходный текст. По аналогии с числами такие матрицы называются взаимно обратными. Обычно их обозначают А и . З а д а н и е 4. Найти матрицу, обратную . Р е ш е н и е. Обратной к данной матрице должна быть матрица такого же размера, то есть . По условию, должны выполняться равенства , то есть и . Рассмотрим первое равенство. . Последнее равенство возможно, если , , , . Решим системы уравнений: и Значит, обратная матрица . Эту пару матриц можно использовать для кодирования и декодирования. Всегда ли обратная матрица выглядит так же просто? Ответ на этот вопрос дает следующее задание. З а д а н и е 5. Найти обратную матрицу для . , то есть и Проверка: . Значит, не всякие две взаимно обратные матрицы можно использовать в качестве кодирующих и декодирующих, так как нам необходимо, чтобы все числа были целые. Попробуем в общем виде найти условие, при котором для кодирующей матрицы обратная будет содержать целые числа, то есть . Значит, , тогда или Аналогично получим, что ; ; . Значит для того, чтобы обратная матрица существовала, надо, чтобы . А чтобы в ней были целые числа, надо, чтобы . Мы получили условия существования обратной матрицы и условие, при котором ее члены – целые числа, чем и будем пользоваться в дальнейшем. З а д а н и е 6. Найти обратную матрицу для Е. Р е ш е н и е: , то есть . З а д а н и е 7. Проверить, существует ли обратная матрица, будут ли в ней целые числа, и найти ее для . Р е ш е н и е: а) обратная существует; б) целые числа будут в обратной. . и О т в е т: . З а д а н и е 8. Используя в качестве кодирующей матрицы матрицу , зашифруйте послание. “Алекс – Юстасу”. Р е ш е н и е: 1, 13, 6, 12, 19, 34, 32, 19, 20, 1, 19, 21. Получилось 11 букв и пробел между ними. Значит, их можно расположить в три матрицы: , , О т в е т: 20, 62, 7, 25, 134, 125, 51, 53, 97, 65, 39, 22. З а д а н и е 9. Расшифруйте, используя декодирующую матрицу , следующее: 60, 52, 17, 16, 58, 79, 16, 15, 48, 79, 14, 15. Р е ш е н и е: Получим 17, 16, 9, 4, 16, 15, 10, 34, 14, 15, 6, 34. Переведем в слова: п о з в о н и – м н е – .

Похожие:

	Программа элективного курса по математике «Симметрия вокруг нас» «математического» курса было изменить отношение этих учащихся к математике. Для учащихся классов с углубленным изучением ма­тематики...		Паспорт рабочей программы элективного курса стр. 4 Структура и содержание элективного курса Рабочая программа элективного курса Введение в профессию является частью образовательной программы спо, входящей в состав укрупненной...
	Рабочая программа по элективному курсу «Нестандартные методы решения задач по математике» Данная рабочая программа элективного курса по математике в 9 классе составлена на основании следующих документов		Тесты по математике ( 4 класс) Предлагаемая программа элективного курса «Текстовые задачи» актуальна в период перехода к новым образовательным стандартам по математике....
	Тестовые вопросы по Дискретной математике Предлагаемая программа элективного курса «Текстовые задачи» актуальна в период перехода к новым образовательным стандартам по математике....		Основная образовательная программа высшего профессионального образования Элективный курс по электротехнике – Знакомство с элективными курсами. Даётся краткий анализ составления элективного курса «Электротехника»....
	Контрольный (входной) тест по математике 7 класс. Класс Фамилия, имя Предлагаемая программа элективного курса «Текстовые задачи» актуальна в период перехода к новым образовательным стандартам по математике....		Элективный курс по электротехнике Дана общая форма составления элективного... Элективный курс по электротехнике – Знакомство с элективными курсами. Даётся краткий анализ составления элективного курса «Электротехника»....
	Программа элективного курса на тему: «Математика метод познания окружающего мира» Цель данного элективного курса: подготовка учащихся к продолжению образования, повышение уровня их математической культуры		Программа элективного курса «Химия и окружающая среда» Содержание элективного курса нацелено на формирование у учащихся химико-экологических знаний, умений, норм поведения и на развитие...
	Рабочая программа элективного курса в 9 классе «Графический дизайн. Adobe Photoshop» Требования к минимально необходимому уровню знаний учащихся, необходимых для успешного изучения элективного курса 6		Пояснительная записка Особенности курса Программа элективного курса... Данная программа элективного курса относится к предметно-ориентированному виду программ
	Программа элективного курса по биологии "Здоровье человека и окружающая среда" Лекционная и практическая части курса предполагают широкое использование видеофильмов, слайдов, сети Интернет, наглядных пособий....		Программа элективного курса по химии Одним из вариантов решения этой проблемы является включение в учебный план элективного курса «Строение и свойства кислородсодержащих...
	Программа «Фабрика здоровья» Программа элективного курса разработана на основе авторской программы элективного курса Л. Н. Бородачёвой, учителя биологии моу сош...		Программа элективного курса по математике для 5 класса «За станицами учебника математика» Содержание программы соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту основного общего образования