Программа для аспирантов специальности 05. 13. 18 «Математическое моделирование, вычислительные методы и комплексы программ», очная форма обучения

Примечание: * - если предусмотрены учебным планом ООП. Таблица 2 Планирование самостоятельной работы аспирантов № Модули и темы Виды СРС Объем часов обязательные дополнительные Модуль 1 1.1 Основные понятия теории случайных процессов Работа с лекционным материалом 10 1.2 Свойства траекторий. Винеровский и пуассоновсий процессы Работа с лекционным материалом 12 Всего по модулю 1: 10 Модуль 2 2.1 Линейная теория случайных процессов с конечными вторыми моментами Работа с лекционным материалом Работа с литературой 20 Всего по модулю 2: 20 Модуль 3 3.1 Дискретные цепи Маркова Работа с лекционным материалом Работа с литературой 5 3.2 Мартингалы Работа с лекционным материалом Работа с литературой 10 3.3 Марковские процессы с непрерывным временем Работа с лекционным материалом Работа с литературой 5 Всего по модулю 3: 20 Итого: 50 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами № п/п Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин Темы дисциплины необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин 1 2 3 4 5 6 1. Методы компьютерного моделирования. Статистическое моделирование + + + + + + Содержание дисциплины. Модуль 1. 1.1. Основные понятия теории случайных процессов Определение случайного процесса. Траектория процесса. Стохастически эквивалентные процессы. Сигма-алгебра цилиндрических множеств. Выборочное вероятностное пространство. Неизмеримость множества непрерывных функций отностительно цилиндрической сигма-алгебры. Сепарабельные процессы. Семейство конечномерных распределений процесса. Теорема Колмогорова о согласованных распределениях. Ковариационная функция комплекснозначного случайного процесса. Основные типы случайных процессов. Стохастически непрерывные и непрерывные в среднеквадратичном процессы. Процессы с непрерывными траекториями. Классы случайных процессов: гауссовские, марковские, стационарные, с независимыми приращениями. Однородные процессы с независимыми приращениями. Общий вид характеристической функции стохастически непрерывного однородного процесса с независимыми приращениями. 1.2. Свойства траекторий. Винеровский и пуассоновский процессы Достаточные условия существования непрерывной модификации процесса; теорема Колмогорова. Достаточные условия существования модификации процесса без разрывов второго рода; теорема Клмогорова-Ченцова. Винеровский процесс; непрерывность его траекторий с вероятностью 1. Недифференцируемость траектории винеровского процесса в любой точке. Принцип отражения. Законы повторного логарифма. Распределение функционалов: момента первого достижения заданного уровня, максимума траектории на отрезке; первого момента достижения максимума (закон арксинуса). Пуассоновский процесс; его стохастическая непрерывность. Представление пуассоновского процесса посредством случайного вариационного ряда из равномерного распределения. Ступенчатый характер траекторий пуассоновского процесса. Совместное распределение моментов скачков пуассоновского процесса. Сложный (обобщенный) пуассоновский процесс. Простейший поток однородных событий и его связь с пуассоновским процессом. Гауссовские распределения. Гауссовские процессы. Среднее значение и ковариационная функция. Броуновский мост. Модуль 2. 2.1 Линейная теория случайных процессов с конечными вторыми моментами Гильбертово пространство L2 случайных функций с конечным вторым моментом. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость в L2 траекторий процесса. Необходимые и достаточные условия непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости. Непрерывность винеровского и пуассоновского процессов в L2. Недифференцируемость винеровского и пуассоновского процессов в L2. Стационарные процессы в узком и широком смысле, примеры. Теорема Бохнера–Хинчина для стационарных процессов. Спектральная функция и спектральная плотность. Интегрирование случайных процессов по ортогональной стохастической мере (стохастический интеграл). Спектральное представление стационарных процессов. Стохастический интеграл Ито. Стохастический дифференциал. Формула Ито. Стохастические дифференциальные уравнения. Модуль 3. 3.1 Дискретные цепи Маркова Однородные цепи Маркова, примеры. Переходные вероятности. Уравнения Колмогорова–Чепмена. Классификация состояний цепи Маркова. Случайные блуждания в Zn. Неприводимая цепь Маркова. Эргодическая теорема. Стационарное распределение. Система уравнений для вычисления стационарного распределения. 3.2Маргтингалы Обобщение понятия условного математического ожидания, его свойства. Мартингалы(субмартингалы, супермартингалы). Теорема Дуба об остановке. Задача о разорении. Мартингальные неравенства. 3.3 Марковские процессы с непрерывным временем Марковский однородный процесс с непрерывным временем и дискретным множеством состояний, примеры. Марковость винеровских и пуассоновских процессов. Переходные вероятностные функции. Уравнения Колмогорова-Чепмена. Интенсивность переходов. Время пребывания процесса в данном состоянии. Непрерывность и дифференцируемость переходных вероятностных функций. Системы прямых и обратных дифференциальных уравнений Колмогорова. Решение систем уравнений Колмогорова для марковского процесса с конечным множеством состояний. Система уравнений для нахождения стационарного распределения. Процессы гибели и размножения; связь с теорией массового обслуживания; применение к расчету пропускной способности технических систем. Планы семинарских занятий. 1. Основные понятия теории случайных процессов Определение случайного процесса. Траектория процесса. Стохастически эквивалентные процессы. Семейство конечномерных распределений процесса. Ковариационная функция случайного процесса. Стохастически непрерывные и непрерывные в среднеквадратичном процессы. Классы случайных процессов: гауссовские, марковские, стационарные, с независимыми приращениями. Однородные процессы с независимыми приращениями. 2. Свойства траекторий. Винеровский и пуассоновский процессы Теоремы Колмогорова и Колмогорова-Ченцова о существовании регулярных модификаций процесса. Винеровский процесс, принцип отражения. Ковариационная функция винеровского процесса. Пуассоновский процесс, свойства траекторий, его стохастическая непрерывность и ковариационная функция. Гауссовские процессы. Среднее значение и ковариационная функция. Броуновский мост. 3. Линейная теория случайных процессов с конечными вторыми моментами Гильбертово пространство L2 случайных функций с конечным вторым моментом. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость в L2 траекторий процесса. Необходимые и достаточные условия непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости. Стационарные процессы в узком и широком смысле. Спектральная функция и спектральная плотность. Интегрирование случайных процессов по ортогональной стохастической мере (стохастический интеграл). Спектральное представление стационарных процессов. Стохастический интеграл Ито. Стохастический дифференциал. Формула Ито. 4. Дискретные цепи Маркова Однородные цепи Маркова, примеры. Переходные вероятности. Классификация состояний цепи Маркова. Необходимые и достаточные условия возвратности. Теорема солидарности. Эргодические классы состояний. Стационарное распределение. Система уравнений для вычисления стационарного распределения. 5. Мартингалы Условное математическое ожидание. Его свойства. Проверка мартингальности последовательности случайных величин. 6. Марковские процессы с непрерывным временем Переходные вероятностные функции. Уравнения Колмогорова-Чепмена. Стохастическая непрерывность. Интенсивности переходов. Время пребывания процесса в данном состоянии. Системы прямых и обратных дифференциальных уравнения Колмогорова. Решение систем уравнений Колмогорова для марковского процесса с конечным множеством состояний. Стационарное распределение и система уравнений для его отыскания. Процессы гибели и размножения. Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля). Самостоятельная работа студента играет очень большую роль в получении им высшего образования, отражаясь напрямую на качестве подготовки будущего специалиста. Именно эта часть работы развивает навыки самообразования, навыки самостоятельной работы в разных жизненных аспектах, стремление к саморазвитию и познанию. Закрепляя пройденный материал, в дополнение к конспектам лекционных и практических занятий рекомендуется использовать литературу и другие источники, примерный перечень которых имеется в разделе 11. Время, систематичность, прилежность при подготовке к учебным занятиям и контрольным мероприятиям различного характера напрямую влияют на достижения и успехи студента, которые в дальнейшем при контроле знаний количественно выражаются в баллах и отметках. Самостоятельная работа студентов организуется в двух формах: - аудиторной – на лекционных и практических занятиях при решении поставленных индивидуальных задач; - внеаудиторной – проработка лекций, изучение рекомендованной литературы; подготовка к контрольным работам, коллоквиуму. Задачи для подготовки к контрольным работам: Пусть , , где случайная величина , . Найти конечномерные распределения процесса . Найти ковариационные функции винеровского и пуассоновского процессов. Пусть , , где . Вычислить вероятность того, что процесс хотя бы для одного . Пусть - случайные величины, причем, . Найти вероятность того, что траектории процесса , возрастают. Пусть , – векторный процесс, составленный из независимых винеровских процессов. Доказать, что с вероятностью единица этот процесс выйдет из круга произвольного радиуса R с центром в (0,0). Пусть - процесс с независимыми приращениями. Доказать, что функция возрастает. Пусть X(t) = e–t W(e2t), tR, где W – винеровский процесс, константа >0. Доказать, что X – стационарный гауссовский процесс и найти его спектральную плотность. На вероятностном пространстве , где , -алгебра борелевских множеств и - мера Лебега, заданы случайные величины и Найти Пусть независимые случайные величины имеют пуассоновское распределение с параметром , . Доказать, что последовательность , образует мартингал. Независимые случайные величины имеют одно и тоже дискретное распределение: . При каком значении последовательность будет мартингалом. Пусть – последовательность, состоящая из независимых случайных величин со средним 0 и дисперсией 2. Найти спектральную плотность процесса Xn = (1/4)Xn-1 +(1/2)Xn-3+n, nZ, где величины n, nZ, независимы и одинаково распределены с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Решить стохастическое дифференциальное уравнение dXt=aX(t)dt +bX(t)dWt, где Wt, t0 – винеровский процесс, a,b – константы, а X(0)=X0.

Похожие:

	Рабочая программа составлена в соответствии с фгт к структуре основной... Методы компьютерного моделирования. Статистическое моделирование Учебно-методический комплекс рабочая программа для аспирантов специальности...		Рабочая программа учебной дисциплины современные технологии математического... Специальность научных работников: 05. 13. 18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
	Рабочая программа учебной дисциплины современные технологии программирования... Специальность научных работников: 05. 13. 18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»		Математическое моделирование термически нагруженных конструкций котельных агрегатов Специальность: 05. 13. 18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
	Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности... В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: функциональный анализ, теория дифференциальных уравнений, теория управления,...		Программа адресована соискателям, ведущим исследования в рамках специальности... Овладение предлагаемым теоретическим материалом закладывает методологию поиска решений в выбранных областях знаний и создает условия...
	Разработка и исследование моделей поведения динамических объектов... Специальность: 05. 13. 18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ		Разработка алгоритмов поиска и обследования искусственных протяженных... Специальность: 05. 13. 18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
	Построение и исследование дискретной математической модели безынерционных... Специальность: 05. 13. 18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ		Учебно-методический комплекс рабочая программа для студентов направлений:... Рабочая программа для студентов направлений: 011200. 62 "Физика" (очная форма обучения), 011800. 62 "Радиофизика" (очная форма обучения),...
	Рабочая программа для студентов специальности 010500. 65 Математическое... Федеральное Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования		Доклад ронжина Андрея Леонидовича по диссертационной работе «Разработка... «Разработка адаптивного метода робастного понимания слитной речи на основе интегральной обработки данных», представленной на соискание...
	Рабочая программа для студентов 010800. 62 специальности «Механика... Мосягин В. Е. Теория вероятностей, математическая статистика, случайные процессы. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа...		Рабочая программа для аспирантов специальности 05. 04. 12 Турбомашины... Рассмотрено на заседании кафедры механики многофазных систем «03»сентября 2011 г., протокол №2
	Рабочая программа для аспирантов специальности 05. 04. 12 Турбомашины... Рассмотрено на заседании кафедры механики многофазных систем «03»сентября 2011 г., протокол №2		Учебно-методический комплекс по дисциплине социология специальность... Гос впо по специальности 230101. 65 Вычислительные машины, комплексы, системы и сети, утвержденный Министерством образования РФ «27»...