ПРОГРАММА
вступительных испытаний по направлению подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре
01.06.01 Математика и механика
специальность 01.01.01 Вещественный комплексный и функциональный анализ
Математический анализ
Непрерывность. Локальные свойства непрерывных функций. Глобальные свойства непрерывных функций. Теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции. Теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции.
Дифференцируемость. Производная. Дифференциал. Градиент. Оператор – производная. Локальные свойства одномерных и многомерных дифференцируемых функций. Достаточные условии дифференцируемости многомерных функций. Глобальные свойства одномерных дифференцируемых функций. Теоремы о конечных прращениях.
Формула Тейлора для одномерных и многомерных функций. Представление формулой Тейлора базисных элементарных функций.
Экстремум одномерных и многомерных функций. Необходимые и достаточные условия экстремума.
Теорема о диффеоморфизме. Теорема о неявной функции.
Интеграл Римана одномерной функции. Линейность монотонность аддитивность интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям. Теоремы о среднем значении для интеграла.
Эйлеровы интегралы. Связь между гамма и бета функциями. Формула дополнений. асимптотическое поведение гамма функции.
Многомерный интеграл Римана. Вычисление многомерного интеграла сведением к повторному.
Замена переменной в многомерном интеграле.
Криволинейные интегралы. Формула Грина.
Интегралы по поверхности. Формулы Стокса и Остроградского - Гаусса.
Числовые ряды. Признаки сходимости положительных рядов. Признаки сходимости рядов с произвольными членами.
Функциональные последовательности и ряды. Поточечная и равномерная сходимость. Предельный переход под знаком интеграла Римана.
Степенные ряды. Равномерная сходимость. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Представление степенными рядами базисных элементарных функций.
Ряд Фурье функции по тригонометрической системе. Неравенство Бесселя. Стремление к нулю коэффициентов Фурье. Достаточные условия поточечной сходимости.
Суммирование рядов Фурье средними арифметическими. Равномерная сходимость сумм Фейера. Равнство Парсеваля.
Функциональный анализ
Мера Лебега на прямой и в арифметическом n-мерном пространстве. Монотонность и счетная аддитивность меры Лебега.
Измеримые функции. Сходимость по мере и почти всюду. Теоремы Егорова и Лузина.
Интеграл Лебега. Счетная аддитивность интеграла Лебега.
Предельный переход под знаком интеграла Лебега.
Линейные нормированные пространства. Теорема Хана Банаха.
Теорема Банаха - Штейнгауза.
Теоремы об обратном операторе, открытом отображении и замкнутом графике.
Компактные операторы в линейных нормированных пространствах. Альтернатива Фредгольма.
Гильбертовы пространства. Теорема о проекции. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве.
Самосопряженные компактные операторы в гильбертовом пространстве. Теорема Гильберта – Шмидта.
Теория функций комплексной переменной
Интегральная теорема Коши и её обобщения. Обращение интегральной теоремы Коши (теорема Мореры). Интегральная формула Коши. Теорема о среднем. Принцип максимума модуля. Лемма Шварца. Интеграл типа Коши, его предельные значения. Формулы Сохоцкого.
Ряды аналитических функций. Особые точки. Вычеты. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций; теорема Вейерштрасса. Представление аналитических функций степенными рядами, неравенства Коши. Нули аналитических функций. Теорема единственности. Изолированные особые точки (однозначного характера). Теорема Коши о вычетах. Вычисление интегралов с помощью вычетов. Принцип аргумента. Теорема Руше. Приближение аналитических функций многочленами.
Целые и мероморфные функции. Рост целой функции. Порядок и тип. Теорема Вейерштрасса о целых функциях с заданными нулями; разложение целой функции в бесконечное произведение. Случай целых функций конечного порядка, теорема Адамара. Теорема Миттаг-Леффлера о мероморфных функциях с заданными полюсами и главными частями.
Конформные отображения. Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями. Принцип сохранения области. Критерии однолистности. Теорема Римана. Теоремы о соответствии границ при конформных отображениях.
Гармонические функции. Гармонические функции, их связь с аналитическими. Инвариантность гармоничности при конформной замене переменных. Бесконечная дифференцируемость. Теорема о среднем и принцип максимума. Теорема единственности. Задача Дирихле. Формула Пуассона для круга.
Геометрическое определение квазиконформного диффеоморфизма. Задача Грёча. Аффинное отображение. Аналитический подход к понятию квазиконформного диффеоморфизма. Примеры квазиконформных диффеоморфизмов.
Основные аналитические свойства квазиконформных диффеоморфизмов. Экстремальная длина семейства кривых, свойства. Примеры. Модуль двусвязной области. Пример с кольцом. Общее геометрическое определение квазиконформного отображения. Основные теоремы.
Литература
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1981.
Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М. , 1986.
Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М., 1966.
Альфорс Л.В. Лекции по квазиконформным отображениям. М., 1969.
Шеретов В.Г. Классическая и квазиконформная теория римановых поверхностей. Москва – Ижевск. Регулярная и хаотческая динамика. 2007.
Милнор Дж. Голоморфная динамика. Ижевск, 2000.
Шеффер Топологические векторные пространства. М., 19
Рудин У. Функциональный Анализ. М., 1975.
специальность 01.01.06
Математическая логика, алгебра и теория чисел.
Общие требования
Поступающий в аспирантуру должен знать университетские курсы алгебры, математической логики, теории алгоритмов, теории сложности, теории автоматов и формальных языков. Поступающий должен уметь читать научную литературу по данной специальности на русском и английском языках, уметь пользоваться справочными изданиями и электронными ресурсами для поиска нужной информации.
Содержание вступительных испытаний
1. Конечные автоматы и регулярные языки. Способы задания регулярных языков и их эквивалентность. Замкнутость класса регулярных языков относительно теоретико-множественных операций и гомоморфизмов.
Теорема о разрастании, доказательство неавтоматности языков. [1]
2. Магазинные автоматы и контекстно свободные грамматики. Эквивалентность задаваемых ими языков. Теорема Огдена, доказательство того, что язык не является контекстно свободным. Незамкнутость класса контекстно свободных языков относительно дополнений и пересечений. [1]
3. Графы. Пути на графах. Эйлеровы, гамильтоновы графы. Ориентированные и неориентированные графы. Алгоритмы на графах: поиск пути, поиск кратчайшего пути, раскраска. Деревья. Обход деревьев в глубину и в ширину. [1]
4. Машины Тьюринга, операции суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации. Эквивалентность этих моделей алгоритма. Частично рекурсивные, примитивно рекурсивные, общерекурсивные функции. Универсальные частично рекурсивные функции. [2]
5. Разрешимые и неразрешимые проблемы. Сводимость. Неразрешимость проблем самоприменимости и остановки. Рекурсивные и рекурсивно-перечислимые множества. [2]
6. Сложность вычислений. Обобщения машин Тьюринга, инвариантность сложности с точностью до полинома. Классы P и NP. Сводимость за полиномиальное время. Примеры NP-полных проблем. [2]
7. Логика высказываний. Синтаксис исчисления высказываний. Семантика логики высказываний. Эквивалентность формул. Следование. Непротиворечивость и полнота исчисления высказываний. Конъюнктивные и дизъюнктивные нормальные формы. [2]
8. Логика предикатов. Термы, формулы, кванторы, свободные и связанные вхождения переменных. Алгебраические системы, значение терма и истинность формулы на состоянии. Основные эквивалентности логики предикатов. Предваренные формулы. Изоморфизмы и частичные изоморфизмы. Игры Эренфойхта. Примеры неэлементарных свойств систем.[2]
9. Элементы линейной алгебры: линейные пространства над полями, линейные функции и операторы. Линейная независимость векторов. Конечномерные пространства. Базис и размерность. Представление линейных преобразований матрицами. Определители. Системы линейных уравнений. Скалярное произведение векторов. Евклидовы и унитарные
пространства. Линейные, билинейные и квадратичные формы. [3]
10. Основные структуры алгебры: полугруппы, группы, кольца, поля. группы перестановок, линейных преобразований. Циклические группы. Свободные группы и определяющие соотношения. Числовые кольца и поля.
Кольца матриц и многочленов. Простые и обратимые элементы колец.
Разложение на простые множители. [3]
11. Декартовы произведения, гомоморфизмы, ядра гомоморфизмов,
фактор-системы. Подпространства, подгруппы, теорема Лагранжа.
Нормальные подгруппы, идеалы. Строение абелевых групп. Циклич
ность мультипликативной группы конечного поля. [3]
Литература
[1] Дехтярь М.И. Дискретная математика. М.: Бином, 2007.
[2] Столбоушкин А.П., Тайцлин М.А., Математические основы информатики.
Тверь: ТвГУ, 1998.
[3] Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Физматлит, 2001.__ |
