МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина»
-
Утверждено на заседании
Ученого Совета
Тамбовского государственного университета имени
Г.Р. Державина
протокол № 35 от
«25» марта 2014 г.
Ректор В. М. Юрьев
|
ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ
ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ
НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИХ КАДРОВ В АСПИРАНТУРЕ
01.06.01 «МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА»
ПРОФИЛЬ
«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ »
КВАЛИФИКАЦИЯ: ИССЛЕДОВАТЕЛЬ. ПРЕПОДАВАТЕЛЬ-ИССЛЕДОВАТЕЛЬ
Тамбов 2014
Программа вступительных испытаний по направлению подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре 01.06.01 «Математика и механика», по профилю «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление» разработана профессорско-преподавательским составом кафедры алгебры и геометрии, обсуждена и утверждена на заседании кафедры алгебры и геометрии ТГУ имени Г.Р. Державина.
Протокол № 7 от 13 марта 2014 г.
В программе представлены вопросы к вступительным испытаниям по направлению подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре 01.06.01 «Математика и механика», по профилю «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление».
Программа вступительных испытаний сформирована на основе федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования по программам как специалитета, так и магистратуры, и дает возможность оценить качество знаний поступающих в аспирантуру по данному профилю.
Структура программы
1. Цели и задачи вступительных испытаний
Цель вступительного испытания – оценка базовых знаний соискателя с точки зрения их достаточности для научной работы по профилю «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление» и выявление наличия у него мотивации и способностей к аналитической, научной работе.
Основные задачи испытания:
проверка базовых знаний у поступающего в аспирантуру по данному профилю;
оценить у поступающего в аспирантуру его потенциальные возможности, обеспечивающие усвоение и развитие компетенций исследователя, преподавателя-исследователя;
выяснить мотивы поступления и определить область научно-практических и личных интересов поступающего.
2. Требования к знаниям и умениям поступающего
В соответствии с предъявляемыми требованиями по направлению подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре 01.06.01 «Математика и механика», по профилю «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление» поступающий должен:
быть эрудированным, обладать высокой культурой математического мышления;
знать теоретические основы функционального и математического анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, алгебры и геометрии;
иметь представление об основных современных тенденциях и направлениях развития мировой и отечественной математики;
владеть методикой и технологией создания и использования математических моделей в различных сферах жизнедеятельности общества: естественнонаучных, экономических, управленческих, социальных, информационных и др.;
уметь обоснованно выбирать и эффективно использовать на практике образовательные и информационные технологии.
Умения и навыки:
владение навыками самостоятельной научно-исследовательской и научно-педагогической деятельности, требующими глубоких математических знаний;
умение определять проблему, формулировать гипотезы и решать задачи, возникающие в ходе научно-исследовательской и педагогической деятельности и требующие углубленных математических знаний;
умение формировать план исследования, выбирать необходимые методы исследования, модифицировать существующие и разрабатывать новые методы исходя из задач конкретного исследования;
умение обрабатывать анализировать и осмысливать полученные результаты;
владение навыками ведения библиографической работы с привлечением современных информационных технологий;
умение представлять итоги проделанной работы в виде отчетов, рефератов, статей, оформленных в соответствии с имеющимися требованиями, с привлечением современных средств редактирования и печати.
3. Содержание программы (аннотации тем)
Часть I. Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных
Понятие обыкновенного дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Интегральные кривые.
Интегрируемые типы дифференциальных уравнений.
Существование и единственность решения дифференциальных уравнений. Особые решения.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского.
Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка.
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
Нормальная форма дифференциальных уравнений. Системы линейных дифференциальных уравнений.
Линейные однородные системы. Фундаментальные системы решений.
Неоднородные системы линейных уравнений.
Линейные системы с постоянными коэффициентами.
Первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Задача Коши и начально-краевые задачи для волнового уравнения и методы их решения. Свойства решений (характеристический конус, конечность скорости распространения волн, характер переднего и заднего фронтов волны и др.)
Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона и методы их решения. Свойства решений (принцип максимума, гладкость, теоремы о среднем и др.)
Задача Коши и начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности и методы их решения. Свойства решений (принцип максимума, бесконечная скорость распространения, функция источника и др.)
Нелинейные гиперболические уравнения. Основные свойства.
Часть II. Функциональный анализ и теория функциональных пространств
Элементы теории множеств. Отображения. Разбиение на классы. Эквивалентность множеств. Понятие мощности.
Задача построения меры. Определение меры Лебега. Внешняя и внутренняя мера ограниченного множества.
Определение и свойства измеримых функций. Сходимость по мере.
Интеграл Лебега. Определение, свойства. Суммируемые функции.
Метрические пространства. Непрерывность отображения в метрических пространствах.
Сходимость в метрических пространствах. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах.
Полные метрические пространства. Теорема Бэра.
Принцип сжимающих отображений. Теорема Банаха и ее применение.
Компактность метрических пространств. Теорема Арцела.
Линейно нормированные пространства. Линейные операторы и функционалы.
Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана-Банаха.
Евклидовы пространства. Ортогональные системы. Ортогонализация.
Ряд Фурье в ортогональной системе. Сходимость ряда Фурье. Неравенство Бесселя. Полные и замкнутые ортогональные системы. Равенство Парсеваля.
Гильбертово пространство. Изоморфизм счетномерных и гильбертовых пространств.
Подпространства. Ортогональные дополнения. Проекция векторов на пространство. Прямая сумма.
Сопряженные пространства. Общий вид линейных функционалов в гильбертовом пространстве.
Сопряженные и самосопряженные операторы. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора.
Тригонометрическая система. Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье.
Ряд Фурье в комплексной форме. Многочлены Лежандра.
Интеграл Фурье. Интеграл Фурье в комплексной форме.
Преобразование Фурье, его свойства.
4. Вопросы к вступительным испытаниям
Понятие обыкновенного дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Интегральные кривые.
Интегрируемые типы дифференциальных уравнений.
Существование и единственность решения дифференциальных уравнений. Особые решения.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского.
Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка.
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
Нормальная форма дифференциальных уравнений. Системы линейных дифференциальных уравнений.
Линейные однородные системы. Фундаментальные системы решений.
Неоднородные системы линейных уравнений.
Линейные системы с постоянными коэффициентами.
Первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Задача Коши и начально-краевые задачи для волнового уравнения и методы их решения. Свойства решений (характеристический конус, конечность скорости распространения волн, характер переднего и заднего фронтов волны и др.)
Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона и методы их решения. Свойства решений (принцип максимума, гладкость, теоремы о среднем и др.)
Задача Коши и начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности и методы их решения. Свойства решений (принцип максимума, бесконечная скорость распространения, функция источника и др.)
Нелинейные гиперболические уравнения. Основные свойства.
Элементы теории множеств. Отображения. Разбиение на классы. Эквивалентность множеств. Понятие мощности.
Задача построения меры. Определение меры Лебега. Внешняя и внутренняя мера ограниченного множества.
Определение и свойства измеримых функций. Сходимость по мере.
Интеграл Лебега. Определение, свойства. Суммируемые функции.
Метрические пространства. Непрерывность отображения в метрических пространствах.
Сходимость в метрических пространствах. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах.
Полные метрические пространства. Теорема Бэра.
Принцип сжимающих отображений. Теорема Банаха и ее применение.
Компактность метрических пространств. Теорема Арцела.
Линейно нормированные пространства. Линейные операторы и функционалы.
Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана-Банаха.
Евклидовы пространства. Ортогональные системы. Ортогонализация.
Ряд Фурье в ортогональной системе. Сходимость ряда Фурье. Неравенство Бесселя. Полные и замкнутые ортогональные системы. Равенство Парсеваля.
Гильбертово пространство. Изоморфизм счетномерных и гильбертовых пространств.
Подпространства. Ортогональные дополнения. Проекция векторов на пространство. Прямая сумма.
Сопряженные пространства. Общий вид линейных функционалов в гильбертовом пространстве.
Сопряженные и самосопряженные операторы. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора.
Тригонометрическая система. Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье.
Ряд Фурье в комплексной форме. Многочлены Лежандра.
Интеграл Фурье. Интеграл Фурье в комплексной форме.
Преобразование Фурье, его свойства.
5. Рекомендуемая литература
Основная литература
Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: изд-во МЦНМО , 2010.
Винберг, Э.Б. Курс алгебры, М., изд-во МЦНМО, 2011.
Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М., Наука, 2014.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., изд-во МЦНМО, 2012.
Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч.1,2,3., М., изд-во МЦНМО, 2010.
Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 2013.
Никольский С.М. «Курс математического анализа», М., Наука, 2011
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 2012.
Тихонов А.Н., Самарский А.А.. Уравнения математической физики, М.: Наука,2012 .
Дополнительная литература
Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 2012.
Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2013.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. Учебник для ВУЗов. Изд. 5-е, Физматлит, 2012.
Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 2010.
Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 2011.
Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 2010., М.
|
