Случайная величина X, которая равна длительности работы элемента, имеет плотность распределения µ §. Найти: среднее время работы элемента, вероятность того, что элемент проработает не менее 400 часов.
Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.
Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 µ § воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.
Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов равно 5000.
Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 5 абонентов?
Имеется общество из 500 человек. Найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна 1/365.
В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 с испускало в среднем 3,87 µ §-частицы. Найти вероятность того, что за 1 с это вещество испустит хотя бы одну µ §-частицу.
Средняя продолжительность телефонного разговора равна 3 мин. Найти вероятность того, что произвольный телефонный разговор будет продолжаться не более 9 минут, считая, что время разговора является случайной величиной X, распределенной по показательному закону.
Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина X, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.
Пусть X ЁC случайная величина, подчиненная нормальному закону: µ §. Какова вероятность того, что при четырех испытаниях случайная величина X попадет хотя бы один раз в интервал (1, 2)?
Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному закону с параметром µ § мм. Найти вероятность того, что измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по модулю 25 мм.
Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами µ § г, µ § г. Найти вероятность того, что вес одной пойманной рыбы будет от 300 до 425 г.
Рост взрослых мужчин является случайной величиной X, распределенной по нормальному закону: µ §. Найти плотность вероятности, функцию распределения этой случайной величины; вероятность того, что ни один из 3 наудачу выбранных мужчин не будет иметь рост менее 180 см.
Пусть диаметр изготовляемой в цехе детали является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами µ § см, µ §см. Найти вероятность того, что размер диаметра взятой наудачу детали отличается от математического ожидания µ § не более чем на 1 мм.
Цех изготовляет детали, длины которых представляют собой случайную величину X, распределенную по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение величины X соответственно равны 15 и 0,1 см. Найти вероятность того, что отклонение длины детали в ту или другую сторону от математического ожидания не превзойдет 0,25 см.
Длина детали, изготовленной на станке, есть нормальная случайная величина с математическим ожиданием 45 см и средним квадратическим отклонением 0,4 см. Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16.
Известно, что средний расход удобрений на один гектар пашни составляет 80 кг, а среднее квадратическое отклонение расхода равно 5 кг. Считая расход удобрений нормально распределенной случайной величиной, определить диапазон, в который вносимая доза удобрений попадает с вероятностью 0,98.
Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X ЁC количество сыра, используемого для изготовления 100 бутербродов, ЁC равно 1 кг. Известно, что с вероятностью 0,96 расход сыра на изготовление 100 бутербродов составляет от 900 до 1100 г. Определить среднее квадратическое отклонение расхода сыра на 100 бутербродов.
Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со средним квадратическим отклонением µ § мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.
Ответы
Законы распределения случайных величин. Числовые характеристики случайных величин
µ §, µ § 2.µ §.
µ §. 4.µ §, µ §;µ §.
µ §, µ §; µ §.
µ §, µ §; µ §; µ §.
µ §, µ §; µ §; µ §.
а) µ §; б) µ §; µ §.
а) µ §
в) µ §; µ §; г) µ §.
10. µ §; µ §; µ §. 11. µ §; µ §; µ §.
12. а)µ §; б) µ §; в) µ §; г) µ §.
13. а) µ §;
б) µ §; µ §;
в) µ §; µ §; µ §.
14. а) µ §;
б) µ §; µ §; µ §; в) µ §.
15. а)µ §; µ §; в)µ §.
µ §и µ § не существуют, так как выражающие их интегралы расходятся.
16. а) µ §;
б) µ §; µ §; µ §;
в) µ §; µ §; µ §; µ §.
17. µ §; µ §; µ §. 18. µ §; µ §.
19. µ §; µ §; µ §.
20. µ §.
Важнейшие законы распределения случайных величин
µ §; µ §. 2. µ §. 3. µ §. 4. µ §. 5. µ §. 6. µ §; µ §. 7. µ §.
8. µ § мин.; µ § мин. 9. µ §; µ §. 10. µ §. 11. µ §. 12. µ §; µ §. 13. µ §. 14. µ §. 15. µ §. 16. µ §. 17. µ §. 18. µ §. 19. µ §. 20. µ §; µ §; µ §дней. 21. µ §. 22. µ §. 23. µ §. 24.µ §; µ §. 25. µ §. 26. µ §. 27. µ §. 28. µ §. 29. µ §г. 30. µ §.
Приложения
Приложение 1
Значения функции Лапласа µ §
Приложение 2
Значения функции Пуассона µ §
Литература
Вентцель А. Д. Теория вероятностей. ЁC М.: Наука, 1964. ЁC 576 с.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. ЁC М.: Наука, 1988. ЁC 400 с.
Гурский Е. И. Теория вероятностей с элементами математической статистики. ЁC М.: Высшая школа, 1971. ЁC 328 с.
Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. ЁC М.: Айрис-пресс, 2008. ЁC 288 с.
Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. ЁC М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. ЁC 576 с.
Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К. Н. Лунгу, В. П. Норин, Д. Т. Письменный, Ю. А. Шевченко, Е. Д. Куланин, под ред. С. Н. Федина. ЁC 7-е изд. ЁC М.: Айрис-пресс, 2009. ЁC 592 с.
Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. ЁC М.: Наука, 1969. ЁC 366 с.
Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / Под ред. А. А. Свешникова. ЁC М.: Наука, 1970. ЁC 656 с.
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я.. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2: Учебное пособие для студентов втузов. ЁC М.: Высшая школа, 1980. ЁC 365 с.
Лихолетов И. И., Мацкевич И. П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. ЁC Минск: Вышэйшая школа, 1969 ЁC 456 с.
Кручкович Г. И., Мордасова Г. М., Сулейманова Х. Р. и др. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики. Учебное пособие для втузов. ЁC М.: Высшая школа, 1970 ЁC 512 с.
Агапов Г. И. Задачник по теории вероятностей. ЁC М.: Высшая школа, 1986 ЁC 86 с.
