| Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «Дискретная математика» для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
|
Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" Факультет Бизнес информатики
Программа дисциплины
Дискретная математика
для направления 080500.62 «Бизнес-информатика» подготовки бакалавра
Автор программы: Лебедев Анатолий Николаевич, к.ф.-м.н.,с.н.с., alebedev@hse.ru, lan@lancrypto.com
Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики г.
Зав. кафедрой Алескеров Ф.Т.
Рекомендована секцией УМС «___»____________ 20 г
Председатель
Утверждена Ученым Советом факультета экономики «___»_____________20 г.
Ученый секретарь
Москва, 2012 Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
1Область применения и нормативные ссылки Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 080500.62 «Бизнес-информатика», подготовки бакалавра, изучающих дисциплину «Дискретная математика».
Программа разработана в соответствии с требованиями следующих документов:
Образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория «Национальный исследовательский университет»;
Рабочим учебным планом университета подготовки магистра по направлению 080500.62 «Бизнес-информатика» подготовки бакалавра, утвержденным в 2011 г.
2Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины «Дискретная математика» являются
ознакомление студентов с основами современной дискретной математики;
формирование навыков работы с абстрактными понятиями математики;
знакомство с прикладными задачами дисциплины.
3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины В результате освоения дисциплины студент должен:
Знать основы дискретной математики, необходимые для дальнейшего изучения последующих дисциплин, предусмотренных базовым и рабочим учебными планами;
Уметь применять идеи и методы современной дискретной математики для решения задач, возникающих в дисциплинах, их использующих;
Владеть навыками применения современного инструментария дискретной математики.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции: Компетенция
| Код по ФГОС / НИУ
| Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)
| Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции
| Общенаучная
| ОНК-1
| Способность к анализу и синтезу на основе системного подхода
| Стандартные (лекционно-семинарские)
| Общенаучная
| ОНК-2
| Способность перейти от проблемной ситуации к проблемам, задачам и лежащим в их основе противоречиям
| Стандартные (лекционно-семинарские)
| Общенаучная
| ОНК-3
| Способность использовать методы критического анализа, развития научных теорий, опровержения и фальсификации, оценить качество исследований в некоторой предметной области
| Стандартные (лекционно-семинарские)
| Общенаучная
| ОНК-4
| Готовность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы дискретной математики и моделирования, теоретического и экспериментального исследования при работе в какой-либо предметной области
| Стандартные (лекционно-семинарские)
| Общенаучная
| ОНК-5
| Готовность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь их для решения соответствующий аппарат дисциплины
| Стандартные (лекционно-семинарские)
| Общенаучная
| ОНК-6
| Способность приобретать новые знания с использованием научной методологии и современных образовательных и информационных технологий
| Стандартные (лекционно-семинарские)
| Общенаучная
| ОНК-7
| Способность порождать новые идеи (креативность)
| Стандартные (лекционно-семинарские)
| Инструментальные
| ИК-2
| Умение работать на компьютере, навыки использования основных классов прикладного программного обеспечения, работы в компьютерных сетях, составления баз данных
| Стандартные (лекционно-семинарские)
| Профессиональные
| ПК-1
| Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой
| Стандартные (лекционно-семинарские)
| Профессиональные
| ПК-2
| Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат
| Стандартные (лекционно-семинарские)
| Профессиональные
| ПК-4
| Способность критически оценивать собственную квалификацию и её востребованность, переосмысливать накопленный практический опыт, изменять при необходимости вид и характер своей профессиональной деятельности
| Стандартные (лекционно-семинарские)
| Профессиональные
| ПК-8
| Способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая разработку математических моделей, алгоритмических и программных решений
| Стандартные (лекционно-семинарские)
|
4Место дисциплины в структуре образовательной программы Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин ОПД.00 «Общие профессиональные дисциплины направления» и блоку дисциплин СД.00 «Специальные дисциплины» и является базовой.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
Начала математического анализа;
Геометрия;
Алгебра;
Начала информатики.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями в рамках программы средней школы:
Знаниями основных определений и теорем перечисленных выше дисциплин;
Навыками решения типовых задач этих дисциплин.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
Математический анализ;
Линейная алгебра и аналитическая геометрия;
Теория вероятностей и математическая статистика;
Дискретные модели;
Теория игр;
Методы оптимизации.
5Тематический план учебной дисциплины №
| Название раздела
| Всего часов
| Аудиторные часы
| Самостоятельная работа
| Лекции
| Семинары
| Практические занятия
|
| Элементы теории чисел:
- Теория делимости;
- Алгоритм Евклида, вычисление в кольце вычетов ℤn;
- Квадратичные вычеты.
| 22
| 8
| 8
|
| 6
|
| Алгебра:
- Группы, группы подстановок n;
- Кольца и поля;
- Конечные кольца и поля.
| 16
| 4
| 6
|
| 6
|
| Теория сложности:
- Сложные вычислительные задачи;
- Асимптотические оценки сложности: О(n), o(n), Ω(n), (n);
- Классы P и NP.
| 6
| 2
| 2
|
| 2
|
| Математические алгоритмы современной криптографии:
- Протокол Диффи-Хеллмана;
- Система открытого шифрования и электронной подписи RSA;
- Современные стандарты шифрования данных: DES, AES, ГОСТ Р 28147-89;
- Алгоритмы хэширования данных: SHA-1, SHA-2, SHA-3, ГОСТ Р 34.11-94, ГОСТ Р 34.11-2012 («Стрибог»);
- Современные стандарты электронной подписи на основе вычислений в группе точек эллиптической кривой: ECDSA, ГОСТ Р 34.10-2001, ГОСТ Р 34.10-2012.
| 4
| 4
|
|
|
|
| Алгоритмы генерации больших простых чисел и псевдопростых чисел.
Открытые проблемы современной дискретной математики.
Зачет
| 2
2
2
| 2
2
|
| 2
|
|
| Итого
| 54
| 22
| 16
| 2
| 14
|
| 6Формы контроля знаний студентов Тип контроля
| Форма контроля
| 1 модуль
| Параметры **
| 1
|
|
| Текущий
(неделя)
| Контрольная работа
| 1
|
|
| Письменная работа 80 минут
|
|
|
|
| Домашнее задание
| 8
|
|
| Исполнение в течение недели
| Итоговый
| Зачетная работа
| 1
|
|
| Письменный зачет по всем разделам курса.
| 6.1Критерии оценки знаний, навыков Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, разобранные на семинарских занятиях. При этом для получения зачета необходимо предоставить, как минимум, 80 % решенных в домашних заданиях задач.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
7Содержание дисциплины Тема I. Элементы теории чисел
Понятие натурального и целого числа. Делимость целых чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное целых чисел. Простые числа, решето Эратосфена. Разложение целого числа на простые множители. Единственность разложения на простые множители.
Деление целых чисел с остатком. Алгоритм Евклида, расширенный алгоритм Евклида.
Вычисления по модулю целого числа n, свойства арифметики кольца ℤn. Китайская теорема об остатках. Квадратичные вычеты, закон взаимности Гаусса.
Литература: основная: [1], с. . Тема II. Алгебра
Алгебраические системы. Группоиды, полугруппы, моноиды, группы. Примеры: полугруппа (ℕ, +), моноид (ℕ, *), группы (ℤ, +), (ℚ, +), (ℚ\0, *), (ℝ, +), (ℝ\0, *), (ℂ, +), (ℂ\0, *), (n, ℝ).
Конечные группы, абелевы группы, циклические группы. Задание групповой операции таблицей Кэли.
Подгруппы. Смежные классы группы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Нормальные делители группы, фактор группы, гомоморфизмы групп. Теоремы о гомоморфизмах. Примеры для ℤn.
Подстановки. Группы подстановок n, цикловая запись подстановки, порядок подстановки, представление конечной группы группой подстановок.
Кольца и поля. Арифметика конечных колец и полей. Группа обратимых элементов кольца и поля. Кольцо многочленов над полем, неприводимые и примитивные многочлены. Обратные элементы в фактор кольце кольца многочленов над конечным полем. Поля Галуа, группы Галуа.
Литература: основная: [2], с. . Тема III. Теория сложности
Понятие сложности вычислительной задачи. Примеры сложных вычислительных задач: выполнимость, коммивояжер, декодирование линейного кода, задача об укладке ранца и т.д.
Асимптотические оценки сложности, классы O(n), o(n), Ω(n), (n).
Классы P и NP, NP-сложные задачи, NP-полные задачи и попытки их использования для построения стойких криптографических алгоритмов.
Литература: основная: [3], с. . Тема IV. Математические алгоритмы современной криптографии
- Криптография с открытым ключом, протокол Диффи-Хеллмана;
- Система открытого шифрования и электронной подписи RSA;
- Современные стандарты шифрования данных: DES, AES, ГОСТ Р 28147-89;
- Алгоритмы хэширования данных: национальные стандарты США SHA-1, SHA-2, SHA-3, государственные стандарты России ГОСТ Р 34.11-94, ГОСТ Р 34.11-2012 («Стрибог»);
- Современные стандарты электронной подписи на основе вычислений в группе точек эллиптической кривой: ECDSA, ГОСТ Р 34.10-2001, ГОСТ Р 34.10-2012
Литература: основная: [4], с. . Тема V. Генерация больших простых чисел. Открытые проблемы современной дискретной математики.
Датчики случайных чисел, программные генераторы псевдослучайных чисел.
Генераторы больших простых и псевдо простых чисел.
Оценка сложности вычислительных задач: разложения на множители целого числа (FACT), задачи дискретного логарифмирования в конечной циклической группе (DLOG), задача декодирования общего линейного кода (DECODE), решение системы полиномиальных уравнений от нескольких переменных (POLYSYS), задача об укладке ранца (KNAPSACK).
Литература: основная: [5], с.; дополнительная: [], с. .
8Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента 8.1Тематика заданий текущего контроля Примерные вопросы/ задания для домашнего задания:
Вопросы:
Тематика [Укажите название текущего контроля - курсовые, эссе или другое] :
Тема
Тема [Укажите название текущего контроля - эссе, рефераты или другое] для каждого студента утверждается преподавателем в индивидуальном порядке.
8.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу или к каждому промежуточному и итоговому контролю для самопроверки студентов.
8.3Примеры заданий промежуточного /итогового контроля По желанию автора программы, приводятся примеры билетов с вопросами и задачами, заданий для зачета или экзамена, тренировочные тесты по дисциплине.
9Порядок формирования оценок по дисциплине Оценки за работу на семинарских и практических занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских занятиях определяется перед промежуточным или итоговым контролем - Оаудиторная.
Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным или итоговым контролем – Осам. работа. Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:
Отекущий = 0,6·Оаудиторная + 0,4·Осам. работа .
Способ округления накопленной оценки текущего контроля производится по правилам арифметики округления. Результирующая оценка за промежуточный контроль в форме зачета выставляется по следующей формуле, где Озачет – оценка за работу непосредственно на зачете:
Опромежуточный = 0,6·Озачет + 0,3·Одз + 0.1·Отекущий .
Способ округления накопленной оценки промежуточного контроля производится по правилам арифметики округления.
Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по следующей формуле, где Оэкзамен – оценка за работу непосредственно на экзамене:
Оитоговый = 0,5·Оэкзамен + 0,2·Окр1 + 0,2·Окр2 + 0,1· Отекущий.
Способ округления накопленной оценки итогового контроля производится по правилам арифметики округления.
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за текущий контроль.
В диплом выставляется результирующая оценка по учебной дисциплине, которая формируется по следующей формуле:
Одисциплина = 0,3·Опромежуточный + 0,7·Оитоговый .
Способ округления результирующей оценки по учебной дисциплине производится по правилам арифметики округления.
10Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины 10.1Базовый учебник [1] Виноградов И.М., Основы теории чисел. – М.: Наука, 1990.
[2] Кострикин А.И., Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры: Учебн. для вузов. – 2-е изд., исправл. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
10.2Основная литература [3] Глухов М.М., Круглов И.А., Пичкур А.Б., Черемушкин А.В., Введение в теоретико-числовые методы криптографии: Учебное пособие. – СПб.: Издательство «Лань», 2011.
[4] Абрамов С.А., Лекции о сложности алгоритмов. – М.: МЦНМО, 2009.
[5] Schneier, Bruce, Applied Cryptography Second Edition: protocols, algorithms, and source code in C/ John Wiley&Sons, Inc., 1996.
10.3Дополнительная литература [6] Дэвенпорт Г., Высшая арифметика. Введение в теорию чисел / Г. Дэвенпорт; Пер. с англ. – М.: Наука, 1965.
[7] Крупский В.Н., Введение в сложность вычислений / В.Н. Крупский; – М.: Факториал Пресс, 2006.
[8] Афафнасьев А.А., Веденьев Л.Т., Воронцов А.А., Газизова Э.РюЮ Додохов А.Л., Крячков А.В., Полянская О.Ю., Сабанов А.Г., Скида М.А., Халяпин С.Н., Шелупанов А.А., Аутентификация ысшая арифметика. Введение в теорию чисел / Г. Дэвенпорт; Пер. с англ. – М.: Наука, 1965.
|