Фракталы в медицине и биологии Учащаяся: Сизых Ю. А. Шишкина Н. А. Шадринск

Я не ищу гармонии в природе.

Разумной соразмерности начал

Ни в недрах скал, ни в ясном небосводе

Я до сих пор, увы, не различал.

Как своенравен мир ее дремучий!

В ожесточенном пении ветров

Не слышит сердце правильных созвучий,

Душа не чует стройных голосов.

Заболоцкий искал в природе «разумную соразмерность», но представлял ее себе согласно классическим канонам – по Евклиду; а оказалось, что эта соразмерность имеет совершенно другую геометрию, о которой великий поэт не догадывался. Гармония есть и в недрах скал, и в пении ветров – причем везде она одна и та же.

Глава 1 Фракталы – геометрия природы.

Явление “чудовищ”

Один из первых фракталов был исследован Георгом Кантором в 1870-х годах – теперь он носит название «множество Кантора» (иногда его еще называют «канторова пыль»).

Заметим, что длина L этого множества равна нулю. По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и из определения множества получаем:



Это множество весьма примечательно: несмотря на то, что мы исключили вроде бы целый отрезок, множество оставшихся точек равномощно континууму – т. е. целому отрезку: оставшаяся ничтожная пыль содержит столько же точек, сколько и целый отрезок. В это трудно поверить, но это так. Множество строится итерационно: мы задаем алгоритм, по которому производим действия шаг за шагом: действия одни и те же, но приложенные к результату, получившемуся на предыдущем шаге. Это – метод построения многих фрактальных множеств.

Другим «чудовищем», от которого содрогнулась математика, стала функция Вейерштрасса: непрерывная, но нигде не дифференцируемая. То есть такая, что ни в одной точке к ней не существует касательная. Для сравнения можно припомнить функцию модуль х: y=|x| - для нее не существует касательная в одной точке: х=0. Касательная не может плотно «лечь» на кривую. Кривая Вейерштрасса строится примерно так же, как модуль в окрестности нуля: мы берем нормальную гладкую кривую и запускаем итерационный процесс ее «переламывания» и деформирования. Когда процесс устремляется к бесконечности, в каждой точке кривая оказывается «переломленной», как модуль в нуле.

Имея в виду функцию Вейерштрасса и подобных ей “монстров”, немецкий математик Х. Хан в своей статье “Кризис здравого смысла” (1933) писал: ”Характер подобной кривой совершенно не укладывается в рамки того, что мы можем понять с позиции здравого смысла. Всего лишь после нескольких повторений простой операции сегментирования образующая фигура становится настолько сложной, что с трудом поддается непосредственному восприятию, а уж то, к чему эта кривая стремится в пределе, и вовсе невозможно себе представить…”

Глава 2 Фрактальная размерность

Понятие фрактал (от лат. fractus – расколотый, раздробленный, состоящий из фрагментов) ввел в 1975 году французский ученый Бенуа Мандельброт для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. В его работах использованы результаты других ученых, работавших в 1875-1925 годах в той же области (Пуанкаре, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но в наше время удалось объединить их в единую систему.

Мандельброт дает такое определение: ”Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому”. Термин фрактал образован от латинского причастия fractus. Соответствующий глагол frangere переводится, как ломать, разламывать, т.е. создавать фрагменты неправильной формы. Таким образом, разумно будет предположить, что, помимо значения «фрагментированный» (как, например, в словах фракция или рефракция), слово fractus должно иметь и значение “ неправильный по форме»; примером сочетания обоих значений может служить слово фрагмент. Сочетание «естественный (или природный) фрактал» применяют для обозначения естественных структур, которые с той или иной целью могут быть представлены в виде фрактального множества. Например, броуновские кривые являются фрактальными множествами, а броуновское движение мы назовем природным фракталом.

Мандельброт объясняет сущность этого принципа на примере вычисления длины береговой линии или любой национальной границы. С феноменом береговой линии он столкнулся, изучив малоизвестную работу английского ученого Льюиса Ф. Ричардсона, опубликованную уже после смерти автора. Мандельброт тщательно проанализировал возможности измерения длины береговой линии и получил результат, который не только ошеломил, но и стал поворотным пунктом в его мышлении.

Длина берега Великобритании, утверждает Мандельброт, зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться, чем короче измеряющая линейка, тем большее количество деталей захватывается измерением. Так какова же длина измеряемого берега? Бесконечность, потому что природные объекты дробятся до бесконечности. Лишь при достижении атомного уровня измерения подойдут к концу.

Б
Рис.1. снежинка Коха
ереговая линия – представитель класса объектов, имеющих бесконечную длину в конечном пространстве. К таким объектам так же можно отнести снежинку Коха и коврик Серпинского.

Пример построения снежинки Коха изображен на рис.1. Мы берем равносторонний треугольник, вырезаем 1/3 из каждой стороны и пристраиваем на стороне два отрезка, равных вырезаному, и т. д.

Три первых шага в построении коврика Серпинского показаны на рис.2.Для построения коврика нарисуем на листе бумаги равносторонний треугольник. Соединим прямыми линиями середины сторон треугольника, внутри него получается четыре треугольника. Средний вырежем. То же проделаем в трех угловых треугольниках. Получатся четыре отверстия и девять маленьких треугольников. Каждый подвергнем той же операции. По теории, конца этому процессу не будет, в треугольнике не останется живого места, но и на части он не распадется – получится «сыр», состоящий из одних дырок.

Именно так и устроен наш мир. Все в нем до бесконечности дробится на части, приблизительно подобные целому, ибо реальность фрактальна. Подобие легко распознается, ведь его образы витают всюду.

Бесконечное дробление и подобие мельчайших частей целому – это есть принцип «устройства» природы. В настоящие время придумано множество искусственных моделей, иллюстрирующих этот принцип.

Во фрактальной структуре любая произвольная точка является точкой разветвления. Хорошим примером этому служит Эйфелева башня: ее антенны, металлические связки и мачты, разветвляясь на изящные решетчатые конструкции, представляют собой мерцающую систему мелких деталей. А конструкцию Эйфелевой башни постоянно сравнивают с конструкцией человеческих костей, например, большой берцовой кости, которой так же присущи свойства фрактального объекта, в частности, дробление на части, подобные целому, или одно и то же преобразование, повторяющееся при уменьшающемся масштабе.

Фракталы – это геометрические фигуры с набором очень интересных особенностей обладающие двумя важнейшими признаками: изломанностью и самоподобием. Изломанность фрактала понятна и визуально, и математически как отсутствие производной в каждой точке излома. Самоподобные фрактальные функции, не имеющие производной ни в одной своей точке, были открыты еще в конце XIX века. Для осознания могущества этой идеи потребовалось еще сто лет.

Фрактальность – это мера неправильности. Например, чем больше поворотов имеет река, больше ее фрактальное число. Создатель теории фракталов Мандельброт обнаружил близкое родство между фрактальным числом реки Миссисипи и ценами на хлопок на временном интервале, которое он изучал.

Фракталы могут быть линейными и нелинейными. Линейные фракталы – это фракталы, определяемые нелинейными функциями, то есть уравнениями первого порядка. Они проявляют самоподобие в самом бесхитростном «прямолинейном» виде: любая часть есть уменьшенная точная копия целого.

Значительно богаче и разнообразнее нелинейные фракталы – это фракталы, определяемые нелинейными функциями степени выше первой. Более разнообразным является и самоподобие нелинейных фракталов: в них часть есть не точная, а похожая деформированная копия целого.

Отталкиваясь в своих исследованиях от идеи размерности, Мандельброт пришел к выводу, что ответ на вопрос о том, сколько измерений имеет тот или иной объект, зависит от уровня восприятия.

Неточность определения дальности перемещений заставила его по-новому взглянуть на проблему разности. В результате он пришел к дробным измерениям, то есть к нецелой (фрактальной) размерности.

Классическим примером фрактального объекта может служить канторовское множество или «пыль» Кантора (рис.3.)

Возьмем отрезок длины 1. Разделив его на три ровные части, исключим среднюю часть. С оставшимися двумя проделаем туже процедуру и в результате получим 4 отрезка в 1/9 длины каждый, и т. д. После n-й операции числоN отрезков равно 2ⁿ , а длина каждого из отрезков равна 1/3ⁿ. Чтобы определить размерность канторового множества d устремим N к бесконечности, а размер u – к нулю. Получим соотношение 2=(3), откуда d=log2/log3, что примерно 0,63. Множество точек, оставшееся после этой бесконечной последовательности исключений, и является множество Кантора. Следовательно, канторовскому множеству соответствует дробная размерность, заключенная между 0 (размерностью точки) и 1(размерностью линии).

Аналогичным способом можно построить двухмерные геометрические объекты с размерностью между 1 и 2 и, трехмерное с размерностью между 2 и 3. Например, размерность коврика Серпинского равна 1,58; снежинки Коха – 1,2618.

Мы знаем, что размерность прямой линии равна одному, размерность квадрата – двум, куба – трем. Мандельброт предложил использовать для измерения “чудовищных” кривых дробные размерности – размерности Хаусдорфа-Безиковича.

Самоподобие фракталов заключается в том, что сколь бы малую деталь этих множеств мы не взяли – она будет подобна всему множеству. Это характерное свойство фрактальных множеств, хотя в такой регулярной форме, как в рассмотренных нами примерах, оно встречается не всегда.

Открытие Мандельбротом фрактальных объектов позволило по-новому взглянуть на удивительный мир форм, существующих в природе. Большинство из них, не являясь правильными геометрическими объектами, могут быть охарактеризованы дробными размерностями. Например, облако является не каким-нибудь объемным телом или поверхностью, а неким промежуточным геометрическим объектом с размерностью, заключенной между 2 и 3.

Дробное измерение позволяет вычислить характеристики, которые не могут быть четко определены иным путем: степени неверности, прерывистости или неустойчивости какого-либо объекта. Например, извилистая береговая линия, несмотря на неизменность ее «длины», обладает присущей только ей шероховатостью. Мандельброт указал пути расчета дробных измерений объектов окружающей действительности. Создавая свою геометрию, он выдвинул закон о неупорядоченных формах, что встречаются в природы. Закон гласил: степень нестабильности постоянна при различных масштабах. И как подчеркивает в своей книге Д. Глейк: «Справедливость этого постулата подтверждается вновь и вновь. Мир снова и снова обнаруживает устойчивую неупорядоченность».

Теория фракталов, начатая с геометрических понятий, оказалось, охватывает и физические объекты, выходящие за рамки геометрической версии. Физические системы с фрактальной структурой обладают уникальными свойствами с точки зрения общественных свойств. К свойствам такого рода, например, относится степенная зависимость между параметрами системы. Фракталы иначе рассеивают электромагнитное излучение, по-другому колеблются и звучат, иначе проводят электричество, по фракталам иначе происходит диффузия вещества. Аналитические методы в теории фракталов, основанные на математическом аппарате интеродифференцирования дробного порядка, позволяют наиболее тонко и тщательно исследовать фрактальные функции в физике.

Открытие фрактальных множеств не только установило существование непрогнозируемых процессов, но и научило человека ими управлять, поскольку неустойчивость хаотических систем делает их чрезвычайно чувствительными к внешнему воздействию.