Соответственно. На продолжении диагонали
Скачать 85.24 Kb.
|
| Идея 1. 1. Дан квадрат ABCD, М и N - середины сторон ВС и AD соответственно. На продолжении диагонали АС за точку А взяли точку К. Отрезок КМ пересекает сторону АВ в точке L. Докажите, что углы KNA и LNA равны. 2. В выпуклом пятиугольнике ABCDE AE=AD, AB=AC, CAD=AEB+ABE. Докажите, что отрезок СD вдвое длиннее медианы АМ треугольника АВЕ. 3. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A. Из вершины A проведена высота AD. В треугольнике ABD проведена биссектриса BE. Докажите, что AB+AE = BC. Идея 2. 4. В классе 30 учеников. На каждом уроке физкультуры учитель делит класс на 2 команды, играющие друг против друга. Какое наименьшее количество уроков можно провести так, чтобы каждые два ученика хотя бы раз сыграли друг против друга? 5. На столе лежат 10 двусторонних карточек, одна сторона которых чёрная, а другая красная, изначально все карточки повернуты чёрной стороной вверх. За один ход можно выбрать несколько (может быть, одну) подряд идущих карт, самая левая из которых черная, а все остальные красные, затем все их перевернуть. Какое наибольшее количество ходов можно сделать по таким правилам? Идея 3. 6. Найдите наименьшее значение выражения  при положительных значениях x.7. Известно, что 1 a 2 b 3 c 4. Докажите, что a2+b2+c2–abc 4. 8. Докажите неравенство:  при неотрицательных a, b, c, не превосходящих 1.Идея 4. 9. Найдите какое-нибудь натуральное число, состоящее только из нечётных цифр и делящееся на 2013. 10. Найдите все пары простых чисел p и q, для которых число (7p–2p)(7q–2q) делится на pq. Идея 5. 11. Назовём натуральное число ямочным, если все цифры с первой до некоторой (не первой и не последней) идут по убыванию, а затем с неё – по возрастанию. Сколько существует ямочных чисел из 10 различных цифр? 12. Сколькими способами число 10 можно представить в виде суммы не менее чем двух натуральных слагаемых? (Порядок слагаемых важен, т.е., например, 2+4+1+2+1 отличается от 1+2+1+2+4.) 13. Сколько различных значений можно получить, расставляя скобки в выражении 1:2:3:4:5:6:7:8? Идея 6. 14. Сколькими способами из чисел 1, 2, 3, …, 2014 можно выбрать два или больше чисел так, чтобы никакие два выбранных числа в сумме не давали 2015? 15. В первой горизонтали шахматной доски стоят 8 белых ферзей, в последней горизонтали – 8 чёрных ферзей. За какое наименьшее число ходов белые ферзи могут поменяться местами с чёрными? 16. Укажите наименьшее по мощности (количеству цифр) множество цифр, из которого хотя бы одна цифра входит в десятичную запись либо натурального числа N, либо числа 3N. Приведите ответ и пример множества. Идея 7. 17. В квадрате со стороной 15 расположено 50 попарно непересекающихся квадратиков со стороной 1. Доказать, что в большом квадрате можно разместить круг диаметром 1 так, чтобы он не пересекался ни с одним из квадратиков. 18. Доказать, что в круге радиусом 9,5 нельзя разместить 401 точку так, чтобы расстояние между любыми двумя было бы больше 1. Идея 8. 19. Найдите наименьшее значение функции  , если  .20. Докажите, что для сторон треугольника a, b и c выполняется неравенство  .21. Найдите наименьшее значение выражения  . Укажите все пары (x;y), при которых оно достигается.22. Вычислите ctg 10° 4 cos 10°. Идея 9. 23. Диагонали AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF разделены точками M и N так, что AM:AC=CN:CE=. Найдите , если известно, что точки B, M и N лежат на одной прямой. 24. Внутри квадрата ABCD выбрана точка M так, что MAC = MCD =. Найдите величину угла ABM. 25. Внутри ромба ABCD отмечены точки N и N1, симметричные относительно диагонали BD, на стороне АВ отмечена точка К, а на стороне DC – точка Р так, что NK||N1D и KP||AD. Докажите, что PN||СN1. Идея 10. 26. Разрежьте квадрат на треугольники так, чтобы каждый граничил (по отрезку) ровно с тремя другими. 27. Разрежьте квадрат на 5 частей, из которых можно собрать правильный восьмиугольник. Покажите и разрезание, и сборку. 28. Какое наибольшее число ферзей можно расставить на доске 66 так, чтобы каждый ферзь бил ровно одного ферзя? 29. Какое наибольшее число ферзей можно расставить на шахматной доске так, чтобы каждый ферзь бил ровно одного ферзя? 30. При каком наибольшем N можно расставить на шахматной доске несколько коней так, чтобы каждый конь бил ровно N других? Идея 11. 31. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузе AB взяты точки M и N (N между M и B) такие, что MCN=45. Докажите, что MN2=AM2+ NB2. 32. На сторонах AB и AD ромба ABCD со стороной 1 выбрали точки M и N таким образом, что 2MCN =DCB. Докажите, что периметр треугольника AMN меньше 2. 33. ABCD – выпуклый четырёхугольник, К – середина стороны ВС, AKD=120. Докажите, что AD<AB+BC/2+CD. Идея 12. 34. На квадратном клетчатом поле 1010 расположена эскадра из 10 кораблей. Корабли – это не имеющие общих точек прямоугольники 12 со сторонами по линиям сетки. Докажите, что можно сделать 32 “выстрела” так, чтобы наверняка попасть в какой-нибудь корабль. 35. Поле для игры в “морской бой” имеет форму квадрата размером 88 клеток. На нем стоит один корабль, имеющий форму прямоугольника 14. В клетках поля можно устанавливать детекторы, показывающие, накрывает ли корабль эту клетку. Какое наименьшее число клеток нужно снабдить такими детекторами, чтобы по их показаниям можно было однозначно определить положение корабля? 36. На каждой клетке шахматной доски сидело по два таракана. В некоторый момент каждый таракан переполз на соседнюю (по горизонтали или вертикали) клетку, причем тараканы, сидевшие на одной клетке, оказались на разных. Какое наибольшее число клеток могло освободиться? 37. На шахматную доску 8х8 положили 8 доминошек так, что каждая покрывает ровно две соседние клетки. Доказать, что на доске найдется квадрат, состоящий из четырех клеток, ни одна из которых не накрыта доминошкой. 38. Квадратный ящик со стороной 1997 разбит на квадратные ячейки со стороной 1, в каждой из которых лежит по шару. Внешне все шары одинаковы, но ровно один из них радиоактивен. Имеется детектор, которым можно накрыть любые четыре ячейки, образующие квадрат 2х2 и он покажет, имеется ли в этих ячейках радиоактивный шар. За какое наименьшее число таких проверок можно наверняка найти этот шар? Идея 13. 39. Решите систему уравнений  .40. Для положительных a и b выполняется равенство  Докажите, что a=b=1.41. Известно, что 1 a 2 b 3 c 4. Докажите, что a2+b2+c2–abc 4. 42. Докажите для положительных чисел a, b, c, d и e неравенство a2+b2+с2+d2+e2a(b+c+d+e). Идея 14. 43. Две биссектрисы треугольника пересекаются под углом 60 градусов. Докажите, что один из углов этого треугольника равен 60 градусам. 44. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота AH. Известно, что BM = AH. Найдите угол MBC. 45. Чему равен больший угол равнобедренного треугольника АВС, если ÐАОВ=80°? (О – центр описанной окружности ΔАВС) 46. ABCD – вписанный четырёхугольник, у которого АВС=120 и АВ+ВС=BD. Найдите ACD, если известно что ВАС=. Идея 15. 47. Какое наименьшее количество клеток квадрата 55 можно закрасить так, чтобы в любом четырёхклеточном многоугольнике была хотя бы одна закрашенная клетка? 48. Какое наибольшее количество клеток шахматной доски можно отметить так, чтобы не нашлось ни одного прямоугольного треугольника с вершинами в центрах отмеченных клеток? 49. Дан квадрат 88. Назовём множество его клеток чётным, если в любом столбце и в любой строке лежит чётное число (возможно, 0) клеток этого множества. Найдите минимальное натуральное число k такое, что у любого множества из k клеток найдётся непустое чётное подмножество. Идея 16. 50. В виде суммы какого наименьшего количества точных квадратов можно представить число 2013? 51. Какое наибольшее количество целых чисел можно создать, использовав на них вместе каждую цифру не более 1 раза, чтобы все эти числа делились на некоторое целое число, большее 1 (т.е. не были взаимно просты в совокупности)? 52. Найдите все тройки простых чисел вида n2000, n, n+14. 53. В каждую из трех школ микрорайона записалось по 100 первоклассников. 1 сентября в каждую школу пришло ровно 100 первоклассников. Но при этом некоторые дети перепутали, в какую школу им надо было идти, и ровно 40 детей пришли не в свою школу. Докажите, что можно выбрать двух заблудившихся первоклассников и поменять их местами так, что в результате каждый из них окажется в своей школе. 54. Из квадрата 300×300 вырезано несколько клеток, не граничащих ни по стороне, ни по углу. Миша хочет вырезать из оставшегося куска один уголок из трех клеток. Миша посчитал все способы это сделать, и получил ровно 48 000 способов. Докажите, что он обсчитался. Идея 17. 55. В клетках таблицы 3×3 стоят положительные числа. При этом произведение чисел в любых двух соседних клетках равно 2. (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.) Докажите, что сумма всех чисел в таблице не меньше  .56. Докажите, что при u, v 1/2 выполняется неравенство u2v2 + 2(u + v) 4uv+1. 57. На малой дуге ВС окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята точка D. Прямые BD и СD пересекаются с прямыми АС и АВ в точках Е и F соответственно. Докажите, что BF+CEAB+AC. Идея 18. 58. Приведите пример четырёхугольника с вершинами в узлах целочисленной решётки, квадраты длин сторон которого являются четырьмя последовательными натуральными числами. 59. В параллелограмме отрезки, соединяющие вершину одного из его углов с серединами несмежных с ним сторон, делят этот угол на три равные части. Какие значения может принимать этот угол? 60. В треугольнике две высоты равны 2 и 3, а площадь равна 1. Какие значения может принимать третья высота? Идея 19. 61. Сколько существует треугольников с вершинами в семи точках, никакие три из которых не лежат на одной прямой? 62. В выпуклом 20-угольнике провели все диагонали, причём никакие три из них не пересеклись в одной точке. Сколько точек пересечения диагоналей получилось внутри 20-угольника? 63. На окружности отмечено 10 точек. Проведены всевозможные прямые с концами в них, причём оказалось, что никакие три не пересекаются в одной точке. Сколько на чертеже могло получиться треугольников, образованных этими прямыми, вершины которых лежат внутри окружности? Идея 20. 64. Последовательность 1, 9, 8, 2, … такова, что каждый её член, начиная с пятого, равен последней цифре суммы четырёх предыдущих членов. Встретится ли когда-нибудь в этой последовательности четвёрка подряд идущих членов 3, 0, 4, 4? 65. Таблица nn заполнена числами 0, 1, –1 так, что в каждой строке и каждом столбце есть ровно по одной 1 и по одной –1. Докажите, что можно так переставить строки и столбцы, чтобы +1 и –1 поменялись местами. 66. Некоторые из городов страны соединены дорогами; из каждого города выходит не более трёх дорог. Докажите, что все города можно разбить на две группы так, чтобы не более трети всех дорог соединяли города из одной группы. Идея 21. 67. Слева к двузначному числу дописали это же число, но в обратном порядке. Докажите, что получившееся четырёхзначное число – составное. 68. Натуральное число назовем палиндромом, если оно читается одинаково слева направо и справа налево. Найдите все простые числа палиндромы, содержащие в своей десятичной записи четное количество знаков. 69. Существует ли натуральное число, из которого нельзя получить добавлением одной цифры число, кратное 11? Идея 22. 70. Все углы пятиугольника ABCDE равны. Докажите, что серединные перпендикуляры к отрезкам AB и CD пересекаются на биссектрисе угла E. 71. Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам AB, CD и EF выпуклого шестиугольника ABCDEF с углами по 120 пересекаются в одной точке. 72. Через вершину А параллелограмма ABCD провели прямую l, пересекающую сторону ВС. Докажите, что расстояние от точки D до прямой l равно сумме расстояний от точек В и С до этой же прямой. Идея 23. 73. Упростите выражение  .74. Сколько корней имеет уравнение x37+x8+1=0? 75. Решите уравнение:  .76. Найдите сумму наименьшего и наибольшего значений функции y=3cosx–3cos2x–2. Идея 24. 77. На клетчатой доске размером 100100 двое поочередно расставляют цифры: первый – единицы, второй – нули. После того, как вся доска заполняется, считают суммы цифр по столбцам и по строкам. Если хотя бы одна из сумм нечетна – победил первый игрок, в противном случае – второй. Кто выиграет при правильной игре? 78. На столе лежит 10 кучек с 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 орехами. Двое играющих берут по очереди по одному ореху. Игра заканчивается, когда на столе останется 3 ореха. Если это – три кучки по одному ореху, выигрывает тот, кто ходил вторым, иначе – его соперник. Кто из игроков может выигрывать, как бы не играл соперник? 79. На центральной клетке полоски 12011 стоит фишка. Два игрока по очереди передвигают её на 1; 2; 4;… клетки в любую сторону (k-ым ходом фишка передвигается на 2k-1 клеток). Проигрывает тот, кто не может сходить. Кто выигрывает при правильной игре? |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | «Утверждаю» Директор школы Индивидуальные беседы с учащимися 7-9 классов о продолжении обучения после окончания моу всош №1 | | Создание выделенных областей командой Цветовой диапазон (Color Range) Чтобы создать рамку, протяните курсором в окне изображения по диагонали от верхнего левого угла картинки к нижнему правому |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Предлагаемые ниже уроки по объёму рассчитаны на занятия футболом в продолжении одного спортивного сезона | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Рабочая программа учебной дисциплины может быть использована в продолжении обучения по программам бакалавров и магистров |
| Информация о продолжении деятельности общественного объединения Кемеровская региональная общественная организация Общероссийской общественной организации «Российский Союз Молодежи» «союз молодежи... |  | Анализ цен на зерно и продукты его переработки в субъектах рф, входящих... Этом среди регионов Приволжского федерального округа Республика Татарстан по средней отпускной и закупочной цене на зерновые находится... |
| Существуют золотые фигуры это фигуры содержащие пропорцию Фидия «золотой прямоугольник». Так можно продолжать до бесконечности. Если провести диагонали первого и второго прямоугольников, то точка... | | Расшифровка моделей телевизоров samsung ... |
| Как средство повышения учебной мотивации при изучении химии Самостоятельность при этом играет весомую роль не только при получении среднего образования, но и при продолжении обучения после... | | Рабочая программа учебной дисциплины «техническая механика» Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины базовой части естественнонаучного цикла студентам очной полной и сокращённой... |
| Рабочая программа учебной дисциплины «Теоретическая механика» Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины базовой части естественнонаучного цикла студентам очной полной и сокращённой... | | Золотые фигуры Й прямоугольник» обладает интересным свойством: если от него отрезать квадрат, то останется вновь «золотой прямоугольник». Так можно... |
| Книга Перемен» Доклад на 2-ой научной конференции «И цзин и современность» Но какую роль тут играет именно магичность числового квадрата Ло Шу? Напомним, что магичным называется квадрат nxn, клетки которого... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Работа по созданию мультфильмов была проведена с учениками четвертого класса в конце учебного года. Я увидела потенциал в детях и... |
| Урок соревнование. Тема: «Сложение чисел с разными знаками» Каждый консультант начинает со строчки старт. За один ход, по правилам игры, он может продвинуться на ближайшее соседнее поле по... | | Эссе для участия в проекте «Практика на Балтике» Соответственно этим изменениям трансформируются и связи между институтами, характер взаимодействия |
