Направление Физико-математическое Тема: «Волшебный треугольник Паскаля»

Департамент образования города Москвы Северо-Западное окружное управление образования Государственное бюджетное образовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа с углублённым изучением английского языка №1210 Конкурс проектных и исследовательских работ «Горизонты открытий» Секция «Чтения им. А.А. Леманского» Направление Физико-математическое Тема: «Волшебный треугольник Паскаля» Автор: Каргапольцев Дмитрий Михайлович, 9-Б класс Руководитель: Макарова Наталия Николаевна, учитель математики Москва 2014 Содержание 1. Введение………………………………………………………………………..3 2. Биография………………………………………………………………………5 3. История создания треугольника Паскаля……………………………………6 4. Свойства треугольника Паскаля………………………………………………7 5. Вывод…………………………………………………………………………..11 6. Список литературы……………………………………………………………13 Введение В последние годы, в различных школьных науках, все чаще встречается фамилия французского ученого Блеза Паскаля. Это и единица давления в физике, и язык программирования в информатике, и философские взгляды в истории средневековья, и некий треугольник Паскаля в математике. Я предположил, что только имя достойного человека могли дать столь разным понятиям в науках. Меня заинтересовал этот ученый, история его жизни его вклад в различные науки. Изучив научные достижения Блеза Паскаля, мне захотелось исследовать историю создания треугольника Паскаля и способы его применения в математике. Актуальность моего исследования состоит в том, что треугольник Паскаля помогает решать вероятностные и комбинаторные задачи без запоминания сложной формулы числа сочетаний, тем более, что задачи по теории вероятности включены в первую часть ЕГЭ по математике (B6). Цели работы: Исследовать научное наследие великого французского ученого Блеза Паскаля, его вклад в развитие разных наук, в том числе и математики. Подготовить презентацию о Паскале, его треугольнике и значении треугольника Паскаля в математике. Подготовить к изданию памятку с описанием треугольника Паскаля и алгоритмом его применения в математике. Объектом исследования является треугольник Паскаля. Гипотеза: Треугольник Паскаля скрывает в себе великое множество тайн и загадок, числовых закономерностей, в нем заключена гармония математической мысли. Задачи: Проанализировать связь жизни Блеза Паскаля, его убеждений с открытиями в различных областях наук. Изучить историю открытия «арифметического треугольника». Исследовать замечательные свойства треугольника Паскаля. Оформить результаты исследования в виде презентации и памятки по применению треугольника Паскаля в математике. Методы исследования: Сбор и обработка информации в научно-популярной литературе и в интернет ресурсах. Анализ полученной информации. Сравнение различных способов решения вероятностных задач. Биография Блез Паскаль — великий французский математик и физик, блестящий литератор и полемист. Изучая жизнь Блеза Паскаля, я удивился, насколько интересна и сложна она была, как много революционных идей он выдвинул и доказал, я узнал, что он закладывал основы таких наук как математический анализ, гидравлика, геометрия и, конечно, теория вероятности. Блез Паскаль родился 19 июня 1623 года в Клермон-Ферран (французская провинция Овернь). Мама умерла, когда мальчику было 3 года. Все его родные отличались необыкновенной одаренностью. В 15 лет Блез мог на равных обсуждать с видными парижскими учёными самые сложные математические задачи. Ему исполнилось всего 16 лет, когда он выполнил замечательное исследование, связанное с так называемыми коническими сечениями. В январе 1640 года семья Паскалей переезжает в Руан. Отец Блеза по роду службы в Руане часто занимался утомительными расчётами, сын также помогал ему в работе. Находя традиционные способы вычислений неудобными, Блез задумал создать вычислительное устройство, которое помогло бы в упрощении расчётов. В 1642 году (в 19 лет) Паскаль начал создание своей суммирующей машины «Паскалины» и через 3 года устройство было создано. В 1646 году отец Блеза сломал ногу, от вызванных костоправов семья узнает об учениях янсенистов. Паскаль больше всех проникается этим учением и всю оставшуюся жизнь мучается тем, что занятия наукой являются греховными, борется с желанием проводить новые исследования и в конце жизни вообще уходит в монастырь. Тем не менее Блез Паскаль, находясь в вечном разладе с самим собой, ведет исследования в таких отраслях наук, как гидравлика (опыт с трубками Торричелли), основы математического анализа (исследование циклоиды), литература и философия (считается основоположником классической французской литературы). Кроме того, Блез Паскаль совместно с Пьером Ферма, явился основоположником теории вероятности. Последние годы жизни Блеза Паскаля были для него особенно мучительными. Здоровье его становилось все хуже. Не в силах читать и писать, он свои новые труды диктовал помощникам, сокрушаясь, что «мысли ускользают от него». Считая свою прошлую жизнь греховной, Паскаль отрекался от своих научных трудов. Посещавшие Блеза в 1660 году знакомые, говорили, что в свои 37 ученый выглядел стариком. 19 августа 1662 года после мучительной продолжительной болезни Блез Паскаль скончался. Похоронен в приходской церкви Парижа Сен-Этьен-дю-Мон. История создания треугольника Паскаля По совету медиков, из-за состояния здоровья, Паскаль бывает в обществе, завязывает светские отношения. У него появляются знакомые, мало подходящие для янсениста. Паскаль путешествует в свите герцога де Роанне и знакомится с кавалером де Мере, человеком высокообразованным и умным. Кавалер де Мере, большой поклонник азартных игр, предложил Паскалю в 1654 году решить некоторые задачи, возникающие при определённых игровых условиях. Первая задача де Мере — о количестве бросков двух игральных костей, после которого вероятность выигрыша превышает вероятность проигрыша, — была решена им самим, Паскалем, Ферма и Робервалем. В ходе решения второй, гораздо более сложной задачи, в переписке Паскаля с Ферма, закладываются основы теории вероятностей. Учёные, решая задачу о распределении ставок между игроками при прерванной серии партий, использовали каждый свой аналитический метод подсчёта вероятностей и пришли к одинаковому результату. Решая эти задачи в переписке Паскаля с Пьером Ферма, закладываются основы теории вероятностей. Позже Паскаль издает "Трактат об арифметическом треугольнике". В действительности, треугольник Паскаля был известен задолго до 1654 года - даты выхода "Трактата об арифметическом треугольнике". Так, этот треугольник воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанном в начале XVI Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета. Изображен треугольник и на иллюстрации в книге одного китайского математика, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника около 1100 года, в свою очередь, заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников. Треугольник Паскаля Перейдем к рассмотрению свойств треугольника Паскаля. Треугольник образован биномиальными коэффициентами, который имеет применение в теории вероятностей и обладает удивительными свойствами. Устройство треугольника Паскаля состоит в том, что каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Казалось бы просто, но сколько интересного несет в себе такой принцип. Свойства: На вершине треугольника стоит 1. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника (на рисунке отмечены зелеными линиями) выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей.  Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника - как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. К одному шару можно прислонить еще два - итого три - к двум можно приладить еще три - итого шесть. Продолжая наращивать ряды с сохранением формы треугольника получим ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., что и показывает вторая зеленая линия. Этот замечательный ряд, содержит также множество знакомцев, хорошо известных любителям математики: 6 и 28 - совершенные числа, 36 - квадратное число, 8 и 21 - числа Фибоначчи.  Следующая зеленая линия покажет нам тетраэдральные числа - один шар мы можем положить на три - итого четыре, под три подложим шесть - итого десять, и так далее. А следующая зеленая линия (1, 5, 15, 35,...) показывает попытку выкладывания гипертетраэдра в четырехмерном пространстве - один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти... В нашем мире такое невозможно, только в четырехмерном, виртуальном. И тем более следующая зеленая линия, которая указывает на пятимерный тетраэдр, он может существовать только в рассуждениях топологов.  А вот самая верхняя зеленая линия, в которой расположены числа натурального ряда, это тоже треугольные числа, но одномерные, показывающие, сколько шаров можно выложить вдоль линии - до бесконечности, сколько есть, столько и выложите. Ну и самый верхний ряд из единиц - это тоже треугольные числа в нульмерном пространстве - сколько бы шаров мы не взяли - больше одного расположить не сможем, ибо просто негде - нет ни длины, ни ширины, ни высоты. Еще парочка интересных свойств треугольника Паскаля. Чтобы найти сумму чисел, стоящих на любой диагонали от начала до интересующего нас места, достаточно взглянуть на число, расположенное снизу и слева от последнего слагаемого (слева для правой диагонали, справа для левой, а вообще - ближе к середине треугольника). Пусть, например, мы хотим вычислить сумму чисел натурального ряда от 1 до 11. "Спустившись" по диагонали до числа 11, мы увидим слева снизу от него число 66. Оно то и дает искомую сумму. Чему равна сумма первых в семи треугольных чисел? Отыскиваем седьмое число на второй диагонали и сдвигаемся вниз и влево. Ответ: 84. Но, 84 - тетраэдральное число. Следовательно, взяв все шары, из которых сложены 7 первых треугольников, мы могли бы сложить тетраэдр. Попробуйте с шариками одинакового размера, только не пытайтесь выйти с ними в четвертое измерение, они могут исчезнуть. Суммы чисел, стоящих вдоль не столь круто падающих диагоналей (на рисунке отмечены красными линиями) образуют хорошо известную постоянным читателям последовательность Фибоначчи. Оказалось, что числа Фибоначчи часто встречаются и в комбинаторных задачах. Паскаль, по-видимому, не знал, что числа Фибоначчи скрыты в его треугольнике. Это обстоятельство было обнаружено только в XIX веке. Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения (x+y)n по степеням x и y. Например, (x+y)2=x2+2xy+y2 и (x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3. Коэффициенты разложения 1, 2, 1 стоят во второй строке, а 1, 3, 3, 1 - в третьей строке треугольника. Чтобы найти коэффициенты разложения (x+y)n, достаточно взглянуть на n-ую строку треугольника. Именно это фундаментальное свойство треугольника Паскаля связывает его с комбинаторикой и теорией вероятности, превращая в удобное средство проведения вычислений. Предположим (пример от Мартина Гарднера), что некий шейх, следуя законам гостеприимства, решает отдать вам трех из семи своих жен. Сколько различных выборов вы можете сделать среди прекрасных обитательниц гарема? Для ответа на этот волнующий вопрос необходимо лишь найти число, стоящее на пересечении диагонали 3 и строки 7: оно оказывается равным 35. Если, охваченные радостным волнением, вы перепутаете номера диагонали и строки и будете искать число, стоящее на пересечении диагонали 7 со строкой 3, то обнаружите, что они не пересекаются. То есть сам метод не дает вам ошибиться!  В общем случае, число, показывающее, сколькими способами можно выбрать k элементов из множества, содержащего n различных элементов, стоит на пересечении k-той диагонали и n-ой строки. Число возможных сочетаний из n элементов по k определяется формулой: А значения биномиальных коэффициентов определяются по формуле причем, они же и являются, как мы выяснили, строками треугольника Паскаля, связывая непостижимым образом этот треугольник с комбинаторикой и разложением двучлена по степеням.  Это еще не все свойства треугольника Паскаля, которые известны к настоящему моменту, но не могут быть изложены в ограниченной регламентом работе. На различных интернет ресурсах, которые я изучил, исследуя треугольник Паскаля, встречаются построения геометрических и цветовых орнаментов, основанных на свойствах чисел, образующих треугольник Паскаля. Выводы Изучив биографию и научное наследие Блеза Паскаля, я пришел к выводу, что он был уникальным ученым, что он лежит у истоков таких разделов математики и физики, как гидравлика, математический анализ и теория вероятности и что переоценить его вклад в развитие наук невозможно. Единица измерения давления и язык программирования вполне заслуженно носят имя великого французского ученого. Проанализировав свойства треугольника Паскаля, я готов согласиться с Мартином Гарднером, писавшим: "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике". Исследовав все возможности треугольника Паскаля, я пришел к выводу, что решать задачи на вероятность значительно проще, находя число сочетаний в строках треугольника Паскаля, а не запоминая формулу числа сочетаний. Разобравшись со всеми замечательными свойствами треугольника Паскаля, я подготовил презентацию и книгу-инструкцию по применению треугольника Паскаля, которые были показаны в 9-11 классах моей школы. Список литературы 1. Гиндикин С.Г. "Рассказы о физиках и математиках" - Издательство МЦНМО, 2006. 2. Энциклопедия Аванта+, том Математика, 1998. 3. Фернандо Корбалан "Золотое сечение, математический язык красоты", DeAGOSTINI, 2013. 4. Мартин Гарднер "Математические новеллы", издательство МИР, 1974. Интернет ресурсы 1. http://arbuz.uz/u_treug.html 2. http://www.iqfun.ru/articles/pascal.shtml 3. http://www.physchem.chimfak.rsu.ru/Source/History/Persones/Pascal.html 4. http://to-name.ru/biography/blez-paskal.htm 5. http://znaniya-sila.narod.ru/people/013_00.htm 6. http://mech.math.msu.su/~shvetz/54/inf/perl-problems/chPascalTriangle.xhtml 7. http://phyart-pascal.narod.ru/biography.html

Похожие:

	Программа «Физико-математическое образование». Квалификация (степень)... Наименование ооп – 44. 04. 01 (050100) Педагогическое образование, Магистерская программа «Физико-математическое образование»		Методическая разработка урока Применение опорных понятий: отрезок, биссектриса угла, перпендикуляр, треугольник, остроугольный треугольник, тупоугольный треугольник,...
	Темы самостоятельных работ Вид работы Треугольник Паскаля Подготовить доклад Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Юрайт, 2011. 480с		Внеклассное мероприятие "Физико-математическое кафе" ...
	Учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся... Т11 Теория и методика обучения математике: лабораторный практикум : учеб пособие для студ высш учеб заведений, обучающихся по направлению...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторением. Формула Ньютона для степени...
	Рабочая программа учебной дисциплины (модуля) Направление подготовки Психолого- педагогическое образование, Педагогическое образование, Профессиональное образование, Естественнонаучное...		Самостоятельная работа: реферативная работа по темам №1,2 0-3 2,3... Рейтинговая система оценки знаний студентов по дисциплине «Философия». для студентов 2 курса физико математического факультета по...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Основные понятия. Метод математической индукции. Обобщенный метод математической индукции. Геометрическая прогрессия. Треугольные...		Конспект урока передача давления жидкостями и газами. Закон Паскаля.... Цель : познакомить с законом Паскаля, расширить и углубить знания учащихся по теме «Давление твердых тел, жидкостей и газов»
	Основная образовательная программа высшего профессионального образования... Основная образовательная программа высшего профессионального образования разработана в соответствии с гос впо по направлению 050201....		Отчет о результатах самообследования направления «050200. 62 Физико-математическое образование» «Тобольская государственная социально-педагогическая академия им. Д. И. Менделеева»
	Конспект урока по теме: «Давление газа. Закон Паскаля». Юрасова Елена Сергеевна Паскаля, расширить и углубить знания учащихся по теме “Давление”, обсудить различие между твёрдыми телами, жидкостями и газами		Делаем волшебный фон В этом уроке вы узнаете, как, используя кисти и стандартные фигуры Фотошопа, создать волшебный рождественский фон
	Тема: Сообщающиеся сосуды Образовательная: продолжить формирование понятия давления жидкости на дно сосуда и изучение закона Паскаля на природе однородных...		Конспект открытого занятия по внеурочной деятельности «Волшебный... План – конспект открытого занятия по внеурочной деятельности «Волшебный сундучок» в 2 «Б» классе