Реферат по математике на тему

1. 
   Исторические сведения. Элементы теории вероятностей……………..4
   
2. 
   Вычисление вероятностей элементарных событий……………………...6
   
3. 
   Типология задач В10 ЕГЭ по математике……………………………..11
   

Развитие теории вероятностей, а с нею и развитие понятия вероятности можно разбить на следующие этапы. Д. Кардано

Предыстория теории вероятностей.   В этот период, начало которого теряется в веках, ставились и решались элементарные задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей. Никаких специальных методов в этот период не возникает. Этот период кончается работами Кардано,  Пачоли, Тарталья и др. С вероятностными представлениями мы встречаемся еще в античности. У Демокрита, Лукреция Кара и других античных ученых и мыслителей мы находим глубокие предвидения о строении материи с беспорядочным движением мелких частиц (молекул), мы встречаем рассуждения о равновозможных (равновероятных) исходах и т. п. Еще  в древности делались попытки сбора и анализа некоторых статистических материалов - все это (а также и другие проявления внимания к случайным явлениям) создавало почву для выработки новых научных понятий, в том числе и понятия вероятности. Но античная наука не дошла до выделения этого понятия. В философии вопрос о случайном, необходимом и возможном  всегда был одним из основных. Философская разработка этих проблем также оказывала влияние на формирование понятия вероятности.

Н. Тарталья

2. 
   Вычисление вероятностей элементарных событий
   

Формулы комбинаторики. При подсчете числа элементарных исходов, составляющих события в классической схеме, часто используется комбинаторика.

(m. Число способов рассаживания определяется числом размещений.

Определение 2: Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком следования.

(3)

Сочетания

Если в выборках из n объектов по m объектов порядок их следования по условию задачи не имеет значения, то размещения, отличающиеся, лишь порядком следования, становятся одинаковыми. Число таких одинаковых выборок по m разных объектов, которые получаются друг из друга перестановкой, равно m!

Определение 3. Сочетанием называют комбинации, составленные из n - различных элементов по m элементов, которые отличаются только составом элементов и не зависят от порядка следования.

_/3/

Классическое определение вероятности.

Определение (классическое определение вероятности). Вероятностью Р(А) события А называется отношение m/n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т.е.

/1,с.156/

Пример. Вычислим вероятность выпадения герба при одном бросании монеты. Очевидно, событие А - выпадение герба и событие В - выпадение решки образуют полную группу несовместных и равновозможных событий для данного испытания. Событию А благоприятствует лишь одно событие - само А. Поэтому Р(А)=1/2.

Пример. Найдем вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет четное число очков (событие А). Число элементарных событий здесь 6. Число благоприятствующих элементарных событий 3 (выпадение 2, 4 и 6). Поэтому Р(А)=3/6=1/2.

Из классического определения вероятности следует:

1. 
   вероятность достоверного события равна единице;
   2. вероятность невозможного события равна нулю;
   3. вероятность случайного события есть положительное рациональное число, заключенное между нулем и единицей, т.е. 0<Р(А)<1;
   4. элементарные события являются равновероятными, т.е. обладают одной и той же вероятностью./1, с.144/
   

3. 
   Типология задач В 10 ЕГЭ по математике
   

В содержании задачи В 10 ЕГЭ по математике 2010-2012 годов можно условно выделить 12 типов задач на теорию вероятностей. Рассмотрим решение задач каждого типа.
Тип 1. Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

Решение.

Случайный эксперимент – бросание жребия. Элементарное событие в этом эксперименте – участник, который выиграл жребий. Перечислим их: (Вася), (Петя), (Коля) и (Лёша).

Общее число элементарных событий N=4. Жребий подразумевает, что элементарные события равновозможные.

Событию А={жребий выиграл Петя} благоприятствует только одно элементарное событие (Петя), поэтому N(А)=1.

Тогда Р(А)=N(A)/N=1/4=0,25.

Ответ: 0,25./4/
Тип 2. а) Игральный кубик (кость) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее, чем 4?

Решение.

Здесь случайный эксперимент – бросание кубика. Элементарное событие – число на выпавшей грани. Граней всего шесть. Перечислим все элементарные события: 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Значит, N=6.

Событию А={выпало больше чем 4} благоприятствуют два элементарных события: 5 и 6. Поэтому N(А)=2.

Элементарные события равновозможны, поскольку подразумевается, что кубик честный. Поэтому: Р(А)=N(А)/N=2/6=1/3.

Ответ: 1/3.
Тип 2. б) В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков.

Решение.

Элементарный исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Первое число выпадет на первом кубике, а второе – на втором. Множество элементарных исходов удобно представить таблицей. Строки соответствуют результату первого броска, столбцы – результату второго броска. Всего элементарных событий N=36.

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Напишем в каждой клетке таблицы сумму выпавших очков и выделим клетки, где сумма равна 8 (см. рис.). Таких ячеек пять. Значит, событию

А={сумма равная 8} благоприятствуют пять элементарных исходов. Следовательно, N(А)=5. Поэтому Р(A)=N(А)/N=5/36.

Ответ: 5/36./4/
Тип 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Решение.

Орёл обозначим буквой О. Решку – буквой Р. В описанном эксперименте могут быть следующие элементарные исходы: ОО, ОР, РО и РР.

Значит, N=4.

Событию А={выпал ровно один орёл} благоприятствуют элементарные события ОР и РО. Поэтому N=2.

Тогда Р(А)=N(А)/N=2/4=0,5.

Ответ: 0,5.
Тип 4. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность того, что орёл выпал ровно два раза?

Решение.

Орёл обозначим О. Решку - Р. В описанном эксперименте элементарные исходы - тройки, составленные из букв О и Р. Выпишем их все в таблицу:

Элементарный исход	Число орлов
ООО	3
ООР	2
ОРО	2
ОРР	1
РОО	2
РОР	1
РРО	1
РРР	0

Всего исходов получилось 8, N=8.

Событию А={орёл выпал ровно два раза} благоприятствуют элементарные события ООР, ОРО и РОО (они выделены в таблице). Поэтому N(А)=3.

Тогда Р(А)= N(А)/ N=3/8=0,375.

Ответ: 0,375.
Тип 5. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.

Решение.

Элементарный исход – случайно выбранный аккумулятор. Поэтому N=1000.

Событию А={аккумулятор исправен} благоприятствуют 1000-6=994 исхода. Поэтому N(А)=994.

Тогда Р(А)=N(А)/N=994/1000=0,994.

Ответ: 0,994.
Тип 6.В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 - из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

Решение.

Элементарный исход – спортсмен, который выступает последним. Последним может оказаться любой. Всего спортсменов N=4+7+9+5=25.

Событию А={последний из Швеции} благоприятствуют только 9 исходов (столько, сколько участвует шведских спортсменов). Поэтому N(А)=9.

Тогда Р(А)=N(А)/N=9/25=0,36.

Ответ: 0,36./4/
Тип 7. В чемпионате по гимнастику участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные - из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение.

Элементарное событие – спортсменка, выступающая первой. Поэтому N=20.

Чтобы найти число элементарных событий, благоприятствующих событию А={первой выступает спортсменка из Китая}, нужно подсчитать число спортсменок из Китая: N(А)=20-(8+7)=5. Все элементарные события равновозможные по условию задачи, поэтому Р(А)=N(А)/N=5/20=0,25.

Ответ: 0,25.
Тип 8. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть несправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение.

В этой задаче также предполагается независимость работы автоматов. Найдём вероятность противоположного события Ᾱ={оба автомата неисправны}.

Для этого используем формулу умножения вероятностей независимых событий: Р(Ᾱ)=0,05*0,05=0,0025.

Значит, вероятность события А={хотя бы один автомат исправен} равна Р(А)=1-Р(Ᾱ)=1-0,0025=0,9975.

Ответ: 0,9975.
Тип 9. Биатлонист пять раз стреляет по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равно 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишень, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение.

В этой задаче предполагается, что результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущего. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы. Вероятность каждого попадания равно 0,8. Значит, вероятность каждого промаха равна 1-0,8=0,2. Воспользуемся формулой умножения вероятностей независимых событий. Получаем, что последовательность А={попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся} имеет вероятность Р(А)=0,8*0,8*0,8*0,2*0,2=0,8³*0,2²=0,512*0,04=0,02048≈0,02

Ответ: ≈0,02.
Тип 10. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Решение.

Определим событие А={выбранная ручка пишет хорошо}. Известна вероятность противоположного события: Р(Ᾱ)=0,1.

Используем формулу вероятности противоположного события:

Р(Ᾱ)=1-Р(Ᾱ)=1-0,1=0,9.

Ответ: 0,9.
Тип 11. Две фабрики одной фирмы выпускают одинаковые мобильные телефоны. Первая фабрика выпускает 30% всех телефонов этой марки, а вторая - остальные телефоны. Известно, что из всех телефонов, выпускаемых первой фабрикой, 1% имеют скрытые дефекты, а у выпускаемых второй фабрикой - 1,5%. Найдите вероятность того, что купленный в магазине телефон этой марки имеет скрытый дефект.

Решение.

Введём обозначения для событий: А₁={телефон выпущен на первой фабрике}

А₂={телефон выпущен на второй фабрике}

D={телефон имеет скрытый дефект}.

По условию задачи легко составить дерево и найти необходимые вероятности.


Р(D)=0,3*0,01+0,7*0,015=0,003+0,0105=0,0135.

Ответ: 0,0135./2/
Тип 12. Агрофирма закупает крупные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства - яйца высшей категории, а из второго хозяйства - 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц из этих двух хозяйств. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение.

Событие «яйцо имеет высшую категорию» назовём Н. События «яйцо поступило из первого хозяйства» и «яйцо поступило из второго хозяйства» назовём А₁ и А₂ соответственно. Обозначим р искомую вероятность события А₁ и составим дерево:



Получаем: Р(Н)=р*0,4+(1-р)*0,2.
По условию эта величина равна 0,35. Тогда 0,4р+0,2*(1-р)=0,35, откуда 0,2р=0,15 и, значит, р=0,75.

Ответ: 0,75./2/


Заключение
Как было сказано ранее, со случаем мы встречаемся на каждом шагу: случайный выигрыш, случайная поломка. Чувствовать себя увереннее при встрече со случайными событиями человеку помогают знания раздела математики, в котором и изучаются закономерности, присущие случайным событиям.

Рассмотрев некоторые элементы теории вероятностей, в своей работе мы выделили основные типы задач, встречающиеся в текстах ЕГЭ по математике, и предложили решения для задач каждого типа.

Надеемся, что данная работа окажет практическую помощь учащимся и студентам при подготовке к сдаче экзамена по математике. Думаем, что наша работа поможет им быть успешными.


Список литературы

1. 
   Баврин А. Н., Высшая математика: Учеб. для студ. естественно-научных специальностей педагогических вузов Баврин. - изд. испр. доп. Издательский центр «Академия» 2004.
   
2. 
   Вентцель Е.С., Теория вероятностей. М.: Высшая школа, 1999.
   
3. 
   Виноградов И.М., Математическая энциклопедия. Том 2. М.: Сов. энциклопедия, 1977.
   
4. 
   Высоцкий И. Р., Ященко И. В. ЕГЭ 2013. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь/Под ред. А. Л. Семенова и И. В. Ященко.- М.: МЦНМО, 2013.
   
5. 
   Энциклопедия Математика-М.:  Большая Российская энциклопедия,  1998.
   

Интернет-источники:

6. 
   http://www.sernam.ru/book_e_math.php?id=55
   
7. 
   http://ru.vlab.wikia.com/wiki/Комбинаторика
   
8. 
   http://toi.uni-altai.ru/comb/dictonary/combi.html