Реферат по математике на тему: Способы устного решения квадратных уравнений

Муниципальное образовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа № 6 Муромского района Реферат по математике на тему: Способы устного решения квадратных уравнений. Выполнила ученица 8 «В» класса Халинева Инна. Проверила: учитель математики Шубина Ирина Николаевна. г. Муром 2011г. Содержание: Введение………………………………………………………………..3 1.Историческая справка…………………………………………….....4 2. Определение квадратного уравнения, его виды…………………..5 3. Способы решения неполных квадратных уравнений…………….6 4. Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена………………………………………………………………..8 5. Решение квадратных уравнений по формуле……………………..9 6. Теорема Виета…………………………………………………...…11 7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения………………13 8. Способ переброски……………………………………………...…14 9. Закономерность коэффициентов………………………………….14 10. Дидактический материал……………………………………...…16 Заключение……………………………………………………………19 Список использованных источников…………...………………...…20 Цель: Изучить и показать на примерах способы устного решения квадратных уравнений. Задачи: 1. Проанализировать учебник алгебры для выявления в нем способов решения квадратных уравнений. 2. Показать виды и способы решения неполных квадратных уравнений. 3. Изложить наиболее известные способы решения квадратных уравнений из курса 8 класса. 4. Изучить дополнительный материал. 5. Показать способы устного решения квадратных уравнений. Актуальность темы: Практически все, что окружает человека – это все так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать. Введение. При изучении в школе квадратных уравнений, я очень заинтересовалась этой темой. Мне стало интересно узнать, какие же еще бывают способы решения квадратных уравнений. Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования современного человека. Практически все, что окружает человека – это все так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать. В данной работе я изложила все известные виды и решения квадратных уравнений из школьного курса алгебры. Также в этой работе я показала дополнительный материал, который не изучается в школьном курсе. Устное решение квадратных уравнений намного проще и быстрее, так как при решении уравнений не надо находить дискриминант и вычислять корни по формуле. 1. Историческая справка. Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений () умели решать вавилоняне (около 2 тыс. лет до н.э.). Об этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики, сводя их решения к геометрическим построениям. Приёмы решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант Александрийский (III в.). В дошедших до нас 6 из 13 книг «Арифметика» содержатся задачи с решениями, в которых Диофант объясняет, как надо выбрать неизвестное, чтобы получить решение уравнения вида ах=b или Способ решения полных квадратных уравнений не сохранились. Правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду , где >0, дал индийский учёный Брахмагупта (VII в.). В трактате «Китаб аль-джебр Валь-мукабала» хорезмский математик аль-Хорезми разъясняет приёмы уравнений вида , (буквами а,b и с обозначены лишь положительные числа, так как отрицательных чисел тогда не признавали) и отыскивает только положительные корни. Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду , было сформулировано немецким математиком М.Штифелем (1487-1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Однако своё утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал). После трудов нидерландского математика А.Жирара (1595-1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591г. Для квадратного уравнения теорема Виета в современных обозначениях выглядела так: корнями уравнения (а+b) являются числа а и b. 2. Определение квадратного уравнения, его виды. Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где х – переменная, а, b и с– некоторые числа, причем, а ≠ 0. Числа а, b и с - коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b– вторым коэффициентом и число c – свободным членом. ● Пример. 8x2 – 7x + 3 =0 В каждом из уравнений вида ax2 + bx + c = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной x – квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение. Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х2 равен 1, называют приведенным квадратным уравнением. ● Пример. х2 – 11х+30=0, х2 –8х=0. Если в квадратном уравнении ах2 + bx + c = 0, один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов: 1) ах2 + с = 0, где с ≠ 0; 2) ах2 + bх = 0, где b ≠ 0; 3) ах2 = 0. ● Пример. – 2х2 + 7 = 0, b= 0; 3х2 – 10х = 0, с = 0; – 4х2= 0, b= 0; c= 0. 3.Способы решения неполных квадратных уравнений. 1.Для решения неполного квадратного уравнения вида ах2 + с = 0 при с ≠ 0 переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на а. Получается уравнение х2 = –, равносильное уравнению ах2 + с = 0. Так как с ≠ 0, то – ≠ 0. Если – > 0, то уравнение имеет два корня: х= – и х=. Если – < 0, то уравнение не имеет корней. Пример1. Рассмотрим уравнение –3х2 + 15=0. Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на –3: –3х2 = –15, х2 = 5. Отсюда х = или х = – и – являются корнями уравнения –3х2 + 15= 0. Пример2. Рассмотрим уравнение 4х2 + 3 = 0. Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на 4: 4х2 = –3, х2 = –. Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение корней не имеет. Следовательно, равносильное ему уравнение 4х2 + 3 = 0 не имеет корней. 2.Для решения неполного квадратного уравнения вида ах2 + bx= 0 при b ≠ 0 раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение х(ах + b)= 0 Произведение х(ах + b)= 0 равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: х = 0 или ах + b= 0. Решая уравнение ах + b= 0, в котором а ≠ 0, находим aх = – b, х = –. Следовательно, произведение ах2 + bx= 0 обращается в нуль при х = 0 и при х = –. Корнями уравнения ах2 + bx= 0 являются числа 0 и –. Значит, неполное квадратное уравнение вида ах2 + bx= 0 при b≠ 0 всегда имеет два корня. Пример. Рассмотрим уравнение 4х2 + 9х = 0. Разложим левую часть уравнения на множители: х(4х + 9)= 0. Отсюда х = 0 или 4х + 9 = 0. Решим уравнение 4х + 9 = 0: 4х = – 9, х = –2. Ответ: х= 0, х= –2. 3.Неполное квадратное уравнение вида ах2= 0 равносильно уравнению х2= 0 и поэтому имеет один единственный корень 0. 4. Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена. Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения, в котором оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Такой способ решения квадратного уравнения называют выделением квадрата двучлена. Пример. Рассмотрим уравнение 7х2 – 6х – 1= 0. Разделив обе части этого уравнения на 7, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение х2 – х – = 0. Выделим из трехчлена х2 – х – квадрат двучлена. Для этого разность х2 – х представим в виде х2 – 2·х, прибавим к ней выражение и вычтем его. Получим х2 – 2·х +–– = 0. Отсюда х2 – 2·х += + , = . Следовательно, х – = – или х – = , х – = – или х – = , х = – или х = 1. Уравнение имеет два корня: – и 1. 5. Решение квадратных уравнений по формуле. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Решают уравнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Разделив его обе части на а, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение х2 +х += 0. Выделим из трехчлена х2 +х + квадрат двучлена. Для этого сумму х2 +х представим в виде х2 +2х∙ , прибавим к ней выражение и вычтем его. Получим х2 +2х∙+ –+= 0, х2 +2х∙+ = –, = –, =. Уравнение = равносильно уравнению ax2 + bx + c = 0. Число его корней зависит от знака дроби . Так как а ≠ 0, то 4а–положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком его числителя, т. е. выражения b– 4ас. Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Его обозначают буквой D, т.е. D = b– 4ас.

Похожие:

	Урок по алгебре в 8 классе. Тема урока: способы решений квадратных уравнений. Цель урока Цель урока: провести игру «Счастливый случай» в закрепление и обобщение способов решения квадратных уравнений		Урок по теме «Решение квадратных уравнений». 8 класс Цели урока Обобщить, систематизировать, проверить основные умения и навыки решения квадратных уравнений
	Реферат по математике. На тему: «основные методы решения систем уравнений с двумя переменными» I: методы решения систем линейных уравнений стр. 3-7		Урок по теме Теорема Виета в 8 классе Развивающие: новые способы решения квадратных уравнений и их количество в зависимости от коэффициентов a, b, c
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Обучающая – ввести понятия квадратного уравнения, корня квадратного уравнения; показать решения квадратных уравнений; формировать...		Программа элективного курса «Разнообразные способы решения иррациональных... «Разнообразные способы решения иррациональных уравнений и неравенств» весьма актуальна. Ее рассмотрение обобщает опыт изучения в...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... В ходе урока учащиеся решают только одно квадратное уравнение. Рассматривается 10 способов его решения, при этом систематизируются...		Реферат по математике. На тему: «основные методы решения систем нелинейных... Тема моего реферата «Решение систем уравнений с двумя переменными». Эта тема играет важную роль в курсе математики. Издавна применялось...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: систематизировать и обобщить способы решения квадратных уравнений, формирование умения свободно решать их		Урок алгебры в 11-м классе на тему: "Способы решений иррациональных уравнений" На столах у каждого лист формата А4 со способами решения иррациональных уравнений и уравнениями (приложение №1)
	Урок по теме «Квадратные уравнения» Презентация учащихся на тему «Какую роль сыграло открытия способов решения квадратных уравнений в развитии математики?»		Урок конференция по теме "Решение задач с помощью квадратных уравнений" 8-й класс Решение задач с помощью квадратных уравнений”. Продолжить закрепление решение квадратных уравнений по формуле
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Отработать навыки решения квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным		Методы решения иррациональных уравнений Развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения иррациональных уравнений
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Оборудование: бланки схем и алгоритмов решения квадратных уравнений и задач на составление уравнений; листы самоконтроля, бланки...		Урока по теме: "Решение показательных уравнений" Формулировка цели классу: обобщить пройденный материал, вспомнить способы решения показательных уравнений, применить полученные знания...