Реферат по математике на тему: Способы устного решения квадратных уравнений

Дискриминант квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 – выражение b– 4ас= D – по знаку которого судят о наличии у этого уравнения действительных корней. Различные возможные случаи в зависимости от значения D. Если D >0, то уравнение имеет два корня: х= и х= . Пример. Рассмотрим уравнение 2x2 –3x + 1= 0. а=2; b= –3; с=1, D= b– 4ас =(–3)– 4ас= 9–8= 1; 2 корня. х==== 0,5 х==== 1 Ответ: 0,5;1 Если D= 0, то уравнение имеет один корень: х = –. Пример. Рассмотрим уравнение 9х2 +6х+1= 0. а=9; b= 6; с=1, D= b– 4ас=6– 4ас=36–36= 0; 1 корень. х = –== – 0,3 Ответ: – 0,3 Если D <0, то уравнение не имеет корней. Пример. Рассмотрим уравнение 2x2 + х+2= 0. а=2; b=1; с=2, D= b– 4ас=1– 4ас= 1 – 16= – 15; корней нет. 6. Теорема Виета. Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты. Приведенное квадратное уравнение х2 – 7х + 10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. На примере видно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Необходимо доказать, что любое приведенное квадратное уравнение, имеющее корни, обладает таким свойством. Теорема: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Приведенное квадратное уравнение имеет вид: х2 + bx + c = 0. Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой q: х2 + px + q = 0. Дискриминант этого уравнения D равен p2 – 4q. Пусть D > 0. тогда это уравнение имеет два корня: х= и х=. Найдем сумму и произведение корней: х+ х=+== –p; х∙ х=∙==== q. Следовательно, х+ х= –p, х∙ х= q. Пример. Рассмотрим уравнение х2 – 3х + 2 = 0. D =1, уравнение имеет два корня. х1 = 2 и х2 = 1, p= –3; q= 2. По теореме Виета х+ х= – p, значит 2 + 1= 3; х∙ х= q, значит 2 ∙ 1= 2. Следовательно х1 = 2 и х2 = 1 являются корнями уравнения х2 – 3х + 2 = 0. При D = 0 корни уравнения можно вычислить по формуле х = и x=. Квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет корни х и х. равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид х+ х= –, х∙ х= . Справедливо утверждение, обратное теореме Виета: Теорема: Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2 + px + q = 0. По условию т + п = – p, а т п = q. Значит, уравнение х2 + px + q = 0 можно записать в виде х2 – (т + п) х + т п= 0. Подставив вместо х число т, получим: т2 – (т + п) т + т п = т2 – т2 – т п + т п = 0. Значит, число т является корнем уравнения. Аналогично можно показать, что число п также является корнем уравнения. Пример. Рассмотрим уравнение х2 +3х – 40=0. D= 32+4 ∙40= 169. По формуле корней квадратного уравнения получаем х=; х=. Отсюда х= –8; х= 5. Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении х2 +3х – 40=0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен –40. Сумма найденных чисел –8 и 5 равна –3, а их произведение равно –40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения х2 +3х – 40=0. Способы устного решения квадратных уравнений. 7.Свойства коэффициентов квадратного уравнения. 1) Если а+ b+c= 0, то х=1, х=. Пример. Рассмотрим уравнение х2 +4х – 5= 0. а+ b+c= 0, х=1, х=. 1+ 4+(–5)= 0. Значит корнями этого уравнения являются 1 и –5. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта: D= b– 4ас= 4– 4∙1∙(–5)= 36. х=== – 5. х===1. Отсюда следует, что если а+b+c= 0,то х=1, х=. 2) Если b= а+c, то х= –1, х=. Пример. Рассмотрим уравнение 2х2 +8х +6 = 0. Если b= а+c, то х= –1, х=. 8 =2 +6. Значит корнями этого уравнения являются –1 и –3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта: D= b– 4ас=8– 4∙2∙6= 16. х=== –3. х=== –1. Отсюда следует, что если b= а+c, то х= –1, х=. 8. Способ переброски. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат. Если а±b+c≠0, то используется прием переброски: 2х2 – 11х+5=0 х2 – 11х+10= 0 х= 10; х=1. Корни уравнения необходимо поделить на 2. Ответ: 5; 0,5. 9.Закономерность коэффициентов. 1) Если в уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент b равен (а2 +1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны х= –а; х= –. ax2 + (а2 +1)∙ х+ а= 0 Пример. Рассмотрим уравнение 6х2 +37х +6 = 0. х= –6; х= –. 2) Если в уравнении ax2 – bx + c = 0 коэффициент b равен (а2 + 1),а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны х= а; х= . ax2 – (а2 +1)∙ х+ а= 0 Пример. Рассмотрим уравнение 15х2 –226х +15 = 0. х= 15; х= –. 3) Если в уравнении ax2 + bx – c = 0 коэффициент b равен (а2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны х= –а; х= . ax2 + (а2– 1)∙ х– а= 0 Пример. Рассмотрим уравнение 17х2 +288х – 17 = 0. х= –17; х=. 4) Если в уравнении ax2 – bx – c = 0 коэффициент b равен (а2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны х= а; х= –. ax2 + (а2– 1)∙ х– а= 0 Пример. Рассмотрим уравнение 10х2–99 х – 10 = 0. х= 10; х= –.

Похожие:

	Урок по алгебре в 8 классе. Тема урока: способы решений квадратных уравнений. Цель урока Цель урока: провести игру «Счастливый случай» в закрепление и обобщение способов решения квадратных уравнений		Урок по теме «Решение квадратных уравнений». 8 класс Цели урока Обобщить, систематизировать, проверить основные умения и навыки решения квадратных уравнений
	Реферат по математике. На тему: «основные методы решения систем уравнений с двумя переменными» I: методы решения систем линейных уравнений стр. 3-7		Урок по теме Теорема Виета в 8 классе Развивающие: новые способы решения квадратных уравнений и их количество в зависимости от коэффициентов a, b, c
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Обучающая – ввести понятия квадратного уравнения, корня квадратного уравнения; показать решения квадратных уравнений; формировать...		Программа элективного курса «Разнообразные способы решения иррациональных... «Разнообразные способы решения иррациональных уравнений и неравенств» весьма актуальна. Ее рассмотрение обобщает опыт изучения в...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... В ходе урока учащиеся решают только одно квадратное уравнение. Рассматривается 10 способов его решения, при этом систематизируются...		Реферат по математике. На тему: «основные методы решения систем нелинейных... Тема моего реферата «Решение систем уравнений с двумя переменными». Эта тема играет важную роль в курсе математики. Издавна применялось...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: систематизировать и обобщить способы решения квадратных уравнений, формирование умения свободно решать их		Урок алгебры в 11-м классе на тему: "Способы решений иррациональных уравнений" На столах у каждого лист формата А4 со способами решения иррациональных уравнений и уравнениями (приложение №1)
	Урок по теме «Квадратные уравнения» Презентация учащихся на тему «Какую роль сыграло открытия способов решения квадратных уравнений в развитии математики?»		Урок конференция по теме "Решение задач с помощью квадратных уравнений" 8-й класс Решение задач с помощью квадратных уравнений”. Продолжить закрепление решение квадратных уравнений по формуле
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Отработать навыки решения квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным		Методы решения иррациональных уравнений Развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения иррациональных уравнений
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Оборудование: бланки схем и алгоритмов решения квадратных уравнений и задач на составление уравнений; листы самоконтроля, бланки...		Урока по теме: "Решение показательных уравнений" Формулировка цели классу: обобщить пройденный материал, вспомнить способы решения показательных уравнений, применить полученные знания...