План – конспект урока алгебры в 9-ом классе по теме:
«Арифметическая прогрессия».
Цель урока: проверить знания и умения учащихся по изученной теме:
«Арифметическая прогрессия». В форме деловой игры выработать у учащихся навык самостоятельного приобретения знаний, развивать у учащихся логическое мышление, вдумчивость, внимательность.
Оборудование урока: перепутанная таблица – лабиринт, карточки для домино.
Ход урока.
I. Оргмомент.
Вступительное слово учителя: «Ребята, мы с вами изучили один из видов последовательностей – это арифметическую прогрессию. Сегодня вам предстоит обобщить полученные знания, и самостоятельно добыть новые знания. В этом вам поможет деловая игра. Перед вами так называемая таблица – лабиринт, в которой слева материал дан последовательно, а справа перепутан. Вам необходимо распутать эту «путаницу». По мере распутывания вы встретитесь с новыми понятиями и свойствами арифметической прогрессии, постарайтесь их выписать себе в тетрадь».
II. Прохождение лабиринта (учащиеся получают таблицу - лабиринт и приступают к её «распутыванию»).
III. Проверка своих результатов с ответами (выдаются учащимся карточки - ответы).
IV. Запись в тетради материала, с которым познакомились сегодня на уроке.
ТАБЛИЦА - ЛАБИРИНТ
I.
1. Мы знаем, что любая последовательность имеет вид
|
4; 7; 10;…;31
|
2. Пусть в этой последовательности
 а1=4; а2=7; а3=10; … ; аn=31 ,
т.е. пусть мы имеем последовательность
|
предыдущему, сложенному с числом 3
|
3. В этой последовательности каждый последующий член равен
|
равен предыдущему, сложенному с числом -4
|
4. А в последовательности
14; 10; 6; 2; -2; -6 и т.д.
каждый последующий член
|
а1; а2; а3; …;аn
|
II.
5. Такие последовательности называются арифметическими прогрессиями. Слово «прогрессия» происходит от латинского слова
|
начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом
|
6. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой
|
3 и -4, т.е. d =3, d =-4
|
7. Постоянное число, которое прибавляется к каждому предшествующему члену прогрессии, называется
|
«прогресс»- движение вперёд («успех», «постоянное усиление»). Термин и обозначение ввели
французские математики
Ланьи (1692) и Безу (1797)
|
8. Следовательно, разности записанных выше прогрессий будут
|
разностью прогрессии и обозначается буквой d
|
III.
9. В зависимости от знака разности арифметическая прогрессия может быть
|
чтобы задать прогрессию, достаточно указать её первый член и разность
|
10. Если d = 0, то прогрессия имеет постоянные члены, например,
|
например, при достаточно больших
n
|
11. Если вернуться к определению арифметической прогрессии, то можно рекуррентно записать, что любой последующий член прогрессии аn+1 равен
|
возрастающей (если d> 0), например: 4; 7; 10; 13; 16; 19;…
или убывающей (если d < 0), например: 14; 10; 6; 2; -2; -6;…
|
12. Рекуррентная формула для определения любого члена прогрессии не всегда удобна,
|
а; а; а; … или -5; -5; -5;…
|
13. Поэтому важно найти другую формулу общего члена  , по которой можно было бы находить его по данным а1 и d т.к.
|
аn + d «чесиччо» -
лат. - «бегу назад», «возвращаюсь», рекуррентный значит «возвратный», термин ввёл Муавр (1720)
|
IV.
14. Выведем эту формулу, если а1 и d известны, то по рекуррентной формуле найдём а2 и а3:
|
Коэффициент при d всегда на 1 меньше номера определяемого члена
|
15. Если известен а3 , то найдём а4:
|
а11 = a1 + 10d и а15 = а1 + 14d
и т.д.
|
16. Заметим, что если номер члена
n равен 3, то разность умножается на коэффициент 2, если номер члена 4, то d ∙ 3 и т.д., т.е. в общем виде:
|
an = a1 + d (n – 1)
Это и есть формула общего члена (выраженная не рекуррентно, а через первый член прогрессии и её разность).
|
Таким образом, можно не вычисляя, записать, что a5 = a1 + 4d; a8 = a1 + 7d
или a11 и a15 равны соответственно:
|
a2 = a1 + d Если известен a2 , то найдём a3 : a3 = a2 + d или
a3 = a1 + d + d = a1 + 2d
|
18. Формула для an будет:
|
a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d
|
V.
19. Определить:
1) a6 , если a1 = 4, d = 3
2) a6 , если a1 = 14, d = 4
|
6 =  ; -2 = 
|
20. Формулу общего члена
an = a1 + d (n – 1) мы выведем
методом, который называется
|
быть средним арифметическим между двумя соседними членами прогрессии
|
21. Вернёмся к прогрессии:
4; 7; 10; 13;16; 19;… и заметим, что второй член прогрессии 7 равен
(полусумме первого и третьего), пятый член 16 равен:
|
(полусумме четвёртого и шестого членов).
В общем виде: аn = 
|
22. Эта запись означает, что каждый член
обладает свойством -
|
методом неполной - сильной математической индукции, т.к. рассмотрены не все и не один, а несколько первых членов прогрессии
|
23. Проверить указанное свойство
Для : 14; 10; 6; 2; -2; -6
|
1) а6 =4+3(6-1)=4+3 5=19
2) а6 =14+(-4)(6-1)=14-20=6
|
VI.
24. Заметим так же, что в прогрессии 14; 10; 6; 2; -2; -6
a1 + an =14+(-6)=8
a2 + an-1 =10+(-2)=8 и
|
a1 + a1 + d (n –1) =? a1 + d + a1 + d(n –2)
2a1 + d (n – 1) = 2a1 +d (1+n –2) =
= 2a1 + d (n – 1)
|
25. Эта запись означает, что сумма членов, равностоящих
|
a3 + an-2 =6+2=8 и т.д.
|
26. Докажем это. Проверим истин-ность равенства: a1 + an = a2 + an-1
|
a1 и d есть параметр, а
n – аргумент
|
27. Известно, что an определяется при наличии данных a1 и d и в зависимости от n . Это означает, что
|
их третье свойство
|
28. Обозначив an как всякую функцию через y , параметры a1 и d
через b и k ,а аргумент через x,
формулу an = a1 + d (n – 1)
можно записать
|
от «концов» прогрессии, равны. Это есть второе свойство членов
(оно будет использовано при выводе формулы суммы членов
арифметической прогрессии).
|
29. Свойство членов арифметической прогрессии - отражать линейную зависимость - есть
|
в другом виде: y = b + kx
или y = kx + b . А это есть линейная функция.
|
ОТВЕТЫ:
I . 1-4; 2-1; 3-2; 4-3.
II. 5-7; 6-5; 7-8; 8-6.
III. 9-11; 10-12; 11-13; 12-10; 13-9.
IV. 14-17; 15-18; 16-14; 17-15; 18-16.
V. 19-23; 20-22; 21-21; 22-20; 23-19.
VI. 24-25; 25-28; 26-24; 27-26; 28-29; 29-27. |
