Вариант №2 Контрольная работа №1
Скачать 65.08 Kb.
|
Вариант №2 Контрольная работа № 1 № 1 Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя. 2. а)  ; б)  ; в)  ; г)  Решение: а)  Здесь сталкиваемся с неопределенностью вида  .Наивысшая степень в числителе и знаменателе 3. Вынесем старшую степень за скобки, получим:  б)  ;При подстановке в выражение под знаком предела вместо х его предельного значения получаем неопределенность вида  . Умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю:  в)  г)  При вычислении этого предела используем второй замечательный предел. Но сначала выполним преобразования под знаком предела:  Ответ: а)  , б) , в)  , г)  .№ 2 Задана функция  . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.12.   Решение: Функция  определена и непрерывна на интервале  функция  определена и непрерывна на интервале  функция  определена и непрерывна на интервале  Точки, в которых функция может иметь разрыв, это точки  и  , где функция меняет своё аналитическое выражение. Исследуем точку  :  Таким образом, односторонние пределы в точке существуют, конечны, но не равны между собой. По определению, исследуемая точка – точка разрыва первого рода. Величина скачка функции в точке разрыва равна  Перейдем к точке  :  Т.к. односторонние пределы в точке совпадают, значит, функция f(x) в точке непрерывна.Сделаем чертёж:  № 3 Найти производные данных функций. 22. а)  ; б)  ; в)  г)  ; д)  Решение: а) Будем использовать формулу:   б) Будем использовать формулу  а затем правило дифференцирования частного:  в)  г)  д) Так как зависимость между переменными x и y задана в неявном виде, то для нахождения производной достаточно продифференцировать обе части уравнения, считая у функцией от х, и из полученного уравнения найти  :      Ответ: а)  ; б)  в)  г)  д)  № 4 32. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке  .Решение: Находим критические точки:    Поделим уравнение на 5:   В интервал попадают только точки  .Найдём значение функции в точках и на границах интервала:    Т.е. наибольшее значение функции  ;наименьшее значение функции  Ответ: Наибольшее значение , наименьшее значение № 5 Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.42.  Решение: 1) Область определения функции – вся числовая прямая, то есть  . Функция непрерывна во всей её области определения. Следовательно, нет ни точек разрыва, ни вертикальных асимптот. 2) Точки пересечения с осями координат: С осью ОY: х=0, , точка (0;-5,95) С осью ОX: y=0,   x1=7      точки пересечения c осью ОX: (7;0), (1;0), (17;0) 3) Функция ни чётная ни нечётная, так как:  4) Экстремумы и интервалы монотонности. Вычисляем первую производную:  .      Получили две критические точки:   . Исследуем знак производной на интервалах (- ∞;  ), (; 13), (13; + ∞), на которые критические точки делят область определения функции.  На интервалах (-∞; ) и (13; +∞) функция возрастает, на интервале (; 13) – убывает. При переходе через критическую точку  производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, в этой точке функция имеет максимум.  . При переходе через критическую точку х=13 производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, в этой точке функция имеет минимум  .5) Интервалы выпуклости и точки перегиба. Найдём вторую производную:  . Из уравнения   получим  . Нашли критическую точку:  . Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка делит область определения функции. Определяем знак второй производной в каждом из интервалов:  ,  . Таким образом, кривая выпукла на интервале  и вогнута на интервале  , а – точка перегиба. ;6) Найдём наклонные асимптоты. Наклонная асимптота имеет вид у = kx + b, если существуют конечные пределы:  ,  ; .Таким образом, функция не имеет наклонных асимптот. 7. Строим график функции:  № 6 Найти полный дифференциал функции двух переменных. 52.  Решение: Полным дифференциалом функции  называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.    По формуле полного дифференциала находим:  Ответ: № 7 Дана функции  , точка  и вектор а. Найти: 1)  в точке A; 2) производную в точке А по направлению вектора  .62.  ; А(2;1)  Решение: 1) Градиент для функции двух переменных находится по формуле:  Вычислим  В произвольной точке P(x;y):   В точке А(2;1):    2) Производная функции z по направлению - это алгебраическая проекция вектора  на направление : где  - угол между векторами и .Поскольку  то в точке A получаем  В пункте 1) был найден  ; направление задано вектором  , тогда производная в точке А по направлению вектора имеет вид: Ответ:
Литература:
|
;
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Контрольная работа Вариант 8 Содержание «Средняя общеобразовательная школа с. Кормежка», Саратовская одл,, Балаковский р- он |  | Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента |
| Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | | Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента |
| Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | | Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента |
| Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | | Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента |
| Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | | Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента |
| Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | | Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента |
| Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | | Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента |
| Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента | | Направление подготовки Контрольная работа предоставлена в двух вариантах. Вариант выбирается по начальным буквам фамилии студента |
