Кафедра

КАФЕДРА теоретической физики.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

• 
  владеть основными понятиями теории групп и теории представлений;
  
• 
  знать и уметь применять классификацию однородных пространств алгебраических, топологических групп и групп Ли.
  
• 
  знать классификацию неприводимых представлений конечных и компактных групп и иметь навыки разложения конечномерного представления группы на неприводимые.
  
• 
  знать классификацию неприводимых представлений группы вращений, симметрической и унитарной групп, уметь вычислять их матричные элементы и разлагать представления этих групп на неприводимые.
  
• 
  знать геометрию групп Ли, в частности, связь между группами Ли и конечномерными алгебрами Ли.
  

1. 
   изложение основ теории групп с достаточно широким охватом: от теории конечных групп до геометрии групп Ли;
   
2. 
   подробное изучение представлений группы вращений, симметрической и унитарной групп;
   
3. 
   перенос части материала в другие курсы: например, представления группы Пуанкаре изучаются в первой части курса ``Релятивистской квантовой механики’’, а представления точечных групп --- в курсе ``Теория твердого тела’’. Некоторые специальные разделы, такие как супергруппы и супералгебры Ли, динамические симметрии и др. также оставлены на усмотрение лекторов соответствующих спецкурсов.
   

1. 
   Введение. Методы теории групп в физике.
   
2. 
   Определение группы. Единственность единицы и обратного элемента группы. Коммутативные и некоммутативные группы. Конечные и бесконечные группы. Таблица Кэли конечной группы. Циклические группы.
   
3. 
   Примеры групп: аддитивная и мультипликативная группы, группа автоморфизмов линейного пространства, общая и специальная линейные группы, ортогональная группа, симметрическая группа.
   
4. 
   Подгруппа. Характеристические свойства подгруппы. Тривиальные подгруппы. Порядок и индекс подгруппы. Формула |G|=|H||G/H| для конечной группы. Примеры подгрупп.
   
5. 
   Отношение эквивалентности на множестве. Смежные классы по подгруппе. Разбиение группы на смежные классы.
   
6. 
   Нормальный делитель (инвариантная подгруппа). Примеры. Тривиальные нормальные делители. Простая группа.
   
7. 
   Факторгруппа. Определение и корректность умножения в факторгруппе. Центр группы. Свойства центра группы. Центр общей линейной группы.
   
8. 
   Транспозиции в симметрической группе. Представление подстановки в виде произведения транспозиций. Четные и нечетные подстановки. Знакопеременная группа.
   
9. 
   Гомоморфизм групп. Ядро и коядро гомоморфизма. Свойства гомоморфизмов групп. Изоморфизм групп. Критерий изоморфизма групп. Антигомоморфизмы и антиизоморфизмы. Автоморфизм группы. Внутренние и внешние автоморфизмы. Автоморфизмы общей и специальной линейной группы.
   
10. 
    Канонический гомоморфизм. Универсальность канонических гомоморфизмов. Универсальность канонических гомоморфизмов топологических групп.
    
11. 
    Прямое произведение групп. Примеры.
    
12. 
    Топологические группы. Существование симметричной окрестности единицы. Правые и левые сдвиги на группе и индуцируемые ими гомеоморфизмы. Определение топологии на группе базой окрестностей единицы.
    
13. 
    Замкнутые подгруппы топологической группы. Примеры замкнутых и незамкнутых подгрупп. Отделимость факторпространства топологической группы по замкнутой подгруппе. Пример нехаусдорфова факторпространства. Факторгруппа топологической группы по замкнутому нормальному делителю. Гомеоморфизмы факторпространства, индуцированные сдвигами.
    
14. 
    Непрерывные гомоморфизмы, непрерывные и топологические изоморфизмы топологических групп. Универсальность канонических гомоморфизмов топологических групп.
    
15. 
    Связные и компактные топологические группы.
    

1. 
   Действие группы на множестве. Представление группы, ассоциированное с действием группы. Эффективное действие и точное представление группы. Свободное действие группы. Непрерывное действие топологической группы на топологическом пространстве.
   
2. 
   Примеры представлений: группа Галилея нерелятивистского пространства времени; представление группы Галилея в гильбертовом пространстве состояний свободной нерелятивистской частицы; группа Пуанкаре в пространстве Минковского; примеры представлений группы Пуанкаре на полях; группа вращений n-мерного евклидового пространства; n-мерная группа Евклида; группа преобразований и группа трансляций решетки; точечная группа.
   
3. 
   Орбиты действия группы. Примеры. Орбиты внутренних автоморфизмов. Классы сопряженных элементов. Классы сопряженных элементов симметрической группы. Разложение подстановки в произведение циклов без общих элементов.
   
4. 
   Однородные пространства. Примеры. Стационарная группа. Изоморфизм стационарных групп точек однородного пространства. Примеры вычисления стационарных групп.
   
5. 
   Действие группы на факторпространстве смежных классов по подгруппе. Однордность факторпространства. Факторпространство как каноническая модель однородного пространства. Факторпространство как каноническая модель однородного пространства топологической группы.
   
6. 
   Билинейные и полуторалинейные формы на линейных пространствах и сохраняющие их автоморфизмы. Матричные группы. Евклидовы, псевдоевклидовы и симплектические линейные пространства. Ортогональные, псевдоортогональные и симплектические группы. Унитарные и псевдоунитарные пространства и группы. Классические группы.
   
7. 
   Теорема о полярном разложении матричных групп. Топология классических групп.
   

1. 
   Определение линейного представления. Сужения представления на подпространства. Порожденное представление в факторпространстве. Конечномерные и бесконечномерные представления. Единичное представление. Тождественное представление. Матричные элементы представления.
   
2. 
   Неприводимые представления. Эквивалентные представления. Леммы Шура. Следствия лемм Шура.
   
3. 
   Сопряженное линейное пространство. Контрагредиентное представление. Двойственное линейное пространство. Сопряженное представление. Матричные элементы контрагредиентного и сопряженного представления. Неприводимость контрагредиентного и сопряженного представления.
   
4. 
   Прямая сумма представлений. Вполне приводимое представление. Разложение неприводимого представления в прямую сумму представлений. Кратность представления.
   
5. 
   Тензорное произведение линейных пространств. Тензорное произведение представлений. Матричные элементы тензорного произведения представлений.
   
6. 
   Конечномерные представления прямого произведения групп.
   
7. 
   Унитарные представления. Лемма Шура для унитарных представлений. Эквивалентность унитарных представлений. Полная приводимость конечномерного унитарного представления.
   
8. 
   Характеры конечномерных представлений и их свойства.
   
9. 
   Сплетающий оператор представлений.
   
10. 
    Непрерывные представления топологических групп
    

1. 
   Инвариантное интегрирование на компактной группе. Инвариантное среднее на конечной группе.
   
2. 
   Эквивалентность произвольного представления компактной группы унитарному представлению. Конечномерность неприводимых представлений компактной группы. Регулярные представления.
   
3. 
   Соотношения ортогональности и полноты матричных элементов неприводимых представлений компактных и конечных групп.
   
4. 
   Разложение регулярного представления компактной группы на неприводимые.
   
5. 
   Разложение произвольного непрерывного представления компактной группы на неприводимые представления.
   
6. 
   Характеры неприводимых представлений компактных и конечных групп.
   

Тема V. Представления группы вращений

1. 
   Инвариантное интегрирование на группе вращений. Матрицы Паули. Гомоморфизм SU(2)—SO(3).
   
2. 
   Определение генераторов представления группы вращений. Коммутационные соотношшения.
   
3. 
   Канонический базис неприводимого представления. Общий вид линейного представления. Разложение произвольного представления группы вращений на неприводимые.
   
4. 
   Векторное представление. Спиноры и спинорные представления.
   
5. 
   Матричные элементы неприводимых представлений. Обобщенные сферические функции Разложение функций на группе вращений по обобщенным сферическим функциям.
   
6. 
   Разложение тензорного произведения группы вращений на неприводимые представления. Вычисление коэффициентов Клебша-Гордона. Симметрия коэффициентов Клебша-Гордона. Коэффициенты Рака.
   

1. 
   Схемы и диаграммы Юнга. Симметризаторы Юнга. Построение полной системы неприводимых представлений симметрической группы. Характеры неприводимых представлений симметрической группы.
   
2. 
   Выбор базисных векторов неприводимых представлений симметрической группы. Прямое произведение двух представлений. Ограничение неприводимого представления симметрической группы на подгруппу.
   
3. 
   Матричные элементы неприводимого представления симметрической группы в каноническом базисе.
   
4. 
   Неприводимые представления унитарной группы U(n). Система нумерации базисных векторов. Ограничение представления унитарной группы на подгруппу SU(n).
   
5. 
   Комплексно-сопряженные представления групп U(n) и SU(n). Характеры неприводимых представлений унитарной группы
   

1. 
   Определение группы Ли. Примеры групп Ли. Классические группы как группы Ли.
   
2. 
   Левоинвариантные векторные поля. Интегральные кривые левоинвариантных векторных полей и однопараметрические подгруппы.
   
3. 
   Алгебры Ли. Алгебра Ли группы Ли. Алгебра Ли полной линейной группы.
   
4. 
   Левоинвариантные дифференциальные формы. Уравнения Маурера-Картана.
   
5. 
   Экспоненциальное отображение. Восстановление окрестности единицы группы Ли по ее алгебре Ли.
   
6. 
   Диффренциалы внутренних автоморфизмов. Дифференциал экспоненциального отображения. Канонические координаты.
   
7. 
   Гомоморфизмы групп Ли. Действие гомоморфизмов на левоинвариантные векторные поля и дифференциальные формы. Однозначность восстановления гомоморфизма связных групп Ли по гомоморфизму алгебр Ли.
   
8. 
   Подгруппы групп Ли и их алгебры Ли. Существование и единственность связной подгруппы Ли с данной подалгеброй Ли.
   
9. 
   Факторпространство группы Ли по замкнутой подгруппе как однородного многообразие. Каноническая модель однородного многообразия группы Ли.
   

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ БИЛЕТЫ ПО ТЕОРИИ ГРУПП

Томский государственный университет

Теория групп (5-ый семестр)

Экзаменационный билет N 1

1. 
   Подгруппа. Характеристические свойства подгруппы. Тривиальные подгруппы. Порядок и индекс подгруппы. Формула |G|=|H||G/H| для конечной группы. Примеры подгрупп.
   
2. 
   Тензорное произведение линейных пространств. Тензорное произведение представлений. Матричные элементы тензорного произведения представлений.
   

Томский государственный университет

Теория групп (5-ый семестр)

Экзаменационный билет N 2

1. 
   Отношение эквивалентности на множестве. Смежные классы по подгруппе. Разбиение группы на смежные классы.
   
2. 
   Прямая сумма представлений. Вполне приводимое представление. Разложение неприводимого представления в прямую сумму представлений. Кратность представления.
   

Томский государственный университет

Теория групп (5-ый семестр)

Экзаменационный билет N 3

1. 
   Примеры групп: аддитивная и мультипликативная группы, группа автоморфизмов линейного пространства, общая и специальная линейные группы, ортогональная группа, симметрическая группа.
   
2. 
   Сопряженное линейное пространство. Контрагредиентное представление. Двойственное линейное пространство. Сопряженное представление. Матричные элементы контрагредиентного и сопряженного представления. Неприводимость контрагредиентного и сопряженного представления.
   

Томский государственный университет

Теория групп (5-ый семестр)

Экзаменационный билет N 4

1. 
   Нормальный делитель (инвариантная подгруппа). Примеры. Тривиальные нормальные делители. Простая группа.
   
2. 
   Конечномерные представления прямого произведения групп.
   

Томский государственный университет

Теория групп (5-ый семестр)

Экзаменационный билет N 5

1. 
   Факторгруппа. Определение и корректность умножения в факторгруппе. Центр группы. Свойства центра группы. Центр общей линейной группы.
   
2. 
   Характеры конечномерных представлений и их свойства.
   

Томский государственный университет

Теория групп (5-ый семестр)

Экзаменационный билет N 6

1. 
   Определение группы. Единственность единицы и обратного элемента группы. Коммутативные и некоммутативные группы. Конечные и бесконечные группы. Таблица Кэли конечной группы. Циклические группы.
   
2. 
   Действие группы на факторпространстве смежных классов по подгруппе. Однордность факторпространства. Факторпространство как каноническая модель однородного пространства. Факторпространство как каноническая модель однородного пространства топологической группы.
   

Томский государственный университет

Теория групп (6-ой семестр)

Экзаменационный билет N 7

1. 
   Транспозиции в симметрической группе. Представление подстановки в виде произведения транспозиций. Четные и нечетные подстановки. Знакопеременная группа.
   
2. 
   Однородные пространства. Примеры. Стационарная группа. Изоморфизм стационарных групп точек однородного пространства. Примеры вычисления стационарных групп.
   

Томский государственный университет

Теория групп (5-ый семестр)

Экзаменационный билет N 8

1. 
   Гомоморфизм групп. Ядро и коядро гомоморфизма. Свойства гомоморфизмов групп. Изоморфизм групп. Критерий изоморфизма групп. Антигомоморфизмы и антиизоморфизмы. Автоморфизм группы. Внутренние и внешние автоморфизмы.
   
2. 
   Орбиты действия группы. Примеры. Орбиты внутренних автоморфизмов. Классы сопряженных элементов. Классы сопряженных элементов симметрической группы. Разложение подстановки в произведение циклов без общих элементов.
   

Томский государственный университет

Теория групп (5-ый семестр)

Экзаменационный билет N 9

1. 
   Канонический гомоморфизм. Универсальность канонических гомоморфизмов. Универсальность канонических гомоморфизмов топологических групп.
   
2. 
   Неприводимые представления. Эквивалентные представления. Леммы Шура. Следствия лемм Шура.
   

Томский государственный университет

Теория групп (5-ый семестр)

Экзаменационный билет N 10

1. 
   Прямое произведение групп. Примеры.
   
2. 
   Билинейные и полуторалинейные формы на линейных пространствах и сохраняющие их автоморфизмы. Матричные группы. Евклидовы, псевдоевклидовы и симплектические линейные пространства. Ортогональные, псевдоортогональные и симплектические группы. Унитарные и псевдоунитарные пространства и группы. Классические группы.
   

Томский государственный университет

Теория групп (5-ый семестр)

Экзаменационный билет N 11

1. 
   Топологические группы. Существование симметричной окрестности единицы. Правые и левые сдвиги на группе и индуцируемые ими гомеоморфизмы. Определение топологии на группе базой окрестностей единицы.
   
2. 
   Сплетающий оператор представлений.
   

Томский государственный университет

Теория групп (5-ый семестр)

Экзаменационный билет N 12

1. 
   Замкнутые подгруппы топологической группы. Примеры замкнутых и незамкнутых подгрупп. Отделимость факторпространства топологической группы по замкнутой подгруппе. Пример нехаусдорфова факторпространства.
   
2. 
   Действие группы на множестве. Представление группы, ассоциированное с действием группы. Эффективное действие и точное представление группы. Свободное действие группы. Непрерывное действие топологической группы на топологическом пространстве.
   

Томский государственный университет

Теория групп (5-ый семестр)

Экзаменационный билет N 13

1. 
   Факторгруппа топологической группы по замкнутому нормальному делителю. Гомеоморфизмы факторпространства, индуцированные сдвигами.
   
2. 
   Примеры представлений: группа Галилея нерелятивистского пространства времени; группа Пуанкаре в пространстве Минковского; примеры представлений группы Пуанкаре на полях; группа вращений n-мерного евклидового пространства; n-мерная группа Евклида; группа преобразований и группа трансляций решетки; точечная группа.
   

Томский государственный университет

Теория групп (5-ый семестр)

Экзаменационный билет N 14

1. 
   Непрерывные гомоморфизмы, непрерывные и топологические изоморфизмы топологических групп. Универсальность канонических гомоморфизмов топологических групп.
   
2. 
   Определение линейного представления. Сужения представления на подпространства. Порожденное представление в факторпространстве. Конечномерные и бесконечномерные представления. Единичное представление. Матричные элементы представления.
   

Томский государственный университет

Теория групп (5-ый семестр)

Экзаменационный билет N 15

1. 
   Связные и компактные топологические группы.
   
2. 
   Унитарные представления. Лемма Шура для унитарных представлений. Эквивалентность унитарных представлений. Полная приводимость конечномерного унитарного представления.
   

Томский государственный университет

Теория групп (6-ой семестр)

Экзаменационный билет N 16

1. 
   Непрерывные представления топологических групп
   
2. 
   Теорема о полярном разложении матричных групп. Топология классических групп.
   

_____________________________________________________________________

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ БИЛЕТЫ ПО ТЕОРИИ ГРУПП

Томский государственный университет

Теория групп (6-ой семестр)

Экзаменационный билет N 1

3. 
   Инвариантное интегрирование на компактной группе. Инвариантное среднее на конечной группе.
   
4. 
   Комплексно-сопряженные представления групп U(n) и SU(n). Характеры неприводимых представлений унитарной группы
   

Томский государственный университет

Теория групп (6-ой семестр)

Экзаменационный билет N 2

3. 
   Эквивалентность произвольного представления компактной группы унитарному представлению. Конечномерность неприводимых представлений компактной группы. Регулярные представления.
   
4. 
   Матричные элементы неприводимого представления симметрической группы в каноническом базисе.
   

Томский государственный университет

Теория групп (6-ой семестр)

Экзаменационный билет N 3

3. 
   Соотношения ортогональности и полноты матричных элементов неприводимых представлений компактных и конечных групп.
   
4. 
   Определение генераторов представления группы вращений. Коммутационные соотношшения.
   

Томский государственный университет

Теория групп (6-ой семестр)

Экзаменационный билет N 4

3. 
   Разложение регулярного представления компактной группы на неприводимые.
   
4. 
   Матричные элементы неприводимых представлений группы вращений. Обобщенные сферические функции. Разложение функций на группе вращений по обобщенным сферическим функциям.
   

Томский государственный университет

Теория групп (6-ой семестр)

Экзаменационный билет N 5

3. 
   Разложение произвольного непрерывного представления компактной группы на неприводимые представления.
   
4. 
   Инвариантное интегрирование на группе вращений. Матрицы Паули. Гомоморфизм SU(2)—SO(3).
   

Томский государственный университет

Теория групп (6-ой семестр)

Экзаменационный билет N 6

3. 
   Характеры неприводимых представлений компактных и конечных групп.
   
4. 
   Алгебры Ли. Алгебра Ли группы Ли. Алгебра Ли полной линейной группы.
   

Томский государственный университет

Теория групп (6-ой семестр)

Экзаменационный билет N 7

3. 
   Канонический базис неприводимого представления группы вращений. Матричные элементы произвольного представления группы вращений. Разложение произвольного представления группы вращений на неприводимые.
   
4. 
   Дифференциалы внутренних автоморфизмов. Дифференциал экспоненциального отображения. Канонические координаты.
   

Томский государственный университет

Теория групп (6-ой семестр)

Экзаменационный билет N 8

3. 
   Векторное представление группы вращений. Спиноры и спинорные представления группы вращений.
   
4. 
   Левоинвариантные дифференциальные формы на группе Ли. Уравнения Маурера-Картана.
   

Томский государственный университет

Теория групп (6-ой семестр)

Экзаменационный билет N 9

3. 
   Разложение тензорного произведения группы вращений на неприводимые представления. Вычисление коэффициентов Клебша-Гордона. Симметрия коэффициентов Клебша-Гордона. Коэффициенты Рака.
   
4. 
   Определение группы Ли. Примеры групп Ли. Классические группы как группы Ли.
   

Томский государственный университет

Теория групп (6-ой семестр)

Экзаменационный билет N 10

3. 
   Схемы и диаграммы Юнга. Симметризаторы Юнга. Построение полной системы неприводимых представлений симметрической группы. Характеры неприводимых представлений симметрической группы.
   
4. 
   Левоинвариантные векторные поля. Интегральные кривые левоинвариантных векторных полей и однопараметрические подгруппы.
   

Томский государственный университет

Теория групп (6-ой семестр)

Экзаменационный билет N 11

3. 
   Выбор базисных векторов неприводимых представлений симметрической группы. Прямое произведение двух представлений. Ограничение неприводимого представления симметрической группы на подгруппу.
   
4. 
   Гомоморфизмы групп Ли. Действие гомоморфизмов на левоинвариантные векторные поля и дифференциальные формы. Однозначность восстановления гомоморфизма связных групп Ли по гомоморфизму алгебр Ли.
   

Томский государственный университет

Теория групп (6-ой семестр)

Экзаменационный билет N 12

3. 
   Неприводимые представления унитарной группы U(n). Система нумерации базисных векторов. Ограничение представлении унитарной группы на подгруппу SU(n).
   
4. 
   Подгруппы групп Ли и их алгебры Ли. Существование и единственность связной подгруппы Ли с данной подалгеброй Ли.
   

Томский государственный университет

Теория групп (6-ой семестр)

Экзаменационный билет N 13

3. 
   Соотношения ортогональности и полноты матричных элементов неприводимых представлений компактных и конечных групп.
   
4. 
   Экспоненциальное отображение. Восстановление окрестности единицы группы Ли по ее алгебре Ли.
   

Томский государственный университет

Теория групп (6-ой семестр)

Экзаменационный билет N 14

3. 
   Характеры неприводимых представлений компактных и конечных групп.
   
4. 
   Факторпространство группы Ли по замкнутой подгруппе как однородного многообразие. Каноническая модель однородного многообразия группы Ли.
   

Томский государственный университет

Теория групп (6-ой семестр)

Экзаменационный билет N 15

3. 
   Комплексно-сопряженные представления групп U(n) и SU(n). Характеры неприводимых представлений унитарной группы
   
4. 
   Левоинвариантные векторные поля. Интегральные кривые левоинвариантных векторных полей и однопараметрические подгруппы.
   

Томский государственный университет

Теория групп (6-ой семестр)

Экзаменационный билет N 16

3. 
   Матричные элементы неприводимых представлений группы вращений. Обобщенные сферические функции. Разложение функций на группе вращений по обобщенным сферическим функциям.
   
4. 
   Левоинвариантные дифференциальные формы на группе Ли. Уравнения Маурера-Картана
   

1. 
   Рекомендуемая литература (основная)
   

1. 
   Наймарк М.А. Теория представлений групп. Наука. 1976.
   
2. 
   Барут А., Рончка Р, Теория представлений групп и ее приложения, в 2-ух тт.. Мир. 1980.
   
3. 
   Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. Наука. 1984.
   
4. 
   Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. Мир. 1981.
   
5. 
   Эллиот Дж., Доббер П. Симметрия в физике, в 2-ух тт. Мир 1983.
   
6. 
   Постников М.М. Лекции по геометрии. СеместрV. Группы и алгебры Ли. Наука. 1982.
   
7. 
   Зуланке Р., Винтер П. Дифференциальная геометрия и расслоения. Мир. 1975.
   
8. 
   Шаповалов А.А., Конусов В.Ф., Вааль А.А., Теория конечных групп. ТГУ. 1978.
   
9. 
   Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. Мир. 1969.
   
10. 
    Кириллов А.А. Элементы теории представлений. Наука. 1978.
    
11. 
    Адамс Дж. Лекции по группам Ли. Наука. 1979.
    
12. 
    Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. Мир. 1970.
    

2. 
   Рекомендуемая литература (дополнительная)