Задачи типа: «Переправы», «Фальшивый объект», «Переливания»
Скачать 58.83 Kb.
|
| §1. Задачи типа: «Переправы», «Фальшивый объект», «Переливания» 1.1. Задачи типа «Переправы» Задачи типа «переправы» - одни из самых старинных логических задач. Например, самая древняя из них – «Волк, коза и капуста» - встречается в сочинениях VIII века в сочинениях англосакского математика Алкуина (ок. 735—804). Задача 1.1.1. Волк, коза и капуста Условие задачи: Один человек должен был перевезти через реку волка, козу и кочан капусты. И не удалось ему найти другого судна, кроме как такого, которое могло выдержать только двоих из них. Нельзя было волка оставить с козой, а козу с капустой. Задача – переправить всех невредимыми. Принцип решения: Рассмотрим пары «волк – коза» и «коза – капуста». В первой паре присваиваем волку индекс А1, а козе – П1. Во второй паре присваиваем коз индекс А2, а капусте – П2. Следовательно, у волка индекс – А1, у козы – П1А2, а у капусты – П2. Сначала перемещаем объект, являющийся активным и пассивным одновременно (в данном случае козу), затем возвращаемся обратно, берём любой оставшийся объект (волка или капусту), перевозим на другой берег, берём объект с индексами А и П (козу), переправляем обратно, берём другой объект (капусту или волка), переправляем на другой берег, возвращаемся назад, забираем объект с индексами А и П (козу), и переправляем на другой берег. Ещё одна любопытная задача – «Отцы и дети». Задача 1.1.2. Отцы и дети Условие задачи: Двое друзей отправились на экскурсию, и каждый взял с собой своего сына. В пути они должны были переправиться через реку с помощью лодки, которая могла перенести самое большее 100 кг. Каждый из друзей вместе с рюкзаком весит 100 кг, а каждый из мальчиков 50 кг. Каким образом они переправились через реку? Принцип решения: Сначала переправляются оба сына, потом один из них возвращается. Переправляется один из друзей, а возвращается второй сын. Затем снова переправляются оба сына, один из них возвращается, переправляется второй друг, а второй сын возвращается. В конце переправляются оба сына. Есть ещё одна старинная задача, немного похожая на предыдущую – «Воинский отряд» Задача 1.1.3. Воинский отряд Условие задачи: Небольшой воинский отряд подошёл к реке, через которую необходимо было переправиться. Есть лодка, в которой сидят два мальчика. Лодка может вместить двух мальчиков или одного солдата. Как перевезти всех солдат через реку? Принцип решения: В данной задаче можно составить цикл: два мальчика на другой берег – один возвращается – один солдат переходит – второй мальчик возвращается – второй солдат переходит. В данной задаче количество солдат не имеет значения. Четвёртая задача встречается в одном из сочинений XIII века. Задача 1.1.4. Каприз трёх девочек Условие задачи: Через реку хотят переправиться три отца и три дочери. Имеется одна двухместная лодка. Как им переправиться через реку, чтобы ни одна из дочерей не оказалась на берегу с чужими отцами без своего? Принцип решения: Переправляются две девочки. Одна из них возвращается и перевозит третью. Одна из девочек возвращается и остаётся со своим папой, а два других папы переправляются на тот берег. Один папа со своей дочкой возвращается на первый берег, девочка остаётся, а два папы отправляются на второй берег. Переезжает девочка и забирает с собой вторую девочку и за последней девочкой едет либо ёё отец, либо её подруга. Следующая задача – одна из самых лёгких задач данного типа. Задача 1.1.5. Ночная переправа Условие задачи: Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 мин, мама – за 2 мин, сын – за 5 мин и бабушка – за 10 мин. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут, при условиях, что если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей, двигаться без фонарика нельзя, перебрасывать фонарик через реку нельзя, светить издали и носить друг друга на руках запрещено? Принцип решения: Переходят папа и мама (2 мин), затем папа с фонариком возвращается (1 мин), переходят бабушка и сын (10 мин), мама с фонариком возвращается (2 мин), переходят папа и мама (2 мин). 1.2. Задачи типа «фальшивый объект» Задачи этого типа также известны с давних времён. В основном они касаются монет, например, задача о 12 золотых монетах: Задача 1.2.1. Задача о 12 монетах Условие задачи: Имеется 12 золотых монет. Одна из них – фальшивая – легче остальных. Найти фальшивую монету за 3 взвешивания. Принцип решения: Делим 12 монет на 3 равные части. Берём две любые группы и кладём на весы. Если весы в равновесии, значит фальшивая монета в третьей группе. Если весы не в равновесии, значит, дальнейшему исследованию подлежит группа монет, которая легче. Делим исследуемую группу монет пополам и взвешиваем. Дальше исследуем группу монет, которая оказалась легче после результата второго взвешивания. Снова делим пополам и взвешиваем в третий раз. Есть усложнённый вариант этой задачи: Задача 1.2.2. Бриллианты и весы Условие задачи: Имеется 242 бриллианта. Один из них – природный – легче остальных. Найти природный бриллиант за 5 взвешиваний. Принцип решения: Кладём на весы по 81 бриллианту для выделения 81 или 80 бриллиантов. Второй раз кладём по 27 бриллиантов для выделения 27 или 26 бриллиантов. Третий раз кладём по 9 бриллиантов для получения 9 или 8 исследуемых бриллиантов. Четвёртый раз кладём на весы по 3 бриллианта для выделения 3 или 2 исследуемых бриллиантов. И пятым взвешиванием выделяем природный бриллиант, опуская на весы по 1 бриллианту. Также есть более сложный вариант задачи о 12 монетах: Задача 1.2.3. Задача о 12 монетах (усложнённый вариант) Условие задачи: Имеется 12 золотых монет. Одна из них – фальшивая, но не известно, легче она или тяжелее остальных. Найти фальшивую монету за 3 взвешивания и установить, легче она или тяжелее. Принцип решения: Сложность задачи в том, что не известно, легче или тяжелее фальшивый объект. Делим на 3 группы. На чаши весов кладём монеты №№ 1, 2, 3, 4 и №№ 5, 6, 7, 8. Возможны два случая: Случай 1. Весы в равновесии. Следовательно, фальшивая монета в третьей группе монет с №№ 9, 10, 11, 12. Сравним вес трёх из них, например, №№ 9, 10, 11 с монетами №№ 1, 2, 3. Если весы в равновесии, то фальшивая монета - № 12, и если сравнить её с № 1, то можно определить, легче она или тяжелее. Если же весы не в равновесии, то фальшивая монета – одна из №№ 9, 10, 11, причём по положению чашки сразу можно выяснить, легче или тяжелее фальшивая монета. Затем кладём на весы по одной монете и определяем фальшивую монету. Случай 2. Первое взвешивание не привело к равновесию. Пусть перетянула чашка с монетами №№ 1, 2, 3 и 4. Тогда фальшивая монета среди №№ 1, 2, 3, 4 и более тяжёлая, или она среди монет №№ 5, 6, 7, 8 и более лёгкая. Следовательно, монеты №№ 9, 10, 11, 12 – настоящие. Вторым взвешиванием сравним монеты №№ 9, 10, 11 и 5 с монетами №№ 3, 4, 6, 7. Тогда возможны три случая: Случай 2.1. Весы в равновесии. Следовательно, выбранные монеты настоящие, а фальшивая – либо среди монет под №№ 1, 2 и более тяжёлая, либо под № 8 и более лёгкая. Сравнивая монеты №№ 1 и 2, установим, что фальшивая монета – лёгкая под № 8, если весы останутся в равновесии или, что фальшивая – тяжёлая № 1 или № 2 – та, которая перетянет. Случай 2.2. Перетянет группа монет №№ 9, 10, 11 и 5. Тогда в этой группе фальшивой монеты быть не может, так как монета № 5 взята из группы более лёгких, а монеты №№ 9, 10 и 11 – настоящие, и эта чашка весов не могла бы перетянуть с тремя настоящими и одной фальшивой монетой. Следовательно, фальшивая – одна из монет под №№ 3, 4, 6, 7 и именно из группы, которая при первом взвешивании оказалась легче, то есть либо № 6, либо № 7. Более лёгкая из них выявляется третьим взвешиванием. Случай 2.3. Перетянет группа монет №№ 3, 4, 6 и 7. Тогда – фальшивая монета более тяжёлая и находится на перетянувшей чашке весов - № 3 или № 4, или фальшивая монета более лёгкая и, следовательно, находится в группе монет №№ 9, 10, 11 и 5. В последнем случае – это монета № 5, так как монеты №№ 9, 10 и 11 – настоящие. Следовательно, фальшивой монетой может быть одна из трёх: № 3 или № 4 (и тогда она более тяжёлая) или № 5 (и тогда она более лёгкая). Взвешиваем монеты №№ 3 и 4, и тогда если одна из монет перетянет, она и будет фальшивой, или если весы будут в равновесии тогда монета № 5 фальшивая и тяжелее остальных. 1.3. Задачи типа «переливания» Задачи типа «переливания» имели самую большую практическую ценность, как в древние времена, так и в наши дни. Самая известная задача – задача о двух вёдрах. Задача 1.3.1. Задача о двух вёдрах Условие задачи: Есть два ведра объёмом 5 и 9 литров. Необходимо с помощью этих двух вёдер получить 3 литра воды. Принцип решения: Наполняем 9-литровое ведро, выливаем 5 литров из 9-литрового в 5-литровое ведро, выливаем, переливаем 4 литра в маленькое ведро, наполняем большое ведро, сливаем из него один литр в маленькое ведро, выливаем маленькое ведро и переливаем 5 литров воды в маленькое ведро. В большом ведре осталось 3 литра воды. Аналогичная задача была придумана французским физиком и математиком Симеоном Дени Пуассоном (1781–1840) Задача 1.3.2. Задача Пуассона Условие задачи: Во время экскурсии один из её участников купил бутыль вина ёмкостью 8 четвертей. Купленное вино необходимо было разделить пополам. Как можно было это осуществить, если на постоялом дворе было только два сосуда – один ёмкостью 5 четвертей и второй ёмкостью три четверти? Принцип решения: Решение показано в формате «исходный сосуд – сосуд объёмом 5 четвертей – сосуд объёмом 3 четверти»: 1) 3-5-0; 2) 3-2-3; 3) 6-2-0; 4) 6-0-2; 5) 1-5-2; 6) 1-4-3; 7) 4-4-0. |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: отработать для решения конкретной задачи навыки и умения, а также способы ввода, редактирования и форматирования табличной... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: познакомить с различными видами табличных моделей; учить составлять таблицы типа «объект – свойство», решать задачи при помощи... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Основные понятия: табличная информационная модель, объект – свойства, объект – объект – один | | Модель это новый объект, отличный от исходного, который обладает... Понятия «модель», «моделирование», различные подходы к классификации моделей. Этапы моделирования |
| 1 Предмет и задачи нейропси ГМ. Объект: пациент, показатели функционирования которого выходят за пределы нормы. Предмет: симптомы, т е комплексы расстройств... | | Право, объект права и объект правового отношения: проблемы теории А. А. Черняков, кандидат юридических наук, профессор, Академия юриспруденции вшп "Адiлет" |
| Науки о земле Объект и субъект социально-гуманитарных наук. Общество как объект и предмет социально-гуманитарного познания |  | С 13 по 20 мая 2013 года Объект и субъект социально-гуманитарных наук. Общество как объект и предмет социально-гуманитарного познания |
| Расписание летней экзамнационной сессии Объект и субъект социально-гуманитарных наук. Общество как объект и предмет социально-гуманитарного познания | | Конкурсы российских и международных фондов и программ Объект и субъект социально-гуманитарных наук. Общество как объект и предмет социально-гуманитарного познания |
| Программа элективного учебного предмета по математике «Учимся решать... | | Расписание занятий для аспирантов 1 курса по «Истории и философии науки» Объект и субъект социально-гуманитарных наук. Общество как объект и предмет социально-гуманитарного познания |
| Расписание бхф на II полугодие 2012/2013 учебного года 3 курс, 6 семестр Объект и субъект социально-гуманитарных наук. Общество как объект и предмет социально-гуманитарного познания | | Объект данного реферата – облака. Цель данной работы: образование... Введение 3 |
| «Роль женщины в современном мире» Введение (аннотация, актуальность, проблема, цель и задачи, предмет и объект исследования, гипотеза и методы исследования) | | С 1 ноября 2012 года по 11 февраля 2013 года Объект и субъект социально-гуманитарных наук. Общество как объект и предмет социально-гуманитарного познания |
