«Логические законы и правила преобразования логических выражений»

Закон исключённого третьего: из двух противоречащих суждения одно истинно, другое ложно, а третьего не дано. Закон достаточного основания: всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснована. Первые три из вышеперечисленных законов были выявлены и сформулированы Аристотелем, а закон достаточного основания – Г. Лейбницем. Последний закон говорит о том, что доказательство чего-либо предполагает обоснование именно и только истинных мыслей. Ложные же мысли доказать нельзя. Есть хорошая латинская пословица: «Ошибаться свойственно всякому человеку, но настаивать на ошибке свойственно только глупцу». Формулы этого закона нет, так как он имеет только содержательный характер. В качестве аргументов для подтверждения истинной мысли могут быть использованы истинные суждения, цифровой материал, статистические данные, законы науки, аксиомы, теоремы. Законы алгебры высказываний В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования формул. Законы алгебры высказываний – это тавтологии. Иногда эти законы называются теоремами. Первые четыре из приведённых ниже законов являются основными законами алгебры высказываний. 1. Закон тождества: А = А. Всякая мысль тождественна самой себе. Данный закон означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим. При нарушении этого закона возможны логические ошибки. 2. Закон непротиворечия: А& = 1. Одновременно не могут быть истинными суждение и его отрицание. Другими словами А& = 0. Именно это равенство часто используется при упрощении сложных логических выражений. 3. Закон исключённого третьего: А = 1. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Закон исключённого третьего не является законом, признаваемым всеми логиками в качестве универсального закона логики. Этот закон применяется там, где познание имеет дело с жёстко ситуацией: «либо – либо», «истина – ложь». Там же, где встречается неопределённость (например, в рассуждениях о будущем), закон исключённого третьего часто не может быть применён. Рассмотрим следующее высказывание: Это предложение ложно. Оно не может быть истинным, потому что в нём утверждается, что оно ложно. Но оно не может быть и ложным, потому что тогда оно было бы истинным. Это высказывание не истинно и не ложно, а потому нарушается закон исключённого третьего. Парадокс (с греч. paradoxos – неожиданный, странный) в этом примере возникает из-за того, что предложение ссылается само на себя. Другим известным парадоксом является задача о парикмахере: В одном городе парикмахер стрижёт волосы всем жителям, кроме тех, кто стрижёт себя сам. Кто стрижёт волосы парикмахеру? В логике из-за её формальности нет возможности получить форму такого ссылающегося самого на себя высказывания. Таким образом, с помощью логики нельзя выразить все возможные мысли и доводы. 4. Закон двойного отрицания: = А. Если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание. 5. Свойства констант: = 1 (отрицание лжи есть истина); = 0 (отрицание истины есть ложь); А0 = А; А1 = А; А&0 = 0; А&1 = А. 6. Законы идемпотентности: АА = А (отсутствие коэффициентов); А&А = А (отсутствие степеней). Например, сколько бы раз мы ни повторяли: телевизор включен или телевизор включен или телевизор включен….значение высказывания не изменится. 7. Законы коммутативности: АВ = ВА; А&В = В&А. Законы ассоциативности: А(ВС) = (АВ) С; А&(В&С) = (А&В) &С. Законы дистрибутивности: А(В&С) = (АВ) &(АС); А&(ВС) = (А&В) (А&С). Закон 9 аналогичен закону алгебры чисел, а закон 8 справедлив только в алгебре логики. Законы поглощения: А(А&В) = А; А&(АВ) = А. Законы де Моргана: АВ = &; А&В = . Словесные формулировки законов де Моргана: Отрицание есть отрицаний. Отрицание истинности А В тождественно тому, что неверно А неверно В. Примеры выполнения закона де Моргана: Высказывание Неверно, что я люблю заниматься спортом и утром делать зарядку тождественно высказыванию Или я не люблю заниматься спортом или не люблю утром делать зарядку. Высказывание Неверно, что я знаю китайский или арабский язык тождественно высказыванию Я не знаю китайского языка и не знаю арабского языка. Правило замены операции импликации: АВ = В. Правила замены операции эквивалентности: АВ = (А&В)(&); АВ = (А)&(В); АВ = (АВ)&(ВА). Правило перевёртывания: АВ = . Интересно их выражение на естественном языке. Например, фраза Если Вини-Пух съел мёд, то он сыт тождественна фразе Если Вини-Пух не сыт, то мёда он не ел. 15. Закон исключения (склеивания): (А&В) (&В) = В; (АВ) &(В) = В. III. Доказательство логических законов. Доказать законы алгебры высказываний можно следующими способами: построив таблицу истинности для правой и левой частей равенства; выполнив эквивалентные преобразования над правой и левой частями равенства для приведения их к одному виду; с помощью диаграмм Эйлера- Венна; путём правильных логических рассуждений. Доказательство закона де Моргана с помощью логического рассуждения: Доказательство закона поглощения с помощью диаграмм Эйлера- Венна: А&В А) Б) В) Доказательство с помощью таблицы истинности одного из законов замены операции эквивалентности АВ = (А&В)(&): 1 2 3 4 5 6 7 8 А В АВ А&В & (4)(7) 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 Значения сложных высказываний в третьем и восьмом столбцах совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, значит, формула верна. Доказательство закона исключения (А&В)(&В)=В с помощью эквивалентных преобразований. Применим к левой части закон коммутативности и дистрибутивности (т.е. вынесем общий множитель В за скобки), затем применим закон исключённого третьего и свойство констант: (А&В)(&В) = В&(А)= В&1= В. Пример 1. Укажите значения переменных К, L, M, N, при которых логическое выражение (¬(М Ú L) Ù К) → (¬К Ù ¬М) Ú N) ложно. Решение (упрощение выражения): запишем уравнение, используя более простые обозначения операций: заменим импликацию по формуле : раскроем инверсию сложного выражения по формуле де Моргана : упростим выражение : мы получили уравнение вида «сумма = 0», в нем все слагаемые должны быть равны нулю поэтому сразу находим Закрепление изученного материала Упростите выражение F=A & B v B v C F=(A ￫ B) v (B ￫ A) F=A & C v A & C F=A v B v C v A v B v C Итог урока Оценить работу класса и назовите учащихся, отличившихся на уроке. Домашнее задание Карточка для домашней работы Доказать справедливость следующих тождеств с помощью диаграмм Эйлера-Венна: А) закон поглощения А&(АВ) = А; Б) закон де Моргана А&В = ; *В) правило замены операции импликации. 2. Доказать закон исключения (АВ) &(В) = В путём эквивалентных преобразований: 3. Доказать справедливость следующих тождеств с помощью построения таблицы истинности: А) закон ассоциативности; Б) закон дистрибутивности; В) правило перевёртывания. 4. Дополнительное задание. Доказать справедливость правил замены операции эквивалентности путём построения диаграмм Эйлера-Венна. *- Задание на «5».

Похожие:

	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель: изучить законы логики, формировать умение применять логические законы при упрощении логических выражений		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Логические основы построения компьютера»; проконтролировать степень усвоения учебного материала сформулировать правила преобразования...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Тема урока: Основы алгебры логики. Логические выражения. Составление таблиц истинности логических выражений		План-конспект урока Предметные: научить умножать разность выражений на их сумму, способствовать развитию у учащихся навыков преобразования алгебраических...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель урока: знакомство с логическими схемами, выработка умений построения логических схем по логическим выражениям, выполнения цепочек...		Тематическое планирование по информатике в 11 классе, Угринович Н.... Знать законы алгебры логики, логические выражения; логические операции, функции, элементы
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Для приведения формулы к нормальной форме используют законы логики и правила логических преобразований		Рабочая программа разработана на основе государственного образовательного... Знать законы алгебры логики, логические выражения; логические операции, функции, элементы
	Тема : Составление запросов для поисковых систем с использованием логических выражений Тема: Составление запросов для поисковых систем с использованием логических выражений		Тема : Составление запросов для поисковых систем с использованием логических выражений Тема: Составление запросов для поисковых систем с использованием логических выражений
	Тема : Составление запросов для поисковых систем с использованием логических выражений Тема: Составление запросов для поисковых систем с использованием логических выражений		Тема : Составление запросов для поисковых систем с использованием логических выражений Тема: Составление запросов для поисковых систем с использованием логических выражений
	Тема : Составление запросов для поисковых систем с использованием логических выражений Тема: Составление запросов для поисковых систем с использованием логических выражений		Тема : Составление запросов для поисковых систем с использованием логических выражений Тема: Составление запросов для поисковых систем с использованием логических выражений
	Тема : Составление запросов для поисковых систем с использованием логических выражений Тема: Составление запросов для поисковых систем с использованием логических выражений		Тема : Составление запросов для поисковых систем с использованием логических выражений Тема: Составление запросов для поисковых систем с использованием логических выражений