Кафедра «Высшей математики»
Скачать 183.03 Kb.
|
1 2
Кафедра «Высшей математики» Реферат:  Выполнил: Матвеев Ф.И. Проверила: Бурлова Л.В. Улан-Удэ.2002 Содержание. 1.Численные методы интегрирования 2.Вывод формулы Симпсона 3.Геометрическая иллюстрация 4.Выбор шага интегрирования 5.Примеры 1. Численные методы интегрирования Задача численного интегрирования заключается в вычислении интеграла  посредством ряда значений подынтегральной функции  .Задачи численного интегрирования приходится решать для функций, заданных таблично, функцией, интегралы от которых не берутся в элементарных функциях, и т.д. Рассмотрим только функции одной переменной. Вместо функции, которую требуется проинтегрировать, проинтегрируем интерполяционный многочлен. Методы, основанные на замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом, позволяют по параметрам многочлена оценить точность результата или же по заданной точности подобрать эти параметры. Численные методы условно можно сгруппировать по способу аппроксимации подынтегральной функции. Методы Ньютона-Котеса основаны на аппроксимации функции  полиномом степени  . Алгоритм этого класса отличается только степенью полинома. Как правило, узлы аппроксимирующего полинома – равноотносящие.Методы сплайн-интегрирования базируются на аппроксимации функции сплайном-кусочным полиномом.В методах наивысшей алгебраической точности (метод Гаусса) используются специально выбранные неравноотносящие узлы, обеспечивающие минимальную погрешность интегрирования при заданном (выбранном) количестве узлов. Методы Монте-Карло используются чаще всего при вычислении кратных интегралов, узлы выбираются случайным образом, ответ носит вероятностный характер.     суммарная погрешность погрешность усеченияпогрешность округления   Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность. Погрешность уменьшается при увеличении n-количества разбиений отрезка  . Однако при этом возрастает погрешность округления за счет суммирования значений интегралов, вычисленных на частичных отрезках. Погрешность усечения зависит от свойств подынтегральной функции и длины  частичного отрезка.2. Вывод формулы Симпсона Если для каждой пары отрезков  построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона. Рассмотрим подынтегральную функцию на отрезке  . Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с в точках  : Проинтегрируем  : Формула:  и называется формулой Симпсона. Полученное для интеграла  значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью  , прямыми  ,  и параболой, проходящей через точки  Оценим теперь погрешность интегрирования по формуле Симпсона. Будем считать, что у  на отрезке  существуют непрерывные производные  . Составим разность К каждому из этих двух интегралов уже можно применить теорему о среднем, поскольку  непрерывна на и функция  неотрицательна на первом интервале интегрирования и неположительна на втором ( то есть не меняет знака на каждом из этих интервалов). Поэтому: (мы воспользовались теоремой о среднем, поскольку - непрерывная функция;  ).Дифференцируя  дважды и применяя затем теорему о среднем, получим для другое выражение: , где  Из обеих оценок для следует, что формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей. Запишем формулу Симпсона, напрмер, в виде: , .Если отрезок интегрирования слишком велик, то его разбивают на  равных частей (полагая  ), после чего к каждой паре соседних отрезков  ,  ,..., применяют формулу Симпсона, именно:Запишем формулу Симпсона в общем виде:  (1) (2)Погрешность формулы Симпсона - метода четвертого порядка:  ,  (3)Так как метод Симпсона позволяет получить высокую точность, если  не слишком велика. В противном случае метод второго порядка может дать большую точность.Например, для функции  форма трапеции при  для  дает точный результат  , тогда как по формуле Симпсона получаем  3. Геометрическая иллюстрация  На отрезке  длиной 2h строится парабола, проходящая через три точки  , . Площадь под параболой, заключенная между осью OX и прямыми , принимают равной интегралу .Особенностью применения формулы Симпсона является тот факт, что число разбиений отрезка интегрирования - четное. Если же количество отрезков разбиения - нечетное, то для первых трех отрезков следует применить формулу, использующую параболу третьей степени, проходящую через четыре первые точки, для аппроксимации подынтегральной функции.  (4)Это формула Симпсона «трех восьмых». Для произвольного отрезка интегрирования формула (4) может быть «продолжена»; при этом число частичных отрезков должно быть кратно трем ( точек).  , m=2,3,... (5) - целая частьМожно получить формулы Ньютона-Котеса старших порядков :  (6) - количество отрезков разбиения; - степень используемого полинома; - производная -го порядка в точке  ; - шаг разбиения.В таблице 1 выписаны коэффициенты  . Каждая строка соответствует одному набору промежутков  узлами для построения многочлена k-ой степени. Чтобы воспользоваться этой схемой для большего количества наборов (например, при k=2 и n=6), нужно «продолжить» коэффициенты, а затем сложить их.Таблица 1:
 Алгоритм оценки погрешности формул трапеции и Симпсона можно записать в виде:  (7),где  - коэффициент, зависящий от метода интегрирования и свойств подынтегральной функции; h - шаг интегрирования; p - порядок метода. Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путем двойного просчета интеграла с шагами h и kh.  (8)(8) - апостериорная оценка. Тогда Iуточн.=  +Ro (9),  уточненное значение интеграла  .Если порядок метода неизвестен, необходимо вычислить I в третий раз с шагом  , то есть: из системы трех уравнений:  с неизвестными I,А и p получаем :  (10)Из (10) следует  (11)Таким образом, метод двойного просчета, использованный необходимое число раз, позволяет вычислить интеграл с заданной степенью точности. Выбор необходимого числа разбиений осуществляется автоматически. Можно при этом использовать многократное обращение к подпрограммам соответствующих методов интегрирования, не изменяя алгоритмов этих методов. Однако для методов, использующих равноотносящие узлы, удается модифицировать алгоритмы и уменьшить вдвое количество вычислений подынтегральной функции за счет использования интегральных сумм, накопленных при предыдущих кратных разбиениях интервала интегрирования. Два приближенных значения интеграла  и , вычисляемые по методу трапеции с шагами  и  , связаны соотношением:   (12)Аналогично, для интегралов, вычисленных по формуле с шагами и , справедливы соотношения: ,   (13)  |
1 2
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Юзгу-2011/12 Кафедра высшей математики Рубежный тест -1 системы линейных... Электронный справочник по школьной алгебре и геометрии, а также по некоторым разделам высшей математики. Определения и иллюстрированные... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Кафедра высшей математики Составитель кандидат физико-математических наук, доцент Емгушева Г. П |
 | Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 2002. Общий курс высшей... Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. –М.: Айрис-пресс, 2006г | | Одобрено К. п н., профессор, заведующая кафедрой высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики |
| Одобрено К. п н., профессор, заведующая кафедрой высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики | | Конспект урока по геометрии в 7 классе с использованием электронного... В. Б. Малышевой, учителя математики высшей категории мкоу «Лицей №2» г о. Нальчик кбр |
| Самарский государственный университет Механико-математический факультет... Быстро растет количество изданий, посвященных Сети, что предвещает широкое ее распространение даже в далеких от техники областях.... | | Формирование метапредметных умений на уроках математики Номинация:... Средняя общеобразовательная школа №1 с углубленным изучением отдельных предметов |
| «Степень с рациональным показателем» Цель проведения мастер-класса: познакомить учителей математики оу успенского района с опытом работы учителя математики высшей категории... | | Итоговый отчет Икт в учебном процессе школы как условие формирования информационно-коммуникативной компетентности обучающихся. Автор программы и... |
| Мгпу учебно-методичекий комплекс дисциплины Рецензенты: Иванчук Н. В., к п н., доцент кафедры математики и мом мгпу, Беляев Владимир Яковлевич кандидат физ мат наук, доцент... | | Кривоногов Константин Юрьевич, учитель информатики высшей квалификационной... Дробно – рациональных функций и построение их графиков с использованием прикладных и инструментальных программных средств |
| Кострома Тный работник Российской Федерации, учитель математики высшей квалификационной категории моу лицея №17 города Костромы Сорокина Светлана... | | Совершенствование лекционного курса высшей математики в техническом... В современной науке и технике математические методы играют всё большую роль. Это обусловлено быстрым ростом вычислительной техники,... |
| Отчет по результатам самоаттестации кафедры теории и методики обучения математике в школе Кафедра теории и методики обучения математике в школе математического факультета мгпу была открыта в 2002 году. Основной деятельностью... | | Сборник задач по высшей математике : учеб пособие / В. П. Минорский.... Шипачев,В. С. Курс высшей математики : учебник / В. С. Шипачев; под ред. А. Н. Тихонова. 4-е изд., испр. М. Оникс, 2009. 608 с ил.... |
