Экзаменационные вопросы по математике
для студентов 1 курса ГФ МГУГиК.
Кафедра высшей математики Составитель кандидат физико-математических наук, доцент Емгушева Г.П.
Глава 1. Числовые множества. Функции.
Числовые множества. Операции над множествами. Модуль вещественного числа. Числовые промежутки. Окрестность и проколотая окрестность точки.
Функция, ее способы задания. Основные характеристики функции. Определение последовательности, убывающая и возрастающая последовательности. Ограниченная последовательность.
Сложная и обратная функции. Основные элементарные функции, их графики.
Глава 2. Понятие предела функции.
Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства.
Основные теоремы о пределах функций. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.
Первый и второй замечательные пределы. Признаки существования пределов.
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций и теоремы о них.
Глава 3. Непрерывность функции и точки разрыва.
Непрерывность функции в точке и в области. Основные свойства непрерывных функций.
Классификация точек разрыва функции и графики для них.
Глава 4. Производная функции.
Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, ее механический и геометрический смыслы. Уравнения касательной и нормали к кривой.
Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Гладкая функция. Правила дифференцирования.
Производная сложной и обратной функций. Таблица производных элементарных функций.
Глава 5. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Производные высших порядков. Дифференциал функции.
Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование.
Производные высших порядков. Механический смысл производной второго порядка. Производные высших порядков функций, заданных неявно и параметрически.
Дифференциал функции и его геометрический смысл.
Теоремы о дифференциалах. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Глава 6. Исследование функций с помощью производных.
Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши для дифференцируемых функций, их геометрические интерпретации. Правила Лопиталя.
Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимое и два достаточных условия экстремума, их геометрические интерпретации.
Применение второй производной к выпуклости графика функции и точкам перегиба. Вертикальная и наклонная асимптоты графика функции.
Приложение производных к формуле Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для произвольной функции. Формула Маклорена,
Глава 7. Неопределенный интеграл.
Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов.
Непосредственное интегрирование и подстановка (замена переменной) в интеграле. Метод интегрирования по частям и его применение к трем основных типам интеграла.
Дробно-рациональная функция. Четыре типа простейших рациональных дробей. Метод сравнения при разложении правильной рациональной дроби.
Интегрирование четырех простейших рациональных дробей. Общее правило интегрирования рациональных дробей.
Интегрирование тригонометрических функций с помощью универсальной и трех простых тригонометрических подстановок. Интегралы вида 
Интегрирование некоторых видов иррациональностей и дифференциального бинома.
Литература.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Изд-во «АЙРИС-пресс».М.2002.
Шипачев В.С. Основы высшей математики. Изд-во «Высшая школа».М.1989.
|
