Прямая на плоскости урок 1

Скачать 57.98 Kb.

Название	Прямая на плоскости урок 1
Дата публикации	18.07.2014
Размер	57.98 Kb.
Тип	Урок

100-bal.ru > Математика > Урок

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Урок 1

Виды уравнений прямой на плоскости

Прямая на плоскости может быть задана одним из следующих ниже уравнений.

1. Прямая на плоскости однозначно задается точкой и вектором, перпендикулярным к этой прямой. Такой вектор называется нормальным вектором.

Пусть М₀(x₀, y₀) –точка, лежащая на прямой L; а вектор

– нормальный вектор прямой L. Тогда для любой точки М(x, y), лежащей на этой прямой, вектор

будет перпендикулярен вектору

, а значит, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

A(x – x₀) + B(y – y₀) = 0 –

получили уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀) перпендикулярно вектору

.

2. Выведем из полученного выше уравнения общее уравнение прямой. Пусть

A(x – x₀) + B(y – y₀) = 0.

Раскроем скобки:

Ax + By + (–Ax₀ – By₀) = 0.

Обозначим (–Ax₀ – By₀) = C, тогда получаем

Ax + By + C = 0 –

общее уравнение прямой на плоскости, где коэффициенты А, В − координаты нормального вектора.

3. Прямая на плоскости так же однозначно задается точкой и вектором, параллельным этой прямой. Такой вектор называется направляющим.

Пусть М₀(x₀, y₀) – точка, лежащая на прямой L; а вектор

– направляющий вектор этой прямой. Тогда для любой точки М(x, y), лежащей на этой прямой, вектор

будет коллинеарен вектору

; следовательно, координаты вектора

будут пропорциональны координатам вектора

–

получили каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М(x₀, y₀) параллельно направляющему вектору

.

4. Получим из канонического уравнения прямой параметрические уравнения, введя параметр t:

;

параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(x₀, y₀) параллельно вектору

.

5. Если С  0, то можно из общего уравнения прямой Ax + By + С = 0 получить уравнение прямой «в отрезках». Разделим общее уравнение Ax + By = – С на коэффициент (–С):

Обозначим:

, тогда

–

уравнение прямой в отрезках, где a и b – величины направленных отрезков, отсекаемых прямой от координатных осей.

6. Если В  0, то можно получить уравнение прямой с угловым коэффициентом. Из общего уравнения Ax + By + C = 0 выразим y:

By = –Ax – C;

.
Обозначим

,

тогда

y = kx + b –

уравнение прямой с угловым коэффициентом, где k – угловой коэффициент прямой, или тангенс угла между прямой и осью OX, (k = tg); а b – ордината точки пересечения прямой с осью OY.

Если  − острый угол, то k > 0, если  − тупой угол, то k < 0, если  = 0 , то прямая параллельна оси ОХ и k = 0, если  = π/2, то прямая перпендикулярна оси ОХ и не имеет углового коэффициента.

7. Найдем уравнение прямой L, проходящей через две точки А(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) на плоскости. Тогда вектор

= (x₂ – x₁, y₂ – y₁) – направляющий вектор этой прямой, а точка A(x₁, y₁)  L.

Для любой точки М(x, y), лежащей на прямой L, векторы

должны быть коллинеарны, а значит, их координаты должны быть пропорциональны:

–

получили уравнение прямой, проходящей через точки А(x₁, y₁) и B(x₂, y₂).

Пример 1.

Написать уравнение прямой L, проходящей через точку М₀(−5, 2) перпендикулярно вектору

.

Решение

Для любой точки М (x, y), лежащей на прямой L, вектор

перпендикулярен нормальному вектору

Следовательно, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

.

Вычислим скалярное произведение векторов:

Тогда общее уравнение прямой:

x – 3y + 11 = 0.

Пример 2.

Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₀(4, 7) параллельно вектору

.

Решение

Для любой точки M(x, y), лежащей на прямой L, вектор

коллинеарен вектору

. Следовательно, их координаты должны быть пропорциональны.

– координаты вектора

.

Тогда каноническое уравнение прямой:

.

Общее уравнение прямой:

2x + 5y − 43 = 0.

Пример 3.

Написать уравнение прямой L, проходящей через точки М₀ (3, 4) и М₁ (−3, −6).

Решение

Для любой точки M(x, y), лежащей на прямой L, вектор

коллинеарен вектору

, а значит, их координаты должны быть пропорциональны.

Найдем координаты векторов

Тогда каноническое уравнение прямой:

;

Общее уравнение прямой:

Пример 4.

Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (1, 2) параллельно прямой L₁: 2x −5 y + 4 = 0.

Решение

Вектор

– нормальный вектор прямой

. Прямые L и L₁ параллельны, следовательно, вектор

перпендикулярен прямой L. А значит, для любой точки M(x, y), лежащей на прямой L, вектор

перпендикулярен вектору

. Следовательно, скалярное произведение векторов

должно быть равно нулю.
Зная координаты векторов

, найдем их скалярное произведение:

2x – 2 – 5y + 10 = 0.

Тогда общее уравнение прямой L:

2x – 5y + 8 = 0.

Пример 5.

Написать уравнение прямой L, проходящей через точку М₀(3, 0) перпендикулярно прямой L₁: 2x +7 y + 11 = 0.

Решение

Прямые L и L₁перпендикулярны, следовательно, нормальный вектор прямой L₁параллелен прямой L , то есть является направляющим вектором прямой L.

Тогда для любой точки M(x, y), лежащей на прямой L, вектор

коллинеарен вектору

. Следовательно, координаты этих векторов должны быть пропорциональны.

Координаты векторов

. Тогда уравнение прямой:

.

Тогда общее уравнение прямой L:

7x – 21y − 21 = 0.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

	Прямая на плоскости урок 2 Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых		Урок 2 Тема урока: Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол... Рассмотреть случаи, когда прямые заданы каноническими, общими или уравнениями с угловым коэффициентом. Научить находить косинус угла...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Аксиомы стереометрии, следствия из них. Обозначение точки,...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Аксиомы стереометрии, следствия из них. Обозначение точки,...
	Урок в 10 «А» классе по геометрии На тему «Изображение пространственных фигур на плоскости» ...		Урок по математике в 6 классе на тему “ Прямая и обратная пропорциональные зависимости Открытый урок по математике в 6 классе на тему “ Прямая и обратная пропорциональные зависимости ”(по учебнику Н. Виленкин)
	Урок литературного чтения Образовательная: повторить понятие системы координат на плоскости, осей координат, способствовать выработке навыков и умений в построении...		Урок по математике и информатике по теме «Координатная плоскость» Закрепить умение работать с координатной плоскостью: умение находить точку на координатной плоскости по заданным координатам и находить...
	Урок 1 Тема урока: Основные виды уравнений прямой на плоскости Данную тему нужно изучать после изучения темы «векторы». Материал предназначен для математических классов и изложен таким образом,...		Урок №16. Гея и селена Период обращения по орбите равен времени 365,256 кульминаций «среднего Солнца» или земных суток, которые равны ровно 24 часа. Период...
	Конспект урока физкультуры. 9класс. 3 четверть. Тема: «Волейбол» Различают четыре способа подачи: нижняя прямая, нижняя боковая, верхняя прямая и верхняя боковая		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... А. Н. Колмогорова мгу им. М. В. Ломоносова в конце мая этого учебного года (как и два года назад) была посвящена аксиоматике аффинной...
	Урок 1 Прямая и отрезок Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)		Ход урока Частные задачи Различают четыре способа подачи: нижняя прямая, нижняя боковая, верхняя прямая и верхняя боковая
	Урок по темам «Прямая, отрезок, луч, ломаная», «Длина отрезка», «Координатный... Цель: обобщить и повторить знания и умения учащихся по темам «Координатный луч», «Прямая, отрезок, луч, ломаная», «Длина отрезка»,...		Конспект урока по теме: «Волейбол» Луконин Сергей Викторович, учитель... Различают четыре способа подачи: нижняя прямая, нижняя боковая, верхняя прямая и верхняя боковая

Школьные материалы