Решение д Общий член последовательности имеет вид

§ 8(7). Геометрическая прогрессия Основная цель изучения восьмого параграфа — овладеть понятием геометрической прогрессии, изучить её свойства и научиться ими пользоваться. Сначала вводятся понятия геометрической прогрессии, затем изучаются её свойства. Материалом этого параграфа должны овладеть все учащиеся. В классах с углублённым изучением математики надо ещё изучить бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. 8.1. Понятие геометрической прогрессии 8.2. Сумма первых n членов геометрической прогрессии В пункте 8.1 даны определения геометрической прогрессии, её знаменателя и приведены её основные свойства. В пункте 8.2 приведена формула суммы первых n членов геометрической прогрессии. Желательно, чтобы все учащиеся овладели этим материалом. Особое внимание надо обратить на задачу, с помощью которой выводится формула для сложных процентов. Надо подчеркнуть, что существуют два способа процентного роста — по формуле простых процентов и по формуле сложных процентов, и надо объяснить также, чем эти способы отличаются. При этом учащиеся должны понимать, что если, например, вкладывать деньги в банк под один и тот же процент и на один и тот же срок, то прирост вклада по формуле сложных процентов будет большим за счет процентов на процентные деньги. Действительно, если при вкладе на простые проценты после n месяцев вклад в a р. под p % в месяц превратится в a(1 + nd) р., где d = , то при вкладе на сложные проценты он превратится в a(1 + nd + + ... + dn) р. Здесь в скобках записано разложение (1 + nd)n по формуле бинома Ньютона (см. Дополнение к главе 5). Обратим внимание на то, что в учебнике приведены рассуждения, которые лишь подводят к гипотезе о формулах n-го члена геометрической прогрессии и суммы первых n членов геометрической прогрессии (эти рассуждения часто принимают за доказательства). Полные доказательства этих формул можно провести в классе с углублённым изучением математики после изучения метода математической индукции. Решения и комментарии 478(656). Является ли арифметической прогрессией последовательность: а) 1; 8; 15; 21; 26; ...; б) 4; 2; 1; 0,5; 0,25; ...? Решение. а) Так как a2 : a1 a3 : a2, то последовательность не является геометрической прогрессией. б) Так как a2 : a1 = a3 : a2 = a4 : a3 = a5 : a4 = 0,5, то последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем q = 0,5. 482(660). Даны три последовательных члена геометрической прогрессии: а) 7; x; 63. Найдите x, если x > 0; б) 2; x; 18. Найдите x, если x < 0. Решение. а) Пользуясь свойством геометрической прогрессии с положитель­ными членами, имеем a2 = = = 21, то есть x = 21. б) Так как для геометрической прогрессии с произвольными членами верно равенство a2 : a1 = a3 : a2, то число x является корнем уравнения x : 2 = 18 : x. Это уравнение имеет два корня x1 = –6, x2 = 6. Так как x < 0, то x = –6. Ответ. а) 21; б) –6. 483(661). а) Найдите a1 и q геометрической прогрессии {аn}, если a4 – a2 = 18 и a5 – a3 = 36. Решение. Перепишем данные равенства, используя a1 и q: a1q3 – a1q = 18 и a1q4 – a1q2 = 36. Для решения задачи надо решить систему полученных уравнений с неизвест­ными a1 и q. Вынеся за скобки q во втором уравнении и заменив a1q3 – a1q числом 18, получим уравнение 18q = 36, имеет единственный корень q1 = 2. Теперь подставив вместо q число 2 в первое уравнение, получим уравнение 8a1 – 2a1 = 18, которое имеет единственный корень a1 = 3. Ответ. a1 = 3, q = 2. 484(662). Доказываем. а) Докажите, что для любой геометрической прогрес­сии {bn} верно равенство . Доказательство. Перепишем доказываемое равенство, используя b1 и q: . (1) Так как b1 0 и q 0, то дробь в левой части равенства (1) можно сократить на b1q6, а дробь в правой части — на b1q8. Получится равенство . (2) Так как равенство (2) выполняется для любых q, то, рассуждая в обратном порядке, из справедливости равенства (2) получим, что справедливо равенство (1), что и требовалось доказать. 487(663). а) Задача И. Ньютона (1643 – 1727). Даны четыре последовательных члена геометрической прогрессии. Сумма двух крайних членов равна 13, а сумма двух средних членов равна 4. Определите эти члены. Решение. Пусть даны четыре члена геометрической прогрессии: an, an + 1, an + 2, an + 3. По условию задачи верны два равенства: an + an + 3 = 13 и an + 1 + an + 2 = 4, то есть an + an q3 = 13 и an q + an q2 = 4. Для решения задачи надо решить систему полученных уравнений с двумя неизвестными an и q. Перепишем эти уравнения в виде: an(1 + q)(1 – q + q2) = 13 и anq(1 + q) = 4. Так как q 0, то, найдя из второго уравнения системы, что an(1 + q) = и подставив в первое уравнение вместо an(1 + q), получим уравнение , имеющее два корня: q1 = 4, q2 =. Если q = 4, то из второго уравнения получим, что an = , т. е. искомые члены геометрической прогрессии есть , , , . Если q = , то из второго уравнения получим, что an = , т. е. искомые члены геометрической прогрессии есть , , , . Мы получили в двух случаях одни и те же члены, но они отличаются порядком: в первом случае они являются членами возрастающей прогрессии, во втором — убывающей. Ответ. , , , или , , , . 488(н). В начале месяца вкладчик положил на счёт в банке а р. при условии, что ежемесячно на его счёт будет начисляться р % от той суммы вклада, которая будет находиться на его счёте в начале этого месяца. Вкладчик не снимал деньги со счёта n месяцев, а в начале (n + 1)-го месяца снял со счёта все деньги в сумме b р. а) Какую сумму вкладчик снял со счёта, если а = 600 000, р = 1, п = 2? б) Какую сумму вкладчик положил на счёт, если b = 530 604, р = 2, п = 3? в) Покажите, как ответ к каждой из задач а) и б) можно получить с помощью формулы общего члена геометрической прогрессии. Решение. а) В конце первого месяца сумма 600 000 р. увеличится на (р.) и превратится в 600 000 + 6 000 = 606 000 (р.). В конце второго месяца сумма 606 000 р. увеличится на (р.) и превратится в 606 000 + 6 060 = 612 060 (р.). То есть вкладчик снял со счёта 612 060 р. б) В конце первого месяца сумма a р. увеличится на = 0,02a (р.) и превра­тится в a + 0,02a = 1,02a (р.), то есть увеличится в 1,02 раза. В конце второго месяца сумма 1,02a р. увеличится на 2 %, то есть в 1,02 раза и превратится в a1,02 р. В конце третьего месяца сумма a1,02 р. увеличится ещё раз на 2 %, то есть в 1,02 раза и превратится в a1,023 = 1,061208a р., что по условию задачи равно 530 604 р. Из уравнения 1,061208a = 530604 Найдём его единственный корень a = 500 000, то есть вкладчик положил на счёт 500 000 р. в) Суммы на счёте в начале 1-го, 2-го, ..., n-го , (n + 1)-го месяцев, образуют геометрическую прогрессию с первым членом a и знаменателем q = 1 + , так как каждая следующая сумма больше предыдущей в 1 + раза: a, a, a, ..., a. В заданиях а) и б) сумму b р. сняли через n месяцев, то есть в начале (n + 1)-го месяца, поэтому верно равенство: b = a. (1) Далее в каждом из пунктов а) и б) по известным значением трёх величин из равенства (1) можно получить значение четвёртой величины. 493(668). а) Вычислите сумму первых десяти членов геометрической прогрес­сии –32; 16; –8; 4; ... . Решение. Сначала найдём знаменатель q геометрической прогрессии {аn}: q = a2 : a1 = 16 : (–32) = –. Теперь вычислим S10 = = = –. Ответ. –. 496(671). Сумма десяти членов геометрической прогрессии равна 64, произведение первого и десятого членов равно 16. Найдите сумму чисел, обратных членам этой геометрической прогрессии. Решение. По условиям задачи для геометрической прогрессии {аn} составим два уравнения: a1 + a1q + a1q2 + a1q3 + a1q4 + a1q5 + a1q6 + a1q7 + a1q8 + a1q9 = 64, . Вынесем в левой части первого уравнения за скобки число : = 64, затем, заменив в полученном уравнении на 16 и разделив уравнение на 16, перепишем его в виде: = 4. Итак, найдена сумма чисел, обратных членам этой геометрической прогрессии.

Похожие:

	Тема Вид работы Работа с рисунками, учебником, памятками, составление последовательности построения рисунка		Докладчик Член Бюро Высшего Совета Партии «единая россия», член Совета Федерации фс рф, член Комитета сф по международным делам, координатор...
	2010 год Вид урока Вид урока: урок практического применения знаний по теме “ Решение заданий егэ по информатике ” в разных видах деятельности		Программа 23 ноября 2013 г. Вступительное слово Мгдд(Ю)Т, член Совета Союза краеведов России, академик и член Президиума моо «Академия детско-юношеского туризма и краеведения»,...
	Установление хронологической последовательности Установите в хронологической последовательности события. Запишите цифры, которыми обозначены события, в правильной последовательности...		Тип урока Определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата, составление плана и последовательности действий;...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Трис т" туроператор по Мальте, член Мальтийского клуба, имеет блок мест на а/к "Air Malta"		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Мобу «Поярковская сош №1» самая крупная школа Михайловского района. Школа расположена в центре с. Поярково. Имеет удобное транспортное...
	Реферат. Рекомендации по написанию реферата: (соответствуют последовательности... Авторы: Авторы (фамилии и инициалы) указываются в последовательности, соответствующей заявлению (форма рп и формы рп/доп в соответствии...		Положение о 5 районной истоковской ярмарке «Земля наш общий дом» Программа «Истоки» имеет своей целью ввести в образовательное поле систему идеалов, ценностей и норм, лежащих в основе российской...
	Златоусте Кафедра «Социально-правовые и гуманитарные науки» Предмет имеет скорее просветительский, чем практический характер. Он знакомит студентов с развитием костюма в его исторической последовательности,...		Рабочая программа дисциплины Общий менеджмент Специальность 036401 «Таможенное дело» Дисциплина «Общий менеджмент» относится к дисциплинам базовой части профессионального цикла
	Вид. Одной из ос­новных таксономических категорий является вид (species).... Основные принципы классификации микроорганизмов. Понятие рода, вида, подвида, штамма		Уроки геометрии в 9-м классе по теме " Решение треугольников" Определите вид треугольника, не вычисляя его углов, если известны его стороны (Презентация, слайд 1)
	Памятка для студентов по направлению подготовки 270100 «Архитектура» Дисциплина «История архитектуры, градостроительства и дизайна» имеет общий объем 108 часов, в 3 семестре 41 часов (17 – лекционных...		Несимметрия напряжения Несимметрия напряжений трехфазной сети характеризуется коэффициентом обратной последовательности напряжений k2U, определяемым отношением...