Решение д Общий член последовательности имеет вид

508(684). Докажите методом математической индукции, что для любого натурального n выполняется неравенство: а) 1 + 2 + 3 + ... + n n2; д) 4n > 7n – 5; е) 2n > 5n + 1, n 5. Доказательство. а) При n = 1 справедливо неравенство 1 12. Предположим, что для некоторого натурального числа n = k справедливо неравенство 1 + 2 + 3 + ... + k k2 (1) и докажем, что тогда для n = k + 1 справедливо неравенство 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) (k + 1)2. (4) Используя неравенство (1), имеем: 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) k2 + (k + 1) (k + 1)2, что и доказывает неравенство (2). Согласно принципу математической индукции, неравенство 1 + 2 + 3 + ... + n n2 справедливо для любого натурального n. д) При n = 1 справедливо неравенство 41 > 7 – 5, при n = 2 справедливо неравенство 42 > 14 – 5. Предположим, что для некоторого натурального числа n = k (k 2) справедливо неравенство 4k > 7k – 5 (3) и докажем, что тогда для n = k + 1 справедливо неравенство 4k + 1 > 7(k + 1) – 5. (4) Используя неравенство (3), имеем: 4k + 1 = > = 28k – 20 = 7(k + 1) – 5 + (21k – 22) > 7(k + 1) – 5, так как для k 2 верно неравенство 21k – 22 > 0. Тем самым неравенство (4) доказано. Согласно принципу математической индукции, неравенство 4k > 7k – 5 справедливо для любого натурального n. Замечание. При доказательстве неравенства д) было недостаточно проверить справедливость неравенства для k = 1, так как для k = 1 неравенство 21k – 22 > 0, используемое в доказательстве, не выполняется, а при k = 2 — выполняется. Здесь был использован более общий метод математической индукции. Он заключён в следующем. Если свойство, зависящее от натурального n, во-первых, верно при n = n0 (n0 1) и, во-вторых, из предположения, оно верно при n = k (k n0) следует, что оно верно при n = k + 1, то считают, что это свойство верно для любого натурального n n0. е) При n = 5 справедливо неравенство 25 > 25 + 1. Предположим, что для некоторого натурального числа n = k (k 5) справедливо неравенство 2k > 5k + 1 (5) и докажем, что тогда для n = k + 1 справедливо неравенство 2k + 1 > 5(k + 1) + 1. (6) Используя неравенство (5), имеем: 2k + 1 = > = 10k + 2 = 5(k + 1) + 1 + 5k – 4 > 5(k + 1) + 1, так как для k 5 верно неравенство 5k – 4 > 0. Тем самым неравенство (6) доказано. Согласно принципу математической индукции, неравенство 2n > 5n + 1 справедливо для любого натурального n 5. 510(686). Докажите, что для любого натурального n выполняется равенство 13 + 23 + 33 + ... + n3 = . (1) Доказательство. При n = 1 справедливо равенство 13 = . Предположим, что для некоторого натурального числа n = k справедливо равенство 13 + 23 + 33 + ... + k3 = (2) и докажем, что тогда для n = k + 1 справедливо равенство 13 + 23 + 33 + ... + k3 + (k + 1)3 = . (3) Используя равенство (2), имеем: 13 + 23 + 33 + ... + k3 + (k + 1)3 = + (k + 1)3 = = = , что и доказывает равенство (3). Согласно принципу математической индукции, равенство (1) справедливо для любого натурального n. 512(688). Задача аль-Каши (Иран, XIV–XV вв.) Докажите, что для любого натурального n выполняется равенство 14 + 24 + 34 + ... + n4 = (6n5 + 15n4 + 10n3 – n). (1) Доказательство. При n = 1 справедливо равенство 14 = (6 + 15 + 10 – 1). Предположим, что для некоторого натурального числа n = k справедливо равенство 14 + 24 + 34 + ... + k4 = (6k5 + 15k4 + 10k3 – k) (2) и докажем, что тогда для n = k + 1 справедливо равенство 14 + 24 + 34 + ... + k4 + (k + 1)4 = = (6(k + 1)5 + 15(k + 1)4 + 10(k + 1)3 – (k + 1)). (3) Используя равенство (2), имеем: 14 + 24 + 34 + ... + k4 + (k + 1)4 = (6k5 + 15k4 + 10k3 – k) + (k + 1)4 = = (6k5 + 15k4 + 10k3 – k + 30(k4 + 4k3 + 6k2 + 4k + 1)) = = (6k5 + 45k4 + 130k3 + 180k2 + 119k + 30). Убедимся, что правая часть равенства (3) преобразуется к тому же виду: (6(k + 1)5 + 15(k + 1)4 + 10(k + 1)3 – (k + 1)) = = (6(k5 + 5k4 + 10k3 + 10k2 + 5k + 1) + 15(k4 + 4k3 + 6k2 + 4k + 1) + + 10(k3 + 3k2 + 3k + 1) – k – 1) = (6k5 + 45k4 + 130k3 + 180k2 + 119k + 30). Итак, равенство (3) доказано, следовательно, согласно принципу математи­ческой индукции, равенство (10) справедливо для любого натурального n. 514(690). Докажите, что для любого натурального n а) 5n + 3 делится на 4; в) 4n + 6n – 1 делится на 9. Доказательство. а) При n = 1 число 5 + 3 = 8 делится на 4. Предположим, что для некоторого натурального числа n = k число 5k + 3 делится на 4 и докажем, что тогда для n = k + 1 число 5k + 1 + 3 делится на 4. Перепишем число 5k + 1 + 3 в виде + 3 = – 12. Так как числа 5k + 3 и 12 делятся на 4, то их сумма — число 5k + 1 + 3 — также делится на 4. Следовательно, согласно принципу математической индукции, число 5n + 3 делится на 4 для любого натурального n. в) При n = 1 число 4 + 6 – 1 = 9 делится на 9. Предположим, что для некоторого натурального числа n = k число 4k + 6k – 1 делится на 9 и докажем, что тогда для n = k + 1 число 4k + 1 + 6(k + 1) – 1 делится на 9. Перепишем число 4k + 1 + 6(k + 1) – 1 в виде + 6k + 5 = – 18k + 9. Так как числа 4k + 6k – 1 и –18k + 9 делятся на 9, то число 4k + 1 + 6(k + 1) – 1 делится на 9. Следовательно, согласно принципу математической индукции, число 4n + 6n – 1 делится на 9 для любого натурального n. Приведём доказательство методом математической индукции формулы 2n – 1 из задания 516(692). Доказательство. При n = 1 справедливо формула справедлива, так как одно кольцо можно перенести за 21 – 1 = 1 ход. Предположим, что для некоторого натурального числа n = k «пирамиду» из k колец можно перенести за 2k – 1 ходов и докажем, что тогда «пирамиду» из (k + 1) кольца можно перенести за 2k + 1 – 1 ходов. По нашему предположению «пирамиду» из k колец можно перенести за 2k – 1 ходов на второй штырёк. Нижнее (k + 1)-е кольцо можно перенести за 1 ход на третий штырёк, потом снова пирамиду из k колец можно перенести за 2k – 1 ходов на третий штырёк. Всего для переноса «пирамиды» из (k + 1) кольца потребовалось (2k – 1) + 1 + + (2k – 1) = 2k + 1 – 1 ходов, что и требовалось доказать. Согласно принципу математической индукции, наименьшее число ходов, за которое можно перенести все кольца с одного штырька на другой равно 2n – 1. 2. Исторические сведения В этом пункте приведена история изучения прогрессий, известная задача-легенда о шахматной доске и другие факты, связанные с прогрессиями.

Похожие:

	Тема Вид работы Работа с рисунками, учебником, памятками, составление последовательности построения рисунка		Докладчик Член Бюро Высшего Совета Партии «единая россия», член Совета Федерации фс рф, член Комитета сф по международным делам, координатор...
	2010 год Вид урока Вид урока: урок практического применения знаний по теме “ Решение заданий егэ по информатике ” в разных видах деятельности		Программа 23 ноября 2013 г. Вступительное слово Мгдд(Ю)Т, член Совета Союза краеведов России, академик и член Президиума моо «Академия детско-юношеского туризма и краеведения»,...
	Установление хронологической последовательности Установите в хронологической последовательности события. Запишите цифры, которыми обозначены события, в правильной последовательности...		Тип урока Определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата, составление плана и последовательности действий;...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Трис т" туроператор по Мальте, член Мальтийского клуба, имеет блок мест на а/к "Air Malta"		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Мобу «Поярковская сош №1» самая крупная школа Михайловского района. Школа расположена в центре с. Поярково. Имеет удобное транспортное...
	Реферат. Рекомендации по написанию реферата: (соответствуют последовательности... Авторы: Авторы (фамилии и инициалы) указываются в последовательности, соответствующей заявлению (форма рп и формы рп/доп в соответствии...		Положение о 5 районной истоковской ярмарке «Земля наш общий дом» Программа «Истоки» имеет своей целью ввести в образовательное поле систему идеалов, ценностей и норм, лежащих в основе российской...
	Златоусте Кафедра «Социально-правовые и гуманитарные науки» Предмет имеет скорее просветительский, чем практический характер. Он знакомит студентов с развитием костюма в его исторической последовательности,...		Рабочая программа дисциплины Общий менеджмент Специальность 036401 «Таможенное дело» Дисциплина «Общий менеджмент» относится к дисциплинам базовой части профессионального цикла
	Вид. Одной из ос­новных таксономических категорий является вид (species).... Основные принципы классификации микроорганизмов. Понятие рода, вида, подвида, штамма		Уроки геометрии в 9-м классе по теме " Решение треугольников" Определите вид треугольника, не вычисляя его углов, если известны его стороны (Презентация, слайд 1)
	Памятка для студентов по направлению подготовки 270100 «Архитектура» Дисциплина «История архитектуры, градостроительства и дизайна» имеет общий объем 108 часов, в 3 семестре 41 часов (17 – лекционных...		Несимметрия напряжения Несимметрия напряжений трехфазной сети характеризуется коэффициентом обратной последовательности напряжений k2U, определяемым отношением...