Скачать 249.31 Kb.
|
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами.
Модуль 1. Тема 1.1. Булевы функции и логика высказываний. Функции алгебры логики. Существенные и несущественные переменные. Формулы. Представление функций формулами. Операция суперпозиции. Операция введения несущественной переменной. Замыкание множества функций. Замкнутые классы. Равенство функций. Эквивалентность формул. Элементарные функции и их свойства. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма. Совершенная конъюнктивная нормальная форма. Полные системы функций. Достаточное условие полноты. Примеры полных систем. Полиномы Жегалкина. Представление булевых функций полиномами. Линейные функции и их свойства. Функции, сохраняющие константы. Самодвойственные функции и их свойства. Монотонные функции и их свойства. Теорема Поста о полноте системы булевых функций. Возможность выделить из каждой полной системы полную подсистему, состоящую не более чем из 4-х функций. Базисы замкнутых классов. Примеры базисов в P2. Предполные классы. Свойства предполных классов в P2. Теорема Поста о конечной порожденности замкнутых классов булевых функций. Тема 1.2. Исчисление высказываний. Высказывания и операции над ними. Аксиомы классического исчисления высказываний. Схемы аксиом. Правила вывода. Вывод. Выводимые формулы. Вывод из системы гипотез. Простые свойства выводимости. Примеры вывода. Вывод формулы A → A. Теорема о дедукции. Тождественная истинность выводимых формул. Непротиворечивость классического исчисления высказываний. Теорема о полноте. Независимость схем аксиом исчисления высказываний. Теорема о независимости схем аксиом исчисления высказываний. Модуль 2. Тема 2.1. Логика предикатов. Понятие предиката. Примеры. Логические операции над предикатами; кванторы. Теоретико-множественный смысл операций над предикатами. Условия полноты системы предикатов на конечном множестве. Формулы; свободные и связанные переменные. Модель, сигнатура модели. Значение формулы в модели. Формула, истинная в модели. Формула, истинная на множестве. Тождественно истинная формула. Правила эквивалентных преобразований формул логики предикатов. Нормальная форма. Приведение формул к нормальной форме. 7 Тема 2.2. Фильтры, теорема компактности. Фильтры, максимальные фильтры. Теорема о вложении фильтров. Теорема об ультрафильтрах. Фильтрованные произведения, ультрапроизведения. Теорема об ультрапроизведениях. Теорема компактности. Предложение о бесконечных моделях. Нестандартные арифметики. Теорема о нестандартных арифметиках. Тема 2.3. Исчисление предикатов. Аксиомы классического исчисления предикатов. Правила вывода. Выводимые формулы. Примеры вывода. Специальный вывод из системы гипотез, теорема о дедукции. Тождественная истинность выводимых формул. Непротиворечивость классического исчисления предикатов. Теорема Гёделя о полноте. Модуль 3. Тема 3.1. Частично рекурсивные функции. Частичные числовые функции. Простейшие функции. Операции суперпозиции и примитивной рекурсии. Примитивно рекурсивные функции. Операция минимизации. Частично рекурсивные функции, общерекурсивные функции. Тезис Чёрча. Теорема о совпадении класса частично рекурсивных функций и класса частичных числовых функций, вычислимых по Тьюрингу. Рекурсивные множества, разрешимые предикаты, рекурсивно перечислимые множества, частично разрешимые предикаты. Теорема Райса. Нормальные алгорифмы Маркова. Принцип нормализации. Тема 3.2. Машина Тьюринга. Машина Тьюринга и универсальные функции. Машина Поста. Сводимости и степени. Сводимость по Тьюрингу, степени неразрешимости.
Тема 1.1. Булевы функции и логика высказываний. Основные бинарные отношения: эквивалентность и частичный порядок. Принципы трансфинитной индукции, максимума и теорема об эквивалентностях. Задание булевых функций, контактно-релейные схемы. Предложения о КНФ и ДНФ. Теорема об описании предполных классов Поста.. Тема 1.2. Исчисление высказываний. Формулировка ИВ: алфавит, формулы, секвенции доказуемые и правила вывода, доказательство секвенций. Вспомогательные леммы и теоремы о полноте ИВ а узком и широком смыслах. Тема 2.1. Логика предикатов. Язык логики предикатов. Истинность формул в системах данной сигнатуры. Эквивалентные и конгруэнтные и формулы. Основные эквивалентности. Приведение формул к предваренному виду. Тема 2.2. Фильтры и фильтрованные произведения. Фильтры и ультрафильтры. Теорема о вложении фильтров в ультрафильтры и описание ультрафильтров. Понятие фильтрованного произведения систем. Теоремы об ультрапроизведениях и компактности. Предложения о нестандартных арифметиках и бесконечных моделях. Тема 2.3. Исчисление предикатов. Формулировка исчисления, предварительные результаты. Две леммы и теорема о существовании модели непротиворечивого множества формул. Теоремы о полноте ИП и независимости аксиом. Тема 3.1. Вычислимые функции. Тезис Чёрча. Частично рекурсивные функции. Общерекурсивные функции. Рекурсивно перечислимые множества и их классы. Тема 3.2. Машина Тьюринга. Машина Поста. Сводимости. 8
Не планируются.
Не планируются.
a) Текущая аттестация:
b) Промежуточная аттестация:
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины ˅осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок. Тест по теме: «Основы математической логики»: 1. Наука, изучающая законы и формы мышления, называется: а) алгебра; б) геометрия; в) философия; г) логика. 2. Повествовательное предложение, в котором что-то утверждается или отрицается называется: а) выражение; б) высказывание; в) вопрос; г) Умозаключение. 3. Константа, которая обозначается «1» в алгебре логики называется: а) ложь; б) правда; в) истина; г) неправда. 4. Какое из следующих высказываний являются истинными? а) город Париж — столица Англии; б) 3+5=2+4; в) II + VI = VIII; г) томатный сок вреден. 9 5. Объединение двух высказываний в одно с помощью союза «и» называется: а) инверсия; б) конъюнкция; в) дизъюнкция; г) импликация. 6. Чему равно значение логического выражения (1v1)&(1v0)? а)1; б) 0; в) 10; г) 2. 7. Двойное отрицание логической переменной равно: а) 0; б) 1; в) исходной переменной; г) обратной переменной. Варианты контрольных работ: Контрольная работа №1. 1. Составьте таблицу истинности булевой функции, реализованную данной формулой. Составьте по таблице истинности СДНФ и СКНФ: 2. Проверьте, будут ли эквивалентны формулы, применяя следующие способы: a) составлением таблиц истинности; b) приведением формул к СДНФ или СКНФ с помощью эквивалентных преобразований. и 3. С помощью эквивалентных преобразований приведите формулу к ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ. Постройте полином Жегалкина. 4. Найдите сокращенную, все тупиковые и минимальные ДНФ булевой функции, следующими способами: a) методом Квайна; b) с помощью карт Карно. f(0, 1, 0)= f(1, 0, 0)= f(1, 0, 1)=0. Выяснить, каким классам Поста принадлежит данная функция. Контрольная работа №2. Доказать секвенции:
10
Контрольная работа №3. 1. Предикатный символ D(x,y) интерпретируется на множестве натуральных чисел N как «x делитель y», + интерпретируется стандартно. Записать формулами языка I-го порядка в сигнатуре {+, D} условия «x=0» и «x=2». 2. Привести к предваренному виду формулу (x)((z)(z Будет ли эта формула истинной на множестве натуральных чисел, когда < интерпретируется стандартно, а P(x) означает произвольное свойство натуральных чисел? 3. Проверить, что ПВ4 сохраняет тождественную истинность секвенций. 4. Показать, что (x)A(x)v(x)B(x)≡(x)(A(x)v(x)B(x)) не является тождеством. Контрольная работа №4. 1. Построить стандартную машину Тьюринга, вычисляющую функцию x+y. 2. Пусть A={a0, a1,…,an} внешний алфавит машины Тьюринга. Построить машину Тьюринга, которая меняет слово, записанное на ленте, на слово, состоящее из букв исходного, но записанных в обратном порядке. Темы рефератов:
Вопросы к зачёту: 1. Булевы функции, КНФ и ДНФ, контактно-релейные схемы. 2. Теорема Поста о предполных классах. 3. Аксиоматика ИВ, вспомогательные леммы и теорема о полноте ИВ. 4. Формулы ЛП, их истинность в системах данной сигнатуры. 5. Предложения о конгруэнтных формулах и предваренной форме. 6. Основные эквивалентности. 7. Фильтры и ультрафильтры, две теоремы о них. 8. Теорема об ультрапроизведениях и компактности. 11 9. Предложения о нестандартной модели арифметики и бесконечных моделях. 10. ИП. Теорема о существовании модели. 11. Теоремы о полноте ИП и независимости аксиом. 12. ЧРФ и машины Тьюринга. 13. Рекурсивно перечислимые множества. Теорема Поста. Построение простого множества. 14. Неразрешимые проблемы. Элементарная теория арифметики. Тождественно истинные формулы ИП.
11.1. Основная литература: 1. Дегтев А.Н. Алгебра и логика: Учебное пособие. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, . 2000. - 88 с. 2. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика, М.: “Наука”, 1979 г. 3. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984. 4. Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. Вводный курс математической логики. М.: Физматлит, 2002. 5. Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. М.: УРСС, 2004. 6. Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по математической логике, теории множеств и теории алгоритмов. М.: Физматлит, 2004. 7. Клини С. К. Математическая логика. М.: Мир, 1973. 8. Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 2. Языки и исчисления. М.: МЦНМ, 2000 12 9. Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. М.: МЦНМ, 1999. 10. Крупский В. Н., Плиско В. Е. Теория алгоритмов. М.: Издательский центр «Академия», 2009. 11.2. Дополнительная литература: 1. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977. 2. Архангельский А. В. Канторовская теория множеств. М.: Изд-во МГУ, 1988. 3. Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. М.: Мир, 1994. 4. Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. М.: Наука, 1972. 5. Гладкий А. В. Математическая логика. М.: РГГУ, 1998. 6. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. 2-е изд., испр. и доп. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 7. Логический подход к искусственному интеллекту: От модальной логики к логике баз данных / Тейз А., Грибомон П., Юлен Г. и др. М.: Мир, 1998. 8. Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968. 9. Фейс Р. Модальная логика. М.: Наука, 1974. 10. Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. М.: Наука, 1983. 11.Чёрч А. Введение в математическую логику. М.: ИЛ, 1960. 12. Шёнфилд Дж. Математическая логика. М.: Наука, 1975. 11.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы: 1. Крупский В. Н. Лекции по теории алгоритмов для первого курса мехмата (2004). http://lpcs.math.msu.su/~krupski/download/mm1/lect_kru.pdf, http://lpcs.math.msu.su/~krupski/download/mm1/lect_kru.ps 2. Крупский В. Н. Подборка задач по теории алгоритмов. http://lpcs.math.msu.su/~krupski/download/mm1/zad_alg.pdf, http://lpcs.math.msu.su/~krupski/download/mm1/zad_alg.ps 3. Плиско В. Е. Математическая логика: Курс лекций. http://lpcs.math.msu.su/~plisko/matlog.pdf, http://lpcs.math.msu.su/~plisko/matlog.ps 4. Плиско В. Е. Теория алгоритмов: Курс лекций. http://lpcs.math.msu.su/~plisko/ta.pdf, http://lpcs.math.msu.su/~plisko/ta.ps 5. Bilaniuk S. A Problem Course in Mathematical Logic. (2003) http://www.trentu.ca/mathematics/sb/pcml/
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в том числе, оснащённые мультимедийным оборудованием, доступ студентов к компьютеру с Microsoft Office. 13 |
Министерство образования и науки государственное образовательное учреждение Тонов м. Л. Алгебра и геометрия. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения по направлению... | Методические указания для студентов-магистрантов дневной формы обучения... Методическая разработка предназначена для студентов- магистрантов направлений 230400. 68 «Информационные системы и технологии» и230100.... | ||
Пояснительная записка: Цели и задачи дисциплины. Дисциплина «Языки программирования» Ступников А. А. Языки программирования. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения, направления... | Учебно-методический комплекс рабочая программа для студентов очной... Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения направления 230400. 62 | ||
Методическое пособие по выполнению, оформлению и защите курсовых... Методическое пособие предназначено для бакалавриата Кубанского государственного аграрного университета по специальности 230400. 62... | Рабочая программа по направлению 230400 «Информационные системы и технологии» Рабочая программа составлена доцентом А. В. Жаровым на основании Федерального государственного образовательного стандарта высшего... | ||
Учебно-методический комплекс рабочая программа для студентов направления Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 230401. 62 информационные системы и технологии, очной формы... | Учебно-методический комплекс рабочая программа для студентов очной... Шармин Д. В. Информационные технологии в профессиональной деятельности. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов... | ||
Рабочая программа учебной дисциплины «Информационные технологии в экономике» Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины «Информационные технологии в экономике» вариативной части естественнонаучного... | Учебно-методический комплекс рабочая программа для студентов очной... Рассмотрено на заседании умк институту математики, естественных наук и информационных технологий, протокол №1 от 21. 04. 2001 г | ||
Рабочая программа для студентов очной формы обучения направление... Иванов Д. И. Математическая логика и теория алгоритмов. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы... | Рабочая программа для студентов очной формы обучения, направление 030100. 62 «Философия» Дёгтев А. Н. Математическая логика. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения, направления... | ||
Рабочая программа для студентов очной формы обучения, направление... И. Математическая логика. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения, направления 010500.... | Рабочая программа для студентов 230400. 62 направления «Информационные системы и технологии» ... | ||
Рабочая программа для студентов 230400. 62 направления «Информационные системы и технологии» ... | Рабочая программа для студентов очной формы обучения. Направление... Рабочая программа дисциплины «Алгебра» для студентов очной формы обучения по направлению подготовки 010500. 62 «Математическое обеспечение... |