Кафедра дифференциальних уравнений курсовая работа

Скачать 188.42 Kb.

Название	Кафедра дифференциальних уравнений курсовая работа
страница	2/2
Дата публикации	02.01.2015
Размер	188.42 Kb.
Тип	Курсовая

100-bal.ru > Математика > Курсовая

1 2

Переходим в уравнении (1) к новым переменным a и , полагая здесь и далее , согласно формулам

(3)
Далее, дифференцируем (3) по t, считая

и φ

(4)
Подставим (4) в (2), учитывая (3).

(5)
Разрешим эту систему относительно

Домножим второе уравнение на

,

тогда имеем:

(6)
Система (6) полностью эквивалентна уравнению (1). Соответствующая системе (6) усредненная система имеет вид

(7)
В системе (7)

имеют вид:

то есть

Таким образом имеем

или

(8)
Чтобы найти в явном виде закон изменения амплитуды в зависимости от времени, необходимо решить первое уравнение системы (8):

Умножим обе части равенства на

.
Сделаем замену

,

умножаем обе части равенства на

Так как

,

то тогда

,

или

Предположим, что

, тогда

;

.

Отсюда находим

(9а)
Колебания представятся следующим образом (находим выражение для приближенного значения x в явном виде)

(9)
Найдем

Динамический режим обладает сильной устойчивостью, заключающейся в том, что каково бы ни было значение

, малое или большое, все равно

при

.

Как видно из выражения (9), если начальное значение амплитуды

=0, амплитуда останется равной нулю для любого t, и, следовательно, получим х=0, то есть тривиальное решение уравнения (1). Это тривиальное решение, очевидно, соответствует статическому режиму, то есть отсутствию колебаний в системе.

Однако, исходя из формулы (9), нетрудно заключить, что этот статический режим неустойчив. Действительно, как бы ни было мало начальное значение амплитуды, оно все равно будет монотонно приближаться к значениям, равным

. Таким образом, поскольку случайные малые толчки практически неизбежны, в рассматриваемой колебательной системе, находящейся в состоянии покоя, автоматически возбуждаются колебания с амплитудой, то есть система самовозбуждается.

Из выражения (9) следует, что если

, то

, и для любых

очень быстро приближается к значению

независимо от

. Это решение соответствует стационарному (установившемуся) динамическому режиму:

(10)
Иначе говоря, любое колебание при увеличении t приближается к стационарному колебанию, то есть колебания будут устойчивы.

Режимы с постоянной амплитудой, для

, приводят к уравнению
А

.
Корни этого уравнения

;

Таким образом,

соответствует неустойчивому состоянию равновесия, а

соответствует устойчивому предельному циклу.

Для любого заданного положительного сколь угодно малого значения параметра

всегда можно найти такое достаточно малое значение параметра

, для которого уравнение (1) или, что то же самое, система (2), имела бы предельный цикл, лежащий в

окрестности окружности

, причем этот предельный цикл устойчив, если

, и неустойчив, если

. Все эти рассуждения следуют из теоремы Мандельштама и Папалекси.

Наряду с точной системой рассматривается приближенная

, (s=1,2) .
Теорема. Пусть при всех t и в некоторой области переменных

функции

непрерывны и ограничены. Функции

также непрерывны и ограничены в области Г.

— 2

-периодические по t. Функции

— удовлетворяют условию Липшица по переменным

(при этих условиях существует и единственно решение). Тогда для

и L>0 :

, 0

,
где

(s=1,2)

(s=1,2)
Проверим выполнение условий теоремы для нашего уравнения. Из системы (6) находим

Очевидно, что

непрерывны.

, из этих неравенств видно, что

ограничены для любого конечного

. Функции

для системы (2) имеют вид:

.
Из последней системы видно, что

непрерывны и ограничены для любого конечного

— периодические по t с любым периодом, в том числе и

. Функции

непрерывно дифференцируемы по t, а следовательно удовлетворяют условию Липшица.

Пусть

— решения точной системы (6). Тогда для

.

( В нашем случае

определяется уравнением (9а)).

Выводы
В рамках теории Ван-дер-Поля нельзя уточнить полученные решения.

В заключение заметим, что метод Ван-дер-Поля позволил исследовать достаточно широкий круг задач нелинейной механики (с одной степенью свободы), и задач радио- и электротехники, обладает наглядностью и удобен для проведения расчетов. Благодаря этому методу созданы генераторы стационарных колебаний в радиоприемных и радиопередающих устройствах, которые используются и по сей день в современной технике. В рамках теории Ван-дер-Поля нельзя уточнить полученные решения.

Список использованной литературы

Ю.А. Митропольский Метод усреднения в нелинейной механике, «Наукова думка» Киев — 1971г.
Н.Н. Моисеев Асимптотические методы нелинейной механики, М.: Наука, 1981г.
А. Найфэ Методы возмущений. Издательство «Мир», Москва—1976г.
А. Найфэ Введение в методы возмущений. «Мир», 1984г.
Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. Физматгиз, М.,1959г.

1 2

Похожие:

	Курсовая работа по дисциплине «Информатика и программирование» Кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»		Курсовая работа на тему : Формирование рынка ценных бумаг в Украине Курсовая работа содержит 38 листов, 2 рисунка, 2 таблицы и было использовано 11 источников
	Курсовая работа Курсовая работа оформляется в виде электронного файла и прикрепляется к своей странице в системе мониторинга нир. Распечатывать работу...		Кафедра технической теплофизики курсовая работа по гидравлике Продолжить работу по созданию благоприятного психологического климата в классном коллективе
	Курсовая работа по дисциплине Электромагнитная совместимость систем... Курсовая работа состоит из 20 с, в которых содержаться: 3 рисунка, 3 таблицы, 6 формул и 4 ссылки на литературу		Курсовая работа по дисциплине «Предпринимательское право» Курсовая работа имеет целью систематизацию, закрепление и расширение теоретических знаний, углубленное изучение и решение студентом...
	Курсовой работы. Составитель: доцент Корляков А. С. Екатеринбург... Курсовая работа самостоятельная работа студента, выполняемая в соответствии с типовой программой учебного процесса по подготовке...		Кафедра социологии Курсовая работа по дисциплине «Бухгалтерский учет» выполняется студентами в соответствии с учебным планом на завершающем этапе обучения...
	Рекомендации к оформлению курсовой и дипломной работы по истории искусства. Курсовая работа Курсовая работа задание, которое выполняется студентами в определённый срок и по определённым требованиям. Защита курсовых работ...		Пермский Государственный Технический Университет Кафедра мкмк курсовая работа Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием. Анализ ндс вблизи отверстия
	Российской Федерации Федеральное агентство по образованию социально-экономический... Страны с «переходной» экономикой» (постсоциалистические) и социалистические страны		Курсовая работа является обязательным видом итогового контроля по... Курсовая работа – это первый этап в самостоятельном теоретическом осмыслении материала, накопленного в ходе обучения в университете,...
	Курсовая работа на тему «Открытый урок» Данная курсовая работа выполнена для того, чтобы учителя русского языка и литературы могли использовать разработанные мною уроки...		Курсовая работа учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся... Курсовая работа: Учебно-методическое пособие / Автор составитель Е. М. Крупеня. М.: 30 с
	Курсовая работа учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся... Курсовая работа: Учебно-методическое пособие / Автор составитель Е. М. Крупеня. М.: 30 с		Методические указания к написанию курсовых работ курсовая работа Курсовая работа является важнейшим элементом самостоятельной работы студентов. Основной целью курсовой работы является создание и...

Школьные материалы