Скачать 166.88 Kb.
|
Доклад на тему: «Самообразование учащихся на уроках математики» Приложение 1 Тема: Вписанный угол Определение: Угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки окружности, называется вписанным углом. Таков, например, угол АВС. О вписанном угле принято говорить, что он опирается на дугу, заключенную между его сторонами. Так угол АВС опирается на дугу АС или иногда обозначают АмС. Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Эту теорему надо понимать так: вписанный угол содержит в себе столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд заключается в половине дуги, на которую он опирается. Дано: окружность с центром О; < АВС –вписанный. Доказать: < АВС = дуги АС Доказательство: при доказательстве теоремы рассмотрим три случая: Следствие:
Образцы решений. Задачи по теме: «Вписанный угол». № 1. Сумма вписанного угла АВС с центральным углом АОС равна 90⁰. Найдите каждый из этих углов. В Дано: окружность с центром О х < АВС – вписанный А 2хх <АОС – центральный < АВС + < АОС = 90⁰. С Найти: < АВС = ?, <АОС = ? Решение: обозначим вписанный угол АВС=Х → АмС = 2Х, т.к. вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается. Тогда центральный <АОС=2Х, т.к. он измеряется дугой, на которую опирается. < АВС + < АОС = 90⁰ (по условию), х+2х =90, 3х=90,х=30 < АВС = х= 30⁰, < АОС = 2×30 = 60⁰ Ответ: < АВС = 30⁰, < АОС = 60⁰ № 2 Разность центрального угла АОС и вписанного угла АВС равна 30. Найдите каждый из этих углов. В Дано: <АОС – центральный А < АВС – вписанный f <АОС - <АВС = 30⁰ m С Найти: < АВС = ?, <АОС = ? Решение: пусть < АВС = Х, тогда UАмС = 2Х (т.к. вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается). <АОС - <АВС = 30⁰ (по условию), 2х-х =30 , х=30 < АВС = 30, <АОС = 2×30 = 60 Ответ: < АВС = 30⁰, < АОС = 60⁰ № 3 Хорды АВ и СД пересекаются. Найдите < САД, если < СДА = 40⁰, а < АВД = 80⁰ m Дано: окружность, АВ, СД – хорды, А С М – точка пересечения хорд АВ и СД h < СДА = 40⁰, < АВД = 80⁰ Д В Найти: < САД = ? Решение: < СДА = ½U АмС (вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается) U АмС = 2х <СДА, U АмС = 2х40 = 80, <АмС= 80 <АВД = ½ U АпД (вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается). U АпД = 2×<АВД, U АпД = 2× 80 = 160, U АпД = 160 < САД = ½ U СВД, < САД = ½ (360⁰- U АмС – U АпД), < САД = ½ (360⁰ - 80 – 160) = 60; < САД = 60 Ответ: < САД = 60⁰ № 4 Хорды окружности АД и ВС пересекаются. Найдите <САД, если <АВС=50⁰, <АСД=80⁰. А С Д В Дано: окружность, <АВС=50, <АСД=80⁰. Найти: < САД = ? Решение: <АВС = ½ U АмС (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается), U АмС = 2× <АВС, U АмС = 2× 50⁰ = 100⁰, U АмС = 100⁰ <АСД = ½ U АВД (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается). U АВД = 2× < АСД U АВД = 2× 80 = 160⁰, U АВД = 160⁰, <САД = ½ U СпД (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается), <САД = ½ (360⁰ - U АмС – U АВД) = ½ (360⁰ – 100⁰ - 160⁰ ) =50⁰ Ответ: < САД = 50⁰ № 5 доказать, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Д А С ано: ∆ АВС – прямоугольный (<С = 90⁰), вписан в окружность Д О оказать: О – центр окружности Д В оказательство: все углы, опирающиеся на диаметр прямые → если < С = 90⁰, то АВ -диаметр, но АВ – гипотенуза ∆АВС. Но центр окружности лежит на середине диаметра, а значит на середине гипотенузы АВ № В 6 сторона треугольника равна 10 см.,а противолежащий ей угол равен 150⁰. Найдите радиус описанной окружости. Д А ано: ∆АВС вписан в окружность, в О =АС=10 см, < АВС = 150⁰ Н С айти: ОС = R = ? Решение: = = = 2 R (По теореме синусов: стороны пропорциональны синусам противолижащих углов). Отсюда = 2 R, 2R × = в, R = , R = = = = =5×2=10, R = 10 cм. Ответ: R = 10 cм. № 7 точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна хорда АС, если <АВС = 30⁰, а диаметр окружности 10 см. В Дано: окружность с центром О, А А, В, С – принадлежат окружности < АВС = 30⁰, 2R = 10 см. С Найти: АС=? С Решение: = = = 2 R (По теореме синусов: стороны пропорциональны синусам противолежащих углов). Отсюда = 2 R, 2R × = в = 10× = 10 × ½ =5, АС = в =5 Ответ: АС = 5 cм. № 8 Углы А, В и С четырехугольника АВСД, вписанного в окружность пропорциональна числам: 4, 3, 5. Найдите все углы четырехугольника. С Дано: АВСД – четырехугольник, вписанный в окружность, В Д < А: <В : <С = 4 : 3 : 5 Н А айти: <А = ?, <С=?, < В=?, < Д=? Решение: < А + < С = 180⁰, < В + < Д = 180⁰, (т.к у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна 180⁰), обозначим: Х – 0бщая градусная мера, тогда < А = 4 Х, < В = 3 Х, <С = 5Х < А + < С = < В + < Д, < А + < С = 180⁰, < А = 4 Х <А= 80⁰ 4 Х + 5 Х = 3Х +<Д 4 Х + 5 Х = 180⁰, < В = 3 Х <В = 60⁰ < Д = 6 Х 9 Х = 180⁰ <С = 5Х <С = 100⁰ Х = 20⁰ < Д = 6 Х < Д = 120⁰ Ответ: <А= 80⁰, <В = 60⁰, <С = 100⁰, < Д = 120⁰ № В Д 9 В треугольнике АВС проведены две высоты АЕ и СД. О – точка их пересечения. Доказать, что около четырехугольника ВДОЕ можно описать окружность. Д С Е ано: ∆ АВС, АЕ ВС, СД АВ, О – точка пересечения СД и АВ Д А оказать: Около ВДОЕ можно описать окружность Доказательство: рассмотрим четырехугольник ВДОЕ. Найдем сумму внутренних углов четырехугольника по формуле: 180⁰ (n – 2) = 180⁰ (4 – 2) = 360⁰ < В + < Д + < О + < Е = 360⁰, но < Д = 90⁰ и < Е = 90⁰ (по условию) < < Д + < Е = 90⁰+ 90⁰ = 180, < Д + < Е = 180⁰, <В + 90⁰+ < О + 90⁰ = 360⁰, < В + < О + 180⁰ = 360⁰, < В + < О = 180⁰ < В + < О = < Д + < Е В четырехугольнике ВДОЕ сумма противоположных углов равна 180⁰. Значит около этого четырехугольника можно описать окружность. № В 10 Найдите радиус окружности к задаче № 9, если известно, что длина отрезка ВО = 10 см. Е Д Д ано: ВДОЕ вписан в окружность <ВДО = 90⁰, <ВЕО = 90⁰ А С Найти: R = ? Решение: все углы опирающиеся на диаметр, прямые ВО – диаметр окружности. 2R = 10, R = 5 см. Ответ: R = 5 см. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ. По теме «ВПИСАННЫЕ УГЛЫ». № 1 построите прямоугольный треугольник по гипотенузе «а» и катету «в» (а>в). а Дано: а=5 см, в = 3,5 см в Построить: прямоугольный треугольник с гипотенузой «а» и катетом «в» П С остроение и доказательство:
∆ АВС – прямоугольный (<С=90⁰) т.к. все углы, опирающиеся на диаметр – прямые. АВ = а, является гипотенузой прямоугольного ∆ АВС, АС = в, катет прямоугольного ∆ АВС, следовательно ∆ АВС – искомый прямоугольный треугольник с гипотенузой «а» и катетом «в». № 2 Из конца А данного луча АВ, не продолжая его, воставить к нему перпендикуляр. D A C B Дано: точка А, АВ –луч Построить: АД АВ Построение и доказательство:
АД АВ № C 3 Через данную точку провести к данной окружности касательную. A B Дано: окружность с центром О O а ) С принадлежит окружности б) А лежит вне окружности Построить: касательную к окружности, проходящую через данную точку. Построение и доказательство: а ) данная точка С лежит на самой окружности. Тогда через точку С проводим радиус ОС, и через конец радиуса строим перпендикуляр АВ к этому радиусу. б B A B1 O ) данная точка А лежит вне окружности с центром О. Соединив А с О делим АО пополам в точке О1 и с центром в этой точке радиусом ОО1, описываем окружность через точку В и В1, в которых эта окружность пересекается с данной, проводим прямые АВ и АВ1. Эти прямые и будут касательными, т.к. углы ОВА и ОВ1 А, как опирающиеся на диаметр прямые, следовательно: АВ, АВ1 – касательные к окружности с центром О Следствие: две касательные, проведенные к окружности из точки вне её, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром. ∆ ОВА = ∆ ОВ1А по гипотенузе и катету (< ОВА = < ОВ1А = 90⁰ - углы, опирающиеся на диаметр. ОВ = ОВ1, радиусы окружности с центром О, ОА – общая гипотенуза) Отсюда: АВ = АВ1, < ВАО = <В1АО РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО. 1 ступень.
(ответ: 84⁰22'30'')
(ответ: 123⁰45'; 56⁰15') и
(ответ: 95⁰ и 120⁰)
(ответ: 52⁰30'; 82⁰30) 2 ступень
ВС. Определить градусную величину этой дуги, если известно, что < ВАС=62⁰17'. Дополнительный материал. D E Т A C еорема: Угол АВС, вершина которого лежит внутри круга , измеряется полусуммой дуг (АС и ДЕ), из которых одна заключена между его сторонами, а другая – между продолжениями сторон. Дано: Круг; <АВС – угол, вершина которого внутри круга. Доказать: <АВС = ( АС + ДЕ) Доказательство: Выполним дополнительное построение. Проведем хорду АД. Мы получим треугольник АВД, относительно которого рассматриваемый угол АВС служит внешним. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных: < АВС = < АДС + < ДАЕ. Но < АДС и < ДАЕ, как вписанные, измеряются половинами дуг (АС и ДЕ), на которые они опираются. < АВС = < АДС + < ДАЕ = ½ U АС +½ U ДЕ = ½ (АС +ДЕ). Доказали: <АВС = ( АС + ДЕ) B A D E C Теорема: Угол, вершина которого лежит вне круга и стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью дуг (АС и ЕД ), заключенных между его сторонами. Дано: круг, < АВС – угол, вершина которого вне круга. Доказать: <АВС = ( U АС - U ДЕ) Доказательство: Проведя хорду АД, мы получим треугольник АВД, относительно которого рассматриваемый угол АВС служит внутренним. Рассмотрим ∆АВД; <АДС – внешний. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных. < АДС = < АВС + < ДАЕ, отсюда <АВС = <АДС - <ДАЕ , но <АДС и < ДАЕ – вписанные и измеряются половинами дуг (АС и ДЕ) на которые они опираются. Имеем: <АВС = <АДС – <ДАЕ = ½ U АС – ½ U ДЕ = ½ (U АС – U ДЕ). Доказали: < АВС = ½ (U АС – U ДЕ). Задачи (дополнительный материал)
U ДА= 2: 3 : 5 : 6. Проведены хорды АС и ВД, пересекающиеся в точке М. Определить < АМВ.
Указание (для некоторых следующих задач). Определяя описанный угол полезно помнить следующее : тот угол между двумя касательными, внутри которого заключена окружность, служит дополнением до 180 к углу между радиусами, проведенными в точке касания.
A E D C D B C K E
Задачи на доказательство Углы в окружности
Орлова Людмила Михайловна, отличник народного просвещения РСФСР отличник провещения СССР учитель методист учитель высшей категории заслуженный учитель РС (Якутия) ветеран труда медаль за доблестный труд во время ВОВ |
Выступление на мо 30. 11. 12 2012 Доклад на тему «Самообразование... Отчет по разработкам в упов, включая соответствующие вопросы, обсуждаемые на последних сессиях caj, cc и Совета (устный доклад Зам.... | Доклад на тему : «Игровые технологии на уроках в начальной школе.» Особенности использования игровых технологий на уроках математики в начальной школе | ||
Уроках математики Учителя начальных классов Необходимость выбора темы «Развитие познавательной активности учащихся на уроках математики» обусловлена многолетним наблюдением... | Уроках математики в 5 и 6 классах Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у учащихся интерес к изучаемому... | ||
Уроках математики в 5 классе Формирование навыков проектной деятельности учащихся в системе работы на уроках математики в 5 классе | Доклад на тему: "Дидактические игры на уроках математики" Формирование у школьников вычислительных навыков – одна из главных задач начальной школы, поскольку вычислительные навыки необходимы... | ||
Уроках математики и во внеурочное время Обобщение опыта по теме "Активизация познавательной деятельности учащихся на уроках математики и во внеурочное время" | Доклад на рмо учителей математики на тему «Привитие устойчивого интереса к математике через развитие и применение творческих способностей учащихся к активизации и управлению... | ||
Доклад на рмо учителей математики на тему «Привитие устойчивого интереса к математике через развитие и применение творческих способностей учащихся к активизации и управлению... | Доклад на тему «Система типовых заданий для формирования личностных... Сегодня наиболее перспективным путем признано формирование у школьников общеучебных умений, призванных помочь решить задачи быстрого... | ||
«Ровеньский политехнический техникум» Развитие познавательной и творческой... Развитие познавательной и творческой активности учащихся на уроках математики посредством использования современных образовательных... | Доклад на тему «Вопросы методики обучения и воспитания учащихся младшего... Составитель: Гусева Елена Владимировна, преподаватель мбоу дод дши №1 мо город Краснодар | ||
Самообразование Самообразование является составной частью непрерывного образования руководителей и инженерно-педагогических работников профессиональных... | Уроках математики Совершенствование движений и сенсомоторного развития Вопрос Какие вы знаете основные направления коррекционной работы на уроках математики | ||
Уроках математики как средство повышения познавательной активности учащихся ... | Уроках математики Использование исторического материала по теме «Начало» Евклида на уроках математики |